- •35 Вопрос:
- •36 Вопрос:
- •37 Вопрос:
- •39 Вопрос:
- •40 Вопрос:
- •41 Вопрос:
- •42 Вопрос:
- •43 Вопрос:
- •44 Вопрос:
- •45 Вопрос:
- •12.1. Несобственные интегралы по неограниченному промежутку
- •46 Вопрос:
- •47 Вопрос:
- •49 Вопрос:
- •50 Вопрос:
- •51 Вопрос:
- •52 Вопрос:
- •Связь с градиентом
- •53 Вопрос:
- •54 Вопрос:
- •Дифференциал высшего порядка функции одной переменной[править]
- •Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных[править]
- •55 Вопрос:
- •Необходимые условия существования локальных экстремумов [править]
- •Достаточные условия существования локальных экстремумов [править]
- •56 Вопрос:
- •57 Вопрос: Теорема об обратной функции.
49 Вопрос:
Повт. Предел: Для функции нескольких переменных можно определить понятие предела по одной из переменных при фиксированных значениях остальных переменных. В связи с этим возникает понятие повторного предела.
Пусть функция n переменных u = f(x) = f(x1, x2, … , xn) определена в некоторой окрестности точки a = (a1, a2, … , an) Rn , за исключением, быть может, самой точки a.
Определение 1. Число A называется пределом функции f(x) в точке a = (a1, a2, … , an), если
ε > 0 δ ε > 0 : x Oδ(a) |f(x) − A| < ε
Обозначение:
lim |
x → a |
f(x) = A.
В пространстве R2 предел функции f(x,y) в точке a(a1, a2) принято обозначать следующим образом:
lim |
x → a1 y → a2 |
f(x, y) = A. или
lim |
x → a1 y → a2 |
f(x, y) = A.
Замечания.
Определение предела функции n переменных в точности совпадает с определением предела функции одной переменной, только окрестность точки a теперь не интервал (a − δ,a + δ), а n–мерный открытый шар
(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + … + (xn − an)2 < δ2.
Если a — граничная точка области определения D(f) функции f, то определение предела уточняется следующим образом (аналогично понятию одностороннего предела функции одной переменной):
ε >0 δε > 0: x Oδ(a) ∩ D(f) |f(x) − A|<ε.
Теорема 1. Пусть функции n переменных f(x) и g(x), определены в области D Rn и для некоторой точки a
lim |
x → a |
f(x) = A и
lim |
x → a |
g(x) = B.
Тогда
lim |
x → a |
[f(x) + g(x)] = A + B,
lim |
x → a |
f(x) · g(x) = A · B, и при B ≠ 0
lim |
x → a |
f(x) |
g(x) |
=
A |
B |
.
Теорема доказывается так же, как для функции одной переменной.
Определение 2. Функция f(x) называется бесконечно малой в точке a, если
lim |
x → a |
f(x) = 0.
Определения и теоремы о бесконечно малых функций одной переменной справедливы для бесконечно малых функций нескольких переменных.
50 Вопрос:
-
51 Вопрос:
В математическом анализе, частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.
В явном виде частная производная функции определяется следующим образом:
Следует обратить внимание, что обозначение следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной , которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: , где — частный дифференциал функции по переменной . Часто непонимание факта цельности символа является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение в выражении . (подробнее см. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»).
Геометрически, частная производная является производной по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции в точке по координате равна производной по направлению , где единица стоит на -ом месте.