27. Центральная предельная теорема ( без док-ва). Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

Центральная предельная теорема:Пусть Х₁,Х₂,…,Х_n– независимые случайные величины, имеющие конечный третий абсолютный момент (дисперсию σ²). Положимa_{i =} M(X_i),σ_i²=D(X_i),C_i³=M|X_i-a_i|³,i=1,2,3,.... Тогда если

То при n→∞ дляx(-∞<x< ∞) имеет место стр 157. (5.3.2)

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р успеха в каждом испытании отлична от 0 и 1, а число испытанийnдостаточно велико, то для расчета Р_n(k) можно пользоваться приближенной формулой

Р_n(k) =(1/√np(1-p)) * φ(u) (k=0,1,2,...),

Где φ(u)=(1/√2π) * e^-u2/2, u=k-np/√np(1-p)

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р успеха в каждом испытании отлична от 0 и 1, а число испытаниеnдостаточно велико, то для расчета вероятности Р_n(k_1,k₂) того, что число успехов в серии изnиспытаний будет заключено в промежутке [k₁,k₂), можно пользоваться приближенной формулой

Р_n(k_1,k₂) = Ф₀(u₂) – Ф₀(u₁) (k₁= 0,1,2,..;k₂>k₁),

где Ф₀(u) = (1/√2π) * ∫е^-z2/2dz,u_1,2=k_1,2–np/√np(1-p)

28. Двумерные случайные величины, формы задания закона распределения.

Двумернойназывают случайную величину (X,Y), возможные значения которой есть пары чисел (x,y).

Дискретной называют двумерную величину, составляющие которой дискретны.

Непрерывнойназывают двумерную величину, составляющие которой непрерывны.

Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины может быть задан:

1. в виде таблицы с двойным входом, содержащей возможные значения и их вероятности;

2. аналитически, например, в виде функции распределения.

Функцией распределениявероятностей двумерной случайной величины называют функциюF(x,y), определяющую для каждой пары чисел (x,y) вероятность того, что Х примет значение, меньшее х, и при этомYпримет значение меньшееy:

F(x,y) = P(X<x, Y<y).

29. Характеристики двумерной случайной величины: математическое ожидание и дисперсия компонент.

Зная плотность распределения составляющих XиYнепрерывной двумерной случайной величины (X,Y), можно найти ихматематическое ожидание и дисперсии:

M(X) = ∫xf₁(x)dx,M(Y) = ∫yf₂(y)dy;

D(X) = ∫[x-M(X)]²f₁(x) dx = ∫x²f₁(x) dx – [M(X)]²;

D(Y) = ∫[y-M(Y)]²f₂(y) dy = ∫y²f₂(y) dy – [M(Y)]².

30. Зависимость случайных величин. Корреляционный момент и коэффициент корреляции, их свойства.

Степень зависимости случайных величин измеряется с помощью ковариациислучайных величинXиY:cov(X,Y) = M(XY) – M(X)*M(Y)

Ковариация может принимать произвольные вещественные значения, поэтому не вполне пригодна к использованию в качестве меры связи случайных величин. В этом смысле более пригоден коэффициент корреляциислучайных величин Х иY

ρ(Х,Y) =M(XY) –M(X)*M(Y)/σ_xσ_y

Если коэффициент корреляции ρ(Х,Y)=0, то это не обязательно означает независимость случайных величин Х иY. В этом случае говорят, что данные случайные величинынекоррелированны.

Коррелированными называют две случайные величины, если их корреляционный момент отличен от нуля.

Корреляционным моментомμ_1,1 порядка 1+1:

μ_{xy =} М{[X–M(X)] * {Y-M(Y)]}