3.5 Числові характеристики і кореляційна функція ергодичного процесу

Стаціонарний випадковий процес називається ергодичним,якщо будь-які статистичні характеристики його, знайдені шляхом усереднення за ансамблем реалізацій, збігаються з характеристиками, знайденими усередненням у часі однієї реалізації.

Середнє значення за часом позначають хвилястою лінією над залежністю, що усереднюється за часом. Так,середнє в часізначення процесуX(t) визначається усередненням за часом реалізаціїx(t)

(3.35)

Середня потужністьпроцесу

. (3.36)

Дисперсія процесу

(3.37)

КФергодичного процесу визначається

. (3.38)

Два процеси X(t) іY(t) називаютьсяспільно ергодичними, якщо усереднення функцій від них за ансамблем приводить до того ж результату, що й усереднення за часом.Взаємнакореляційна функція спільно ергодичних процесіввизначається

. (3.39)

3.6 Спектральна густина потужності стаціонарного випадкового процесу

При вивченні детермінованих сигналів для спектрального аналізу використовується перетворення Фур'є. Можна спробувати знайти перетворення Фур'є від k-ї реалізації процесуx_k(t) і знайти її спектральну густину як межу

. (3.40)

Проте спроба може виявитися безуспішною, оскільки при Tнемає гарантії, щоk-та реалізація задовольняє умові абсолютної інтегрованості. Якби межа інтеграла (3.40) дляk-ї реалізації й існувала, то вона була б спектральною характеристикою лишеk-ї реалізації, а не процесу в цілому.

Можна показати, що

, (3.41)

де пряма лінія означає усереднення за ансамблем реалізацій. Співвідношення (3.41) є не що інше, як перетворення Фур’є від КФпроцесу. ОскількиКФхарактеризує процес у цілому, то й ліва частина в (3.41) є спектральною характеристикою всього процесу. Її позначають якG_X().

Фізичний зміст функції G_X() легко з’ясувати, якщо врахувати, щоS_k(j)²відповідно до рівності Парсеваля (2.51) характеризує розподіл енергії процесу за частотою. У результаті ділення цієї функції наTотримаємо розподіл потужності процесу за частотою.

Співвідношення (3.41) можна переписати у вигляді прямого й зворотного перетворень Фур'є

(3.42)

На підставі (3.42) можна записати

. (3.43)

Нам вже відома властивість КФ K_X(0) =P_X, враховуючи її, стверджуємо, щофункціяG_X() дійснохарактеризує розподіл потужності процесу за частотою на інтервалі(,), а значення функціїG_X() абоG_X(f) дорівнює потужності процесу у смугах в 1 Гц навколо частот +fіf. У зв’язку зі сказанимфункціюG_X()називаютьспектральною густиною потужності процесу(СГП). Таким чином,спектральна густина потужності й кореляційна функція стаціонарного випадкового процесу зв’язані перетвореннями Фур’є. Це твердження відоме яктеорема Хінчина-Вінера. Розмірність СГП В²/Гц, вона збігається з розмірністю енергії й, напевно тому, іноді функціюG_X() називають енергетичним спектром процесу.

Оскільки функції K_X() іG_X() парні, то замість пари перетворень (3.42) можна записати пару косинус-перетворень Фур’є, які, як правило, більш прості в обчисленнях, ніж співвідношення (3.34)

(3.44)

Знаючи функцію G_X(), можна визначити ширину спектра процесу тими самими способами, що і ширину спектра детермінованого сигналу, наприклад, як протяжність області додатних частот, поза якою значення функції не перевищують значення 0,1max{G_X()}. Якщо спектр примикає до нуля, то ширину спектра позначають величиноюF_max(рис. 3.4,а), а якщо спектр смуговий, то ширину спектра позначають величиноюF(рис. 3.4,б).

Оскільки функції G_X() іK_X() зв’язані перетворенням Фур’є, то відповідно до властивості перетворення Фур’є зміни масштабуі, чим менший інтервал кореляції процесу, тим ширший спектр процесу й навпаки. Інакше кажучи,інтервал кореляції й ширина спектра процесів обернено пропорційні величини, а їх добуток є величиною порядку 0,5:

τ_кF_max0,5.

Приклад 3.5. Випадковий процесX(t) має КФ, задану у прикладі 3.3. Визначимо СГП процесу X(t), знайдемо ширину спектра процесуX(t) та перевіримо виконання умови τ_кF_max 0,5.

Для визначення СГП знаходимо косинус перетворення Фур’є КФ

При визначенні G_X() враховано, що спектральною густиною константи є дельта-функція з множником 2π, а також використано табличний інтеграл

Легко перевірити правильність отриманого виразу, якщо здійснити його інтегрування в нескінченних межах та порівняти результат з K_X(0) = 12 В²(вираз (3.5))

В².

Вираз G_X() однозначно визначаєF_max= 100 Гц.

Знайдемо добуток інтервалу кореляції та ширини спектра τ_кF_max= 100/200 = 0,5 – результат збігається з очікуваним значенням.

Вправа 3.6.Випадковий процесX(t) має КФ, задану у вправі 3.5. Визначте СГП процесуX(t), знайдіть ширину його спектра, обчисліть добуток τ_кF_max.