5.6 Двовимірні смугові сигнали цифрової модуляції

У сигналів М-рівневої фазової модуляції (ФМ-М) (М  4) і М-рівневої амплітудно-фазової модуляції (АФМ-М)канальні символи описуються сумою косинусного й синусного радіоімпульсів:

, (5.32)

де a_ci,a_si– пари коефіцієнтів, що спільно відображають інформацію;

A(t) – імпульс зі спектром «корінь зі спектра Найквіста»;

f₀– частота радіоімпульсів.

Оскільки кожний канальний символ описується двома коефіцієнтамиa_ciіa_si,то сигнальні сузір'я цих видів модуляції представляються у двовимірному просторі, а самі модульовані сигнали називаються двовимірними.

Сума косинусного й синусного радіоімпульсів однакових форм в (5.32) може бути замінена одним радіоімпульсом такої ж форми з амплітудним множникомА_ій початковою фазою_i, що визначаються:

. (5.33)

Канальні символи сигналів ФМ-Ммають однакові амплітудні множникиА_і=адля всіхi, а їхні початкові фази_iвідрізняються з кроком 2/М. На рис. 5.20 наведені сигнальні сузір’я сигналів ФМ-4, ФМ-8 і ФМ-16 з вказівкою модуляційних кодів Грея.

Канальні символисигналів АФМ-Мвідрізняються або амплітудними множникамиА_і, або початковими фазами_i, або амплітудними множниками й початковими фазами одночасно. На рис. 5.21 наведено сузір’я 16-рівневої квадратурної амплітудної модуляції (КАМ-16). Сигнали КАМ-Мє окремими випадками сигналів АФМ-М. До сигналів КАМ-Мвідносять сигнали АФМ-М, в яких точки сигнального сузір’я знаходяться у вузлах квадратних решіток. Така структура сузір’я надає певні зручності при демодуляції.

На практиці використовуються наступні сигнали КАМ-М: КАМ-4 (те ж саме, що ФМ-4), КАМ-8, КАМ-16, КАМ-64, КАМ-256, КАМ-1024.

Сигнали, описувані виразом (5.32), є сумою двох незалежних БМ сигналів з однаковими амплітудними спектрами, які визначаються спектром сигналу A(t). Томуширина спектра сигналу у випадку ФМ-М і АФМ-Мтак само, як і у випадку АМ-Мі ФМ-2, описується виразом (5.28).

Розглянемо схему формування сигналів ФМ‑Мі АФМ-М. З порівняння виразів (5.32) і (5.31) випливає, що схема формування двовимірних смугових сигналів (модулятор) будується на основі схеми рис. 5.16 з доповненням другим підканалом ідентичної структури і суматором (рис. 5.22). КМК ставить у відповідністьn= log₂Mвхідним бітам два П-імпульси з амплітудамиa_сiіa_si; П-імпульси фільтруються ФФ, щоб отримати імпульсиa_сiА(t) іa_siА(t), які надходять на входи балансних модуляторів; отримані модульовані сигнали підсумовуються.

Таким чином, знову переконалися, що назва методу цифрової модуляції вказує яким параметром (або якими параметрами) відрізняються канальні символи: ФМ-М–Мсигналів відрізняються початковими фазами, АФМ-М–Мсигналів відрізняються амплітудами й/або початковими фазами.

До двовимірних сигналів відносяться також сигнали двійкової частотної модуляції (ЧМ-2). З назви модуляції випливає, що канальні символи – це радіоімпульси, що відрізняються частотами:

(5.34)

де s₀(t) – канальний символ для передавання символу 0;

s₁(t) – канальний символ для передавання символу 1;

₀– середня частота радіоімпульсів;

f– рознесення частот;

A(t) – функція, що визначає форму радіоімпульсів;

а– коефіцієнт, що визначає енергію сигналів;

₀,₁– початкові фази імпульсів.

Такі канальні символи використовувались у модуляторах ЧМ-2 протягом багатьох десятиліть завдяки наступній простоті: якщо спектри радіоімпульсів s₀(t) іs₁(t) не перекриваються, то їх можна розділити під час демодуляції при довільних початкових фазах₀і₁, і немає потреби забезпечувати певні співвідношення між₀і₁.

Якщо спектри сигналівs₀(t)іs₁(t)не перекриваються, то такі сигнали ортогональні. Перейдемо до векторного подання канальних символів

, (5.35)

де

(5.36)

Модуляційний код, який робить еквівалентними записи (5.36) і (5.35), наведено у табл. 5.1. На основі виразу (5.35) і табл. 5.1 сигнальне сузір’я сигналу ЧМ-2 показано на рис. 5.23. Тут імпульси ₀(t) і₁(t) утворюють базис простору сигналів.

Д

Таблиця 5.1 – Модуляційний код ЧМ-2

і	аі	bi
0	a	0
1	0	a

ля того, щоб ширина спектрів радіоімпульсів була мінімальною й не було міжсимвольної інтерференції, імпульсA(t)повинен мати спектр «корінь зі спектра Найквіста». У такому випадку можна вважати, що спектр сигналуs_чм-2(t) є сумою спектрів двох радіоімпульсів частот₀/2 і₀+/2. На рис. 5.24 представлено нормований спектр сигналу ЧМ-2, з якого випливає, що рознесення частот буде мінімальним, коли спектри радіоімпульсів примикають один до одного, і дорівнює:

, (5.37)

де Т– тактовий інтервал, що дорівнюєТ_б.

