1.Слау:основные определения, каноническая форма записи слау.

Система из k ур-ний первой степени с n неизвестными им.след.вид:

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b₁ , где b – cвоб.члены;

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂

………………………..

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m

Кратко: , гдеi=1,…,n.

Решением СЛАУ наз.такая совок.чисел к₁,к₂,…к_n,взятых в опр.порядке,кот.при подстановке на место соотв.неизв-х обращает все ур-ния в тожд-ва.В сл.,когда система им.решение,она наз.совместной, в прот.случае - противоречивой или несовместной. Совместная система наз.определенной или неопределенной в зав-ти от того, имеет ли она одно или нес-ко решений. Две СЛАУ с одинак.числом неизвестных наз.эквивалентгыми или равносильными, если они им.одни и те же реш-я, либо несовместны. При этом число ур-ний в равносильных системах м.б. различным. Те преобразования, кот.переводят СЛАУ в эквивалентную ей систему наз.элементарными.

Осн.задачи реш-я СЛАУ: 1)совместна она или нет; 2)если совместна, то каково число решений; [1.и 2. наз.иссл-ем системы] 3)как найти реш-е системы [реш-е системы]. После того как будут получены решения системы, либо будет доказана её несовместность, система будет приведена к след.виду:

х₁+q_1,m+1*x_m+1+…+q_1n*х_n=h₁

х₂+q_2,m+1*x_m+1+…+q_2n*х_n=h₂

_. . . . . . . . . . . . . . .

х_m+q_m,m+1*x_m+1+…+q_mn*х_n=h_m

В эт.сл.гов.,что СЛАУ приведена к предпочитаемому или каноническому виду.

2.Элем.Преобраз-я слау, ф-лы искл-я(вывод), правило прямоуг-ка.

Элем.преобраз-ми СЛАУ наз.преобраз-я след-х трех типов:перестановка двух к-н ур-ний системы; умножение(деление) обеих частей ур-ния на любое число,отличное от нуля; прибавление к обеим частям одного ур-ния соотв.частей др.ур-ния, умноженных(деленных) на любое число. Элем.преобраз-ия переводят данную СЛАУ в эквив.систему.Подвергая СЛАУ элемент.преобраз-ям,м.исключить любую неизвестную из всех ур-ний,кроме к-л одного ур-ния.

Пусть имеется СЛАУ1,в кот.выбрано разрешающее ур-ние,разрешающая переменная x_s и разр-й коэф-т при этой неизвестной a_rs (r-номер разр.ур-я,s-номер разр.неизвестной). Необходимо исключить разр.переменную x_s из всех уравнений кроме этого.CЛАУ1 перепишем в виде:

a_i1x₁+…+a_isx_s+…+a_inx_n=b_i, i≠r,

a_r1x₁+…+a_rsx_s+…+a_rnx_n=b_r.

Если умножить r-ое ур-ние системы на к-н число µ и прибавить к i-му ур-нию, то все коэф-ты при неизвестных и своб.член i-го ур-ния изменятся и примут знач-я: a’_ij=a_ij+µa_rj, j=1,…,n; b’_i=b_i+µb_r (1)

Неизв-я x_s искл-ся из i-го ур-ния, если коэф-т при ней станет =0: a’_is=a_is+µa_rs=0, для чего необх-мо взять (2)

Исключив т.обр.неизв-ю x_s из всех ур-ний системы, кроме разрешающего, разделим последнее на разр.коэф-т, система перейдет в след.эквив.ей систему:

a’_i1x₁+..+a’_i,s-1x_s-1+a’_i,s+1x_s+1+..+a’_inx_n=b’_i, i≠r,

a’_r1x₁+..+a’_r,s-1x_s-1+a’_r,s+1x_s+1+..+a’_rnx_n=b’_r,

где неизв-я x_s сод-ря только в r-ом ур-нии, причем с коэф-том 1, а ост.коэф-ты при неизв-х и своб.члены св.с коэф-тами и своб.членами исх.системы ф-лами искл-я (что видно из соотн-й (1) и (2)):

для своб.членов:

Ф-лы искл-я удобно прим.с пом.т.наз.правила прямоуг-ка:

a_ij …… a_is a_is …….. b_i

a_{rj ……….} a_rs a_rs …….. b_r

Чтобы получить новый коэф-т a’_ij нужно старый эл-т a_ij умножить на разр.эл-т a_rs, вычесть произведение эл-тов на др.стороне прямоугольника и поделить на разр.эл-т a_rs: a^|_ij=(a_ij*a_rs-a_rj*a_is)/a_rs

b^|_i=(b_i*a_rs-a_is*b_r)/a_rs