Предел функции
Определение предела функции в точке
Сформулируем определение предела функции в точке.
Определение. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки а, кроме, может быть, самой точки а, Число В называется пределом функции f(x) в точке а (или при х, стремящемся к а), если для любой последовательности значений аргумента хп ¹ а, п Î N, сходящейся к а, последовательность соответствующих значений функции f(xп), п Î N, сходится к числу В.
В этом случае пишут:
или
при
.
Если же для некоторой последовательности значений аргумента, сходящейся к а, соответствующая последовательность значений функции не является сходящейся, то функция в данной точке не имеет предела. То же заключение можно сделать, если для двух различных последовательностей значений аргумента последовательности соответствующих значений функции имеют различные пределы.
Очевидно, число Вявляется пределом
функции
при
тогда и только тогда, когда
можно представить в виде:
=В+
,
где
при
.
Отметим,
что точка а, в которой рассматривается
предел функции
,
может принадлежать области определения
функции
,
а может и не принадлежать. При нахождении
предела функции в точке не рассматривается
значение функции в этой точке.
Пример.Докажем справедливость следующих равенств:
1)
,
при
= с; 2)
при
.
Решение.
Пусть
=сдля всеххиз некоторого
интервала, содержащего точкуа.
Тогда для любой последовательности(хn)такой, чтохn
® априn®¥, имеем
=си
.
Следовательно
.
Для любой последовательности (хn)такой, чтохn ® априn®¥, имеем
.
Следовательно, согласно определению
предела
.
Свойства пределов функций
Основные свойства пределов функций аналогичны теоремам о пределах числовых последовательностей:
1) Предел суммы (разности) функций равен
сумме (разности) их пределов, если
последние существуют:
.
2) Предел произведения функций равен
произведению их пределов, если последние
существуют:
.
Следствие.Постоянный множитель
можно выносить за знак предела:
,
если
существует.
3) Предел отношения двух функций равен
отношению их пределов, если последние
существуют и предел делителя отличен
от нуля:
,
если
.
При изучении пределов функций иногда полезно использовать следующую «теорему о пределе промежуточной функции».
Теорема.Если
,
и в некоторой окрестности точкиа,
кроме, быть может, самой точкиа,
выполняются неравенства
,
то
.
Пример.Вычислите пределы фукций:
1)
;
2)
;
3)
.
Решение.
Поскольку предел знаменателя равен 0, то воспользоваться теоремой о пределе частного невозможно. Поэтому первоначально сократим дробь, разложив числитель на множители:
Ответ.1) 11, 2) –1, 3) 2.
Задание. Вычислите пределы функций:
1).
Решение:
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ:-1
2).
Решение:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Ответ:-6.
Определение предела функции на бесконечности
При изучении свойств функции приходится рассматривать предел функции в бесконечности, бесконечный предел функции в точке, а также бесконечный предел в бесконечности.
Рассмотрим
более подробно предел функции в
бесконечности, т.е. при
и при
.
Определение. Пусть функция
f(x)
определена на всей числовой прямой.
Число В называется пределом
f(x)
при
,
если
для любой последовательности (хп)
такой, что
.
В этих случаях пишут, что
.
Аналогично,
,
если
для любой последовательности (хп)
такой, что
.
Пример.Докажем, что
Решение.
Рассмотрим произвольную последовательность (хп) такую, что
.
Так как последовательность
,
гдеn Î N,
сходится к 1, то согласно определению
.
Легко видеть, что и
.
Кроме рассмотренного случая конечного
предела функции f(x)
прих®∞ (или иначех®±¥)
используется понятие бесконечного
предела. Например, функция
,
определенная для всехх¹0, принимает сколь угодно большие значения
прих®0. В этом случае говорят, что функция в
точкех= 0 имеет своим пределом
бесконечность, и пишут
.
Определение. Если для любой
последовательности значений аргумента
(хп)
такой, что хп ¹ 0
и
,
имеет место
,
то говорят, что предел функции f(x)
в точке а есть бесконечность,
и пишут
.
Пример. Найдите пределы функций:
;2)
Решение. При определении значений предела функции на бесконечности воспользуемся тем же приемом, что и в случае последовательности:
Ответ.1) -3, 2) 0.
Задание. Вычислите предел функции на бесконечности:
Решение:
____________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ:-1.