- •1.3 Понятие функции.
- •1.4 Основные характеристики функций.
- •2. Числовые последовательности.
- •2.1 Определения и основные понятия.
- •2.2 Предел последовательности.
- •2.3 Бесконечнобольшие(б.Б.) и бесконечномалые(б.М.) последовательности.
- •2.4 Сходящиеся последовательности.
- •2.5 Монотонные последовательности.
- •3. Предел функции.
- •3.1 Основные определения.
- •3.2 Односторонние пределы.
- •3.3 Бесконечно большие(б.Б.) и бесконечно малые(б.М.) функции.
- •3.4 Основные теоремы о пределах.
- •3.5 Первый замечательный предел.
- •3.6.Второй замечательный предел.
- •3.7. Сравнение бесконечно малых величин.
- •4. Непрерывность функций
- •4.1.Непрерывность функции в точке
- •4.2 Непрерывность функции в интервале и на отрезке
- •4.3 Классификация точек разрыва
- •4.4 Свойства функций, непрерывных в точке
- •4.5 Свойства функций, непрерывных на отрезке (a;b)
- •5. Дифференцирование
- •5.1 Понятие производной
- •5.2. Геометрический смысл производной
- •5.3 Дифференцируемость функции
- •5.4 Правила дифференцирования.
- •5.5 Производные элементарных функций
- •5.6 Производная сложной функции
- •5.7 Производная обратной функции
- •5.8 Понятие дифференциала
- •5.9 Производная и дифференциал высших порядков
- •6. Применение диф. Исчисления к исследованию функций.
- •6.1 Основные теоремы дифференциального исчисления
- •6.2 Правило Лапиталя
- •6.3 Монотонность функций.
- •6.4 Экстремумы функций.
- •6.5 Направление выпуклостей и точки перегиба графика функций.
- •6.6 Асимптоты графика функций
- •6.7 Схема исследования функции и исследование её графика
- •6.8 Формула Тейлора
- •1.1.Основные определения.
- •1.2 Предел функции двух переменных.
- •1.4 Основные свойства непрерывных функций двух переменных.
- •2 Дифференцирование функций нескольких переменных
- •2.1 Частные производные
- •2.2 Понятие дифференцируемости
- •2.3 Производные сложных функций
- •2.4 Дифференциал функции
- •2.5 Производная по направлению и градиент
- •2.6 Экстремум функции двух переменных
- •2.7 Условный экстремум
- •2.8 Минимум и максимум функции двух переменных
- •Глава 5. Интегральное исчисление.
- •1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •1.1. Первообразная
- •1.2 Неопределённый интеграл
- •1.3 Таблица основных интегралов
- •3.2 Формула Ньютона-Лейбница.
- •3.3 Основные свойства определённого интеграла
- •3.4 Интеграл с переменным верхним пределом
- •3.5 Основные методы интегрирования
- •3.6 Не собственный Интеграл с бесконечными пределами интегрирования
1.4 Основные свойства непрерывных функций двух переменных.
Множество D точек плоскости называется связным, если его можно соединить непрерывной линией состоящей из точек данного множества.
Точка М называется Внутренней точкой множества D, если существует окрестность данной точки, состоящая из точек данного множества.
Множество D состоящее лишь из внутренних точек называется открытым.
Связное открытое множество D называется открытой областью.
Точка М называется граничной точкой области. Если в любой её окрестности есть точки, как принадлежащие, так и не принадлежащие этой области.
Множество точек образованное областью и её границей называется замкнутой областью.
Множество D называют ограниченным, если существует круг, внутри которого оно находится.
Основные свойства непрерывной функции: 1) если функция z=f(M) непрерывна в замкнутой, ограниченной области, то она ограничена в этой области, т.е. существует такое K, что |f(M)|<K; 2) если функция z=f(M) непрерывна в замкнутой, ограниченной области, то она имеет такие точки в этой области, в которых принимает наибольшее и наименьшее значения; 3) если функция z=f(M) непрерывна в замкнутой, ограниченной области, то она принимает хотя бы в одной точке области любые численные значения между наибольшим и наименьшим.
2 Дифференцирование функций нескольких переменных
2.1 Частные производные
Рассмотрим функцию z=f(M) в некоторой окрестности точки М, придадим переменной х в М некоторое приращение, зафиксировав при этом у. От точки М перейдём к точке М1: М(x;у)М1(х+х;у), тогда соответствующее приращение функции xZ=∫f( х+х;у)-f(x;y) называется частным приращением по х в точке М.
Если существует , то говорят о том, что существует частная производная, соответственно частная производная поy: .
Если Zx’ определена в окрестности точки М и существует производная этой функции по переменной х, то это производная второго порядка.
Если существует частная производная по у, то её называют смешанной производной второго порядка.
Теорема: Если существуют смешанные производные второго порядка Zxy’’ и Zyx’’, в некоторой окрестности точки М, и непрерывны в самой точке М, то они равны между собой в этой точке.
Замечание:
2.2 Понятие дифференцируемости
Пусть Z=f(M) определена в некоторой окрестности точки М.
Определение: функция Z=f(M) называется дифференцируемой в точке М (х;у), если её полное приращение может быть представлено в виде: Z=Ax+By+(x;y)x+(x;y)y, где А и В – const, и -бесконечно малые функции.
Теорема о связи между дифференцируемостью и непрерывностью: Пусть Z=f(M) дифференцируема в точке М (х;у), тогда она непрерывна в этой точке.
Док-во: так как функция Z дифференцируема в точке М, то её полное приращение м.б. представлено в виде: Z=Ax+By+(x;y)x+(x;y)y. Найдём предел Z при x и y стремящихся к нулю. Результат ноль, следовательно функция в точке М непрерывна (по второму определению непрерывности)
Теорема необходимое условие дифференцируемости: Если Z=f(M) дифференцируема в точке М(х;у), то она имеет в этой точке частные производные, причем . Док-во: т.к. функция дифференцируема в точке М, то её приращение может быть представлено в видеZ=Ax+By+(x;y)x+(x;y)y. Предположим, что y=0, тогда Zх=Ax+(x;0)x. Разделим на x и перейдём к пределу при x0, тогда: .Zx’=A, Zy’=B.
Теорема достаточное условие дифференцируемости: если Z=f(M) имеет частные производные в окрестности точки М и эти производные непрерывны в самой точке М. то функция дифференцируема в этой точке.
Следствие: из непрерывности частных производных следует непрерывность самой функции.