8. Формула Байеса.

Р_А(В_i) = Р(В_i) * Р_Вi(A)/Р(А), где

Р(А) = ∑ Р(Н) * Р(А/Н_i) – формула полной вероятности.

9. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов.

Пусть проводится конечное число nпоследовательных испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может либо наступить (успех), либо не наступить (неудача), причем эти испытания удовлетворяют следующим условиям:

• Каждое испытание случайно относительно события А .т.е. до проведения испытания нельзя сказать, появится А или нет;

• Испытания проводятся в одинаковых с вероятностной точки зрения условиях, т.е. вероятность успеха в каждом отдельно взятом испытании равна р и не меняется от испытания к испытанию;

• Испытания независимы, т.е. исход любого из них никак не влияет ни исходы других испытаний.

Такая последовательность испытаний называется схемой Бернулли или биноминальной схемой, а сами испытания – испытаниями Бернулли.

Для расчета вероятности Р_n(к) того, что в серии изnиспытаний Бернулли окажется ровноkуспешных, применяется формула Бернулли

Р_n(k) = C_n^k * p^k * (1-p)^n-k (k = 0,1,2,…n).

10. Понятие случайной величины. Дискретная случайная величина, способы ее задания: ряд распределения.

Х – случайная величина, которая принимает в каждом опыте одно значение из множества, которое заранее предугадать нельзя.

Случайная величинаявляется числовой функцией (или вектором), определенной на пространстве элементарных событийΩ.

Случайная величина называется дискретной,если множество конечных значений конечно или счетно.

Законом распределения случайной величиныназывается любое соотношение, связывающее возможные значения этой случайной величины и соответствующие им вероятности.

Закон распределения дискретной случайной величины Х определен, если известны все Х_nи вероятности Р_n= Р(Х=Х_n) такие, что Р_{1 +} Р₂+ Р₃+ … = 1. Если составить таблицу, в верхней строке которой поместить значения дискретной случайной величины, а в нижней – соответствующие вероятности, то получимряд распределения случайной величины. Сумма вероятностей записанных во второй строке должна быть равна 1.

Еще случайную дискретную величину можно задать и многоугольником распределения. Многоугольником дискретной случайной Хвеличины называется ломаная, соединяющая точки (х_i;p_i), расположенные в порядке возрастания.

11. Функция распределения дискретной случайной величины и ее свойства.

Функцией распределения случайной величиныХ называется функция

F_X(x) = P(X<x), x € R.

Под (X<x) понимается событие, состоящее в том, что случайная величина Х примет значение, меньшее, чем числох.

Если известно, о какой случайной величине идет речь, то индекс, обозначающий эту случайную величину, опускается: F_X(x) =F(x).

Свойства:

для любогоx €R: 0<=F(x) <=1;

F(-∞) = lim F(x)=0; F(+∞) = lim F(x)=1;

F(x)является неубывающей функцией, т.е.

для любыхх₁,х₂€R,таких, чтох_1<х₂:F(x₁) <=F(x₂);

F(x)непрерывна слева, т.е.

для любогоx €R:F(x) =F(x-0) =limF(z).

12. Математическое ожидание дискретной случайной величины и ее свойства.

Математическое ожиданиедискретной случайной величины Х называется взвешенная сумма всех ее значений, где в значении веса выступает вероятность

М(Х) = ∑ Х_iР_i

Свойства:

1. М(С) = С, С =const

2. М(СХ) = С*М(Х), С = const

3. М(Х+Y) = М(Х) + М(Y), Х иY– дискретные случайные величины.

13. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства.

Дисперсия случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания

D(X) =M(X-MX)²илиD(X) =M(X²) – (M(X))²

Свойства:

1. D(C) = 0

2. D(CX) = C²D(X)

3. D(X+Y) =D(X) +D(Y),XиY– независимые дискретные случайные величины.

Средним квадратичным отклонениемХ называется неотрицательное значение квадратного корня из дисперсии:

σ_х= +√D(X)

14. Биноминальный закон распределения: ряд распределения и основные числовые характеристики.

Случайная величина Х называется распределенной по биноминальному законус параметрамиn,p(гдеn€R,p€ [0,1]), если она принимает значения 0, 1, 2,…,nс вероятностямиP(X=x) =C_n^xp^x(1-p)^n-x(x= 0,1,2,…,n).

Ряд распределения случайной величины Х имеет следующий вид:

m	0	1	2	...	k	...	N
Pn(m)	qn	Cn1p2qn-2	Cn2p2qn-2		Cnkpkqn-k		pn

15. Геометрический закон распределения.

Случайная величина Х называется распределенной по геометрическому законураспределения с параметром р (где р € [0,1]), если она принимает значения 1,2,3,… с вероятностями Р(Х=х) = р(1-р)^х-1(х=1,2,3,…).

Математическое ожидание случайной величины,имеющей геометрической распределениеравноМ(Х) = 1/р, а еедисперсияD(Х) = 1-р/р².

16. Пуассоновский закон распределения: ряд распределения и основные числовые характеристики.

Случайная величина Х называется распределенной по закону Пуассонас параметром λ (где λ >= 0), если она принимает значения 0,1,2… с вероятностями Р(Х=х) = (λ^х/х!)*е^-λ(х=0,1,2,…)

Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, совпадает с еедисперсией и равно параметру λ:М(Х)=D(Х)=λ.

17. Непрерывная случайная величина. Функция распределения и функция плотности вероятности, их свойства.

Случайная величина Хназываетсянепрерывной, если она примет более чем счетное число значений.

f_x(x) называетсяплотностью распределения случайной величины Х. График плотности распределении случайной величины Х называетсякривой распределения случайной величины.

Если известно, о какой случайной величине идет речь, индекс, обозначающий эту случайную величину, опускается f(x) =f_x(x).

Свойства плотности распределения:

для всех х €R:f(x)>=0;

∫f(z)dz= 1;

для всех точекх €R,в которых существует производнаяF’(x).

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет конкретное число значения, равна нулю:

для всехх €R: Р(Х=х) = 0.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в числовой промежуток можно рассчитать по следующим формулам:

для всехс,d€R: таких, что с<d:

Р(с<=X<=d) =P(c<=X<=d) =P(c<=X<=d) =P(c<X<d) =F(d)-F(c) = ∫f(x)dx.