- •1.3 Понятие функции.
- •1.4 Основные характеристики функций.
- •2. Числовые последовательности.
- •2.1 Определения и основные понятия.
- •2.2 Предел последовательности.
- •2.3 Бесконечнобольшие(б.Б.) и бесконечномалые(б.М.) последовательности.
- •2.4 Сходящиеся последовательности.
- •2.5 Монотонные последовательности.
- •3. Предел функции.
- •3.1 Основные определения.
- •3.2 Односторонние пределы.
- •3.3 Бесконечно большие(б.Б.) и бесконечно малые(б.М.) функции.
- •3.4 Основные теоремы о пределах.
- •3.5 Первый замечательный предел.
- •3.6.Второй замечательный предел.
- •3.7. Сравнение бесконечно малых величин.
- •4. Непрерывность функций
- •4.1.Непрерывность функции в точке
- •4.2 Непрерывность функции в интервале и на отрезке
- •4.3 Классификация точек разрыва
- •4.4 Свойства функций, непрерывных в точке
- •4.5 Свойства функций, непрерывных на отрезке (a;b)
- •5. Дифференцирование
- •5.1 Понятие производной
- •5.2. Геометрический смысл производной
- •5.3 Дифференцируемость функции
- •5.4 Правила дифференцирования.
- •5.5 Производные элементарных функций
- •5.6 Производная сложной функции
- •5.7 Производная обратной функции
- •5.8 Понятие дифференциала
- •5.9 Производная и дифференциал высших порядков
- •6. Применение диф. Исчисления к исследованию функций.
- •6.1 Основные теоремы дифференциального исчисления
- •6.2 Правило Лапиталя
- •6.3 Монотонность функций.
- •6.4 Экстремумы функций.
- •6.5 Направление выпуклостей и точки перегиба графика функций.
- •6.6 Асимптоты графика функций
- •6.7 Схема исследования функции и исследование её графика
- •6.8 Формула Тейлора
- •1.1.Основные определения.
- •1.2 Предел функции двух переменных.
- •1.4 Основные свойства непрерывных функций двух переменных.
- •2 Дифференцирование функций нескольких переменных
- •2.1 Частные производные
- •2.2 Понятие дифференцируемости
- •2.3 Производные сложных функций
- •2.4 Дифференциал функции
- •2.5 Производная по направлению и градиент
- •2.6 Экстремум функции двух переменных
- •2.7 Условный экстремум
- •2.8 Минимум и максимум функции двух переменных
- •Глава 5. Интегральное исчисление.
- •1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •1.1. Первообразная
- •1.2 Неопределённый интеграл
- •1.3 Таблица основных интегралов
- •3.2 Формула Ньютона-Лейбница.
- •3.3 Основные свойства определённого интеграла
- •3.4 Интеграл с переменным верхним пределом
- •3.5 Основные методы интегрирования
- •3.6 Не собственный Интеграл с бесконечными пределами интегрирования
5. Дифференцирование
5.1 Понятие производной
Рассмотрим функцию y=f(x) на интервале (a;b). Возьмём на этом интервале точку х0 и приращение на оси Ох. Прямая, соединяющая 2 точки (х0;f(x0)) и (x0+x;f(x0+x))на графике функции называется секущей.
Угловой коэффициент секущей равен отношению приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента.
Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует)
Если предел конечен, то производная конечная, если предел бесконечен, то производная бесконечна.
5.2. Геометрический смысл производной
прямая y-y0=k(x-x0), угловой коэффициент которой равен производной функции в данной точке (k=f’(x0)) называется касательной к графику функции в данной точке.
При х0, значение х0+хх0, т.е. секущая стремиться занять положение касательной, так будем говорить, что касательная есть предельное положение секущей.
Геометрический смысл производной состоит в том, что она равна tg угла наклона касательной.
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания называется нормалью. -уравнение нормали в точке х0.
5.3 Дифференцируемость функции
Операция вычисления производной функции называется дифференцированием.
Функция y=f(x), называется дифференцируемой в точке х0, если её приращение функции (y) может быть представлено: y=A*x+(x)x, где А-число, не зависящее от х, а (x) – бесконечно малая функция.
Теорема: для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируемой в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. Док-во: необходимость: пусть функция дифференцируема в точке, тогда её приращение может быть записано как y=A*x+(x)x. Разделим всё на x: , переходя к пределу:. По определению в точке х0 имеется конечная производная А. Достаточность: пусть существует конечная производная функцииy=f(x) в точке х0: ,
Теорема (второе определение непрерывности): если функция y=f(x) дифференцируема в точке х0, то она и непрерывна в этой точке. Док-во: т.к. функция дифференцируема в точке, то её приращение можно записать y=A*x+(x)x, найдем предел: , это означает, что функция в точке непрерывна. Обратное НЕ верно.
5.4 Правила дифференцирования.
Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в точке х, тогда:
(f(x)+-g(x))’=f’(x)+-g’(x) доказывается нахождением предела при х0.
(f(x)g(x))’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x).
(Сf(x))’=Cf’(x)
5.5 Производные элементарных функций
5.6 Производная сложной функции
y=f(u) и u=g(x), то y=f(g(x)) – сложная функция, с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.
Теорема: пусть u=g(x) – дифференцируема в точке х0, а функция y=f(u)-дифференцируема в точке u0, где u0=g(x0), тогда y=f(g(x))-дифференцируема в точке х0 и её производная находится по формуле y’(x0)=f’(u0)g’(x0). Док-во: -*, т.к функция дифференцируема в точке u0, то её производная м.б. записана: , тогда её приращение м.б. представить
f(u0+u)-f(u0)=Au+(u)u, где (u)-бесконечно малая, А-производная в точке u0. f(g(x0+x))=f(u0+u), f(g(x0))=f(u0). В *