4. Числовые и степенные ряды

4.1 Числовые ряды. Основные понятия.

Определение 1. Пусть задана бесконечная последовательность чисел

Выражение

называется числовым рядом. (4.1.1)

При этом - называются членами ряда,- общий член ряда.

Ряд (4.1.1) считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный, как функция его номера n:. Обычноn полагают равным1,2,3,…,иногда начинают ряд сn=0.

Определение 2. Сумма конечного числа первых n членов ряда называетсячастичной суммойряда и обозначается через, т.е..

Примеры частичных сумм:

Определение 3. Если частичная сумма ряда (4.1.1) имеет приконечный пределS,то данный ряд называютсходящимся, а числоS– называют суммой ряда.

Если же частичная сумма не имеет конечного придела, то говорят, что данный ряд расходиться и ряд называютрасходящимся.(или- не существует.)

Примеры: 1) Ряд нельзя считать заданным, а ряд 2+5+8+… - можно,.

2) Ряд 0+0+0+… сходится, S=0 (сумма равна нулю);

3) Ряд 1+1+1+1+… расходится, ;

4) Ряд 1-1+1-1+1-1+… расходится, так как частичные суммы и- не имеет предела.

5) Ряд сходится. Имеем. Запишем первыеn членов рада

.

Складывая их получаем , находим. Таким образом, ряд сходится и его сумма равна 1.

Свойства рядов.

1. Если рядсходится и его сумма равнаS, то ряд, (4.1.2)

где с– произвольное число, так же сходится и его сумма ранас∙S,т.е. ряд можно почленно умножать на одно и то же число.

Если же ряд - расходиться ис не равно нулю, то и ряд (4.1.2) расходится.

2. Два сходящихся ряда иможно почленно складывать и вычитать, причем полученные рядытак же сходятся, имея своей суммой соответственно

Замечание: из свойства 2 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.

Сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся рядом, так и расходящимся.

3. Если к ряду прибавить (или отбросить) конечное число членов ряда, то полученный ряд и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно.

Исходный ряд - , (*)

новый ряд, получен отбрасыванием первых nчленов ряда

(**)

Если ряд (*) сходится, то ряд (**) также сходится, если ряд (*) расходится, то ряд (**) также расходится.

Замечание к 3 свойству.

Ряд называютп-м остатком ряда

он получается из ряда (4.1.1) отбрасыванием первых nчленов. И если ряд (4.1.1) сходится, т.е.то его остатокстремится к нулю при,т.е..

Арифметическая, геометрическая прогрессии. Ряд геометрической прогрессии

Арифметическая прогрессия- последовательность чисел, в которой разность между последующим и предыдущим членами остается неизменной.

d – разность арифметической прогрессии. Если известен первый члени разность прогрессииd, то.

Пример: 1) 2,5,8,11

2) 5,3,1,-1,-3

Геометрическая прогрессия- последовательность чисел, в которой отношение последующего члена к предыдущему есть величина постоянная.

, -знаменатель прогрессии.

- формула n-го члена геометрической прогрессии, если известен первый члени знаменательq.

Пример: 2,4,8,16… ,

3,6,12,24… ,

Определение. Ряд (4.1.3) называетсярядом геометрической прогрессии.

Исследуем ряд (4.1.3) на сходимость. Сумма первых n-членов геометрической прогрессии находится по формуле.

Найдем предел этой суммы

Рассмотрим случаи:

1. Если , то, поэтомуследовательно, если, ряд сходится.

1. Если , то,, ряд расходится.

2. Если , то приq=1ряд примет вид. Тогда . При q= -1ряд принимает види- не существует.

Следовательно ряд при расходится.

Итак ряд геометрической прогрессии сходится при и расходится при.

Примеры: расходится.

сходится .