Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления имеет алфавит, состоящий из 16 цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, b, c, d, e, f.

При записи числа в шестнадцатеричной системе для записи цифр обозначающих числа 10, 11, 12. 13, 14. 15 используются соответственно буквы А, В, С, D, E, F.

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы в десятичную

Перевести любое шестнадцатеричное число в десятичное можно по уже известной формуле

Примеры.

1. АЕ07₁₆=10∙16³+14∙16²+0∙16¹+7∙16⁰=44551₁₀.

2. 100₁₆=1∙16²+0∙16¹+0∙16⁰=256₁₀.

3. 58₁₆=5∙16¹+8∙16⁰=.88₁₀.

4. 2А₁₆=2∙16¹+10∙16⁰=42₁₀.

5. D₁₆ = 13₁₀.

Перевод числа из десятичной системы в шестнадцатеричную осуществляется также, как в двоичную.

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно

Перевести любое шестнадцатеричное число в двоичное можно следующим образом. Каждая цифра шестнадцатеричной записи числа записывается четырехзначным двоичным числом — тетрадой. После этого нули, стоящие слева, можно отбросить.

016 = 00002	416 = 01002	816 = 10002	C16 = 11002
116 = 00012	516 = 01012	916 = 10012	D16 = 11012
216 = 00102	616 = 01102	A16 = 10102	E16 = 11102
316 = 00112	716 = 01112	B16 = 10112	F16 = 11112

1) D= 11012.

2) 2A= 0010 10102= 1010102.

3) 5816= 0101 10002= 10110002.

И наоборот, перевести любое двоичное число в шестнадцатеричное можно аналогичным образом. Каждые четыре двоичные цифры, считая справа налево, записываются одной шестнадцатеричной цифрой. Эти цифры располагаются также справа налево.

Примеры.

1. 1101₂=D.

2. 101010₂= 10 1010₂= 2A.

3. 1011000₂= 101 1000₂= 58₁₆.

Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления имеет алфавит, состоящий из 8 цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Перевод числа из десятичной системы в восьмеричную и обратно осуществляется по аналогии с переводом в двоичную / из двоичной.

Перевод чисел из восьмеричной системы в двоичную и обратно

Каждая цифра восьмеричной записи числа записывается трехзначным двоичным числом — триадой.

08 = 0002	48 = 1002
18 = 0012	58 = 1012
28 = 0102	68 = 1102
38 = 0112	78 = 1112

Примеры.

2563₈= 010 101 110 011₂=10101110011₂.

1001101₂= 001 001 101₂= 115₈.

Методические материалы для лабораторного занятия №1

Тема лабораторного занятия: Системы счисления. Измерение информации.

Количество часов: 2.

Примеры с решениями

1. Перевод из p-ичной системы в 10-ичную. Пусть надо перевести число в некоторой системе счисления в десятичную. Для этого надо представить его в виде

.

11100110₂ = 1∙2⁷ + 1∙2⁶ + 1∙2⁵ + 0∙2⁴ + 0∙2³ + 1∙2² + 1∙2¹ + 0∙2⁰ = 128 + 64 + 32 + 4 + 2 = 230₁₀.

2401₅ = 2∙5³ + 4∙5² + 0∙5¹ + 1∙5⁰ = 250 + 100 + 0 + 1 = 351.

2. Перевод из 10-ичной системы в p-ичную.

2.1 98₁₀ → Х₂.

Делим число на 2. Затем делим неполное частное на 2. Продолжаем до тех пор, пока неполное частное не станет меньше 2, т.е. равным 1.

1. 98 : 2 = 49. Остаток — 0.

2. 49 : 2 = 24. Остаток — 1.

3. 24 : 2 = 12. Остаток — 0.

4. 12 : 2 = 6. Остаток — 0.

5. 6 : 2 = 3. Остаток — 0.

6. 3 : 2 = 1. Остаток — 1.

Так как последнее неполное частное равно 1, процесс окончен. Записываем все остатки снизу вверх, начиная с последнего неполного частного, и получаем число 1100010. Итак 98₁₀ = 1100010₂.

2.2 2391₁₀ → Х₁₆.

Делим число на 16. Затем делим неполное частное на 16. Продолжаем до тех пор, пока неполное частное не станет меньше 16.

1. 2391 : 16 = 149. Остаток — 7.

2. 149 : 16 = 9. Остаток — 5.

Так как последнее неполное частное (9) меньше 16, процесс окончен. Записываем, начиная с последнего неполного частного, все остатки снизу вверх и получаем число 957. Итак 2391₁₀ = 957₁₆.

2.3 12165₁₀ → Х₂.

Если переводить делением в двоичную систему, то получится довольный громоздкий процесс. Можно сначала перевести число в восьмеричную систему, а затем заменять восьмеричные цифры справа налево триадами.

12165₁₀ = 27605₈ = 010 111 110 000 101 = 10111110000101.

3. Определение основания системы счисления p.

Один мальчик так написал о себе: «Пальцев у меня 24, на каждой руке по 5, а на ногах 12». Как такое может быть?

Решение. Надо определить основание системы счисления p. Так как мы знаем, что пальцев на ногах всего 10₁₀, то 12_p=1∙p+2 = 10₁₀. Отсюда получаем уравнение p + 2 = 10  p = 8. Значит, мальчик имел в виду числа в восьмеричной системе. Действительно, всего пальцев 24₈ = 2∙8+4 = 20₁₀, а на ногах — 12₈ = 1∙8+2 = 10₁₀.