Тоді ширина спектра сигналу ЧМ-2:

, (5.38)

вона вдвічі більша ширини спектра сигналів АМ-2 і ФМ-2.

Із запису (5.36) і табл. 5.1 випливає схема модулятора сигналу ЧМ-2 (рис. 5.25). Формування сигналу ЧМ-2 відрізняється від формування сигналів ФМ-Мроботою кодера модуляційного коду й тим, що частоти опорних коливань генераторів у балансних модуляторах відрізняються на величину/2 від частоти несівного коливання.

Недоліками сигналу ЧМ-2 на основі імпульсів Найквіста є: непостійна обвідна модульованого сигналу і надто широкий спектр сигналу. Вказані недоліки можна суттєво зменшити, якщо використати канальні символи (5.34), коли функціяA(t) – П-імпульс тривалостіТз амплітудою. Нехай₀=₁= 0. Легко впевнитись, що у цьому разі скалярний добуток сигналівs₀(t) іs₁(t):

. (5.39)

Отже, канальні символи (5.34) ортогональні, коли рознесення частот

. (5.40)

Розглянемо випадок, k= 1, тобтоf= 0,5/T. Сигнал ЧМ-2 на одному тактовому інтервалі записується

, (5.41)

де знак «+» відповідає s₁(t), а знак «–» відповідаєs₀(t).

Із (5.41) видно, що на тактовому інтервалі має місце лінійна зміна фази несівного коливання cos2f₀t, а у моментТнабіг фази складає/2.

Модуляція ЧМ-2 називається модуляцією мінімального зсуву (ММЗ) у разі виконання наступних умов:

1. У канальних символів (5.34) функція A(t) – П-імпульс тривалостіТ.

2. Рознесення частот f= 0,5/T.

3. Модульований сигнал формується без “розриву” фази.

Остання умова реалізується наступним чином: фаза несівного коливання cos2f₀tна початку наступного тактового інтервалу збігається з фазою у кінці попереднього тактового інтервалу, повинно бути накопичення фази без “розриву”. Для цього символи цифрового сигналу відображаються у П-імпульси тривалостіТі амплітудиd_k (k –номер тактового інтервалу): 1d_k= 1, 0d_k= –1. Тоді зміну фази(t) без “розриву” для будь-якого моменту часуt = nT + t можна записати

. (5.42)

Тут П-імпульси амплітуди d_kвиступають у ролі множників до функціїft. Для первинного цифрового сигналуb(t) = {1, 0, 0, 1} на рис. 5.26 наведено зміну фази(t) без “розриву”.

Сигнал ММЗ на нескінченному інтервалі записується

, (5.43)

де (t) – зміна фази, яка визначається виразом (5.42).

Подамо сигнал s_ММЗ(t) через квадратурні складові:

, (5.44)

де I(t) =cos(t) – косинусна складова;

Q(t) = –sin(t) – синусна складова.

Для первинного цифрового сигналу b(t) = {1, 0, 0, 1}на рис. 5.26 наведено квадратурні складові. Подання сигналуs_ММЗ(t) через квадратурні складові лежить в основі побудови схеми модулятора (рис. 5.27).

Формування I(t)

_

Формування (t)

Перетворення символів у П-імпульси амплітуди d_k

b(t)

G

acos2f₀t asin2f₀t

s_ммз(t)

+

Формування Q(t)

_

Рисунок 5.27 – Модулятор сигналу ММЗ

Нормований спектр модульованого сигналу ММЗ описується виразом

. (5.45)

Залежність (5.45) наведено на рис. 5.28. Зі збільшенням f–f₀спектр убуває зі швидкістю 1/(f –f₀)². Якщоширину спектраF_ммзвизначити за першими нулями залежності (5.43), то

F_ммз= 1,5/Т= 1,5R. (5.46)

Збільшення швидкості убування спектра можна досягти шляхом згладжування “зломів” функції(t). Досягається це у схемі модулятора (рис. 5.27) пропусканням П‑імпульсів з виходу схеми перетворення символів у П-імпульси через ФНЧ. Так, у відповідності до стандартуGSMна системи мобільного зв’язку використовується ММЗ і гауссів фільтр (фільтр, АЧХ якого описується гауссовою залежністю). Такий метод модуляції отримав назву гауссова модуляція мінімального зсуву (ГММЗ).

Приклад 5.3.Побудуємо часові діаграми сигналів у всіх точках схеми модулятора сигналу ЧМ-2, поданої на рис. 5.25, за таких умов:b(t) = {1 1 1 0 0 1 0 0};T_б= 1 с; α = 0.

Як і в попередньому прикладі поставлене завдання будемо вирішувати, використовуючи середовище Matlab. Відповідний програмний код наведено в додатку Г, а результати його виконання наведено на рис. 5.29…5.31.

Вправа 5.8.Використовуючи середовище Matlab або інше за аналогією до прикладу 5.3 побудуйте часові діаграми, аналогічні тим, що зображені на рис. 5.29 – 5.31, при іншому цифровому сигналі.

Вправа 5.9.Визначте у скільки разів відрізняється ширина спектра сигналу ЧМ-2 на основі імпульсів Найквіста та сигналу ММЗ. Використайте граничні та типові значення коефіцієнта скату спектра.

Рисунок 5.29 – Цифровий сигнал та сигнал на виходах КМК

Рисунок 5.30 – Фільтровані послідовності імпульсів з виходів КМК

Рисунок 5.31 – Сигнали на виходах перемножувачів та модульований сигнал ЧМ-2