4193
.pdfМІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
Запорізький національний технічний університет
ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ
з вищої математики
для студентів технічних спеціальностей денної форми навчання (2-й семестр)
1 частина
2011
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
2
Індивідуальні завдання з вищої математики для студентів технічних спеціальностей денної форми навчання (2-й семестр, 1частина) / Укл.: Попригіна Т.Ф., Скуйбіда Л.Г., Слюсарова Т.І., – Запоріжжя: ЗНТУ, 2011 – 74 с.
Укладачі: Розділ «Невизначений інтеграл» - Т.І. Слюсарова, ас. Розділ «Визначений інтеграл» - Т.Ф.Попригіна, ст.викл.,
Л.Г. Скуйбіда, ст. викл.
Комп′ютерна верстка: Давиденко С.І.
Рецензенти: І.М. Килимник, доц., к.т.н.; В.М. Онуфрієнко, проф., доктор ф.-м.н., зав. каф. загальної математики.
Відповідальний за випуск: Ю.І. Нагорний, доц., к.ф.-м.н.
Затверджено на засіданні кафедри вищої математики ЗНТУ Протокол № 7 від 25.05.11
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
|
|
3 |
|
|
ЗМІСТ |
1. Невизначений інтеграл |
4 |
|
1.1 Таблиця інтегралів |
4 |
|
1.2 |
Правила інтегрування |
4 |
1.3 |
Аудиторні завдання |
8 |
1.4 |
Індивідуальні завдання |
15 |
2.Визначений інтеграл |
44 |
|
2.1 |
Аудиторні завдання |
44 |
2.2 Індивідуальні завдання |
47 |
|
Література |
74 |
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
4
1.НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ
Таблиця інтегралів:
u= u(x), du = u′(x)dx ;
1)òdu = u + C ;
uα+1
2)òuαdu = a +1 + C, a ¹ 1;
3)ò duu = ln u + C ;
4) ò audu = |
au |
+ C ; |
|
ln a |
|||
|
|
5)ò eudu = eu + C ;
6)òsin u du = -cosu + C ;
7)ò cosu du = sin u + C ;
8)ò tgu du = -ln cosu + C ;
9)ò ctgu du = ln sin u + C ;
10) ò |
|
du |
|
= tgu + C ; |
|
|
|
||||||||||||
cos2 u |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11) ò |
|
du |
|
= -ctgu + C ; |
|
|
|
||||||||||||
sin 2 u |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12) ò |
|
|
du |
|
= |
|
1 |
arctg |
u |
|
+ C ; |
||||||||
u2 + a2 |
|
a |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
du |
|
|
= |
|
1 |
|
|
u - a |
|
+ C ; |
||||||
13) ò |
|
|
|
|
ln |
|
|||||||||||||
|
u2 - a2 |
|
2a |
u + a |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
14) ò |
|
|
|
|
|
|
= ln |
u + |
|
u2 ± a2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
u2 ± a 2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò duu = 2u + C ;
ò |
|
du |
= -ò |
du |
; |
|
a2 - u2 |
u2 - a2 |
|||
|
|
|
|
||
|
+ C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
5
15) ò |
|
du |
|
= arcsin |
u |
+ C ; |
|
|
|
|
a |
||||
a 2 - u2 |
|||||||
|
|
|
|
|
16)òsh u du = ch u + C ;
17)òch u du = sh u + C ;
18)ò a2 - u2du = 12 ua2 - u2 + 12 a2 arcsin ua + C ;
19)ò u2 ± a2du = 12 uu2 ± a2 ± 12 a2 ln u + u2 ± a2 + C
20) |
ò |
|
du |
= th + C ; |
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
ch u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21) |
ò |
|
du |
|
= -cth u + C ; |
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
sh u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|||
22) |
ò |
|
= ln |
|
|
tg |
+ C ; |
|
|
|
|||||
sin u |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
du |
= ln |
|
æ u |
+ |
p |
ö |
|
+ C . |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
23) |
ò |
|
|
|
|
tgç |
|
÷ |
|
||||||
|
cosu |
4 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
è 2 |
|
ø |
|
|
||||||
|
Правила інтегрування |
||||||||||||||
1. |
òk ×f (x)dx = k × òf (x)dx = k × F(x)+ C, де F′ (x)= f (x), k- стала |
величина
2.òf (ax + b)dx = 1a × F(ax + b)+ C
3.ò(f (x)± j(x))dx = òf (x)dx ± òj(x)dx + C
4.Інтегрування частинами: òf (x)dx =òudv = uv - ò vdu
5.Заміна змінної : òf (x)dx = òf (j(t))×j′(t)dt , де x = j(t)
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
6
Деякі підстановки
№ |
Вид інтегралу |
|
|
Підстановка |
|
|
|
Вираз для |
|
Новий |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
з/с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
інтеграл |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2xdx = dt, |
|
1 |
× ò f (t)dt |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 = t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
ò f (x |
)xdx |
|
|
|
|
|
xdx = |
1 |
dt |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 = t |
|
3x2dx = dt, |
|
1 |
× ò f (t)dt |
||||||||||||||||||||
2. |
ò f (x |
)x |
dx |
|
|
|
x 2dx = |
|
1 |
|
dt |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
æ 1 |
ö |
× |
|
|
dx |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dx |
= -dt |
|
- ò f (t)dt |
|||||||||||||||||||||||||
3. |
ò f ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
è x |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
ò f ( |
|
|
)× |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= 2 × dt |
|
2 × òf (t)dt |
|||||||||||||||||||
4. |
x |
|
|
|
|
|
= t |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5. |
ò f (ln x)× |
dx |
|
|
|
|
ln x = t |
|
|
|
|
|
dx |
= dt |
|
|
ò f (t)dt |
||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6. |
ò f (sin x) × cos xdx |
|
|
sin x = t |
|
cos xdx = dt |
|
ò f (t)dt |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
ò f (cos x) × sin xdx |
|
|
cos x = t |
sin xdx = −dt |
|
- ò f (t)dt |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
8. |
ò f (tgx)× |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
tgx = t |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
= dt |
|
ò f (t)dt |
|||||||||||||||||||||
cos2 x |
|
|
cos2 x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
9. |
ò f (ex ) × ex dx |
|
|
ex = t |
|
|
|
ex dx = dt |
|
ò f (t)dt |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
ò f (arctg x)× |
|
|
|
dx |
|
|
arctg x = t |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
= dt |
|
ò f (t)dt |
|||||||||||||||||||||||
x2 +1 |
|
|
|
x2 + 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
òf (arcsin x)× |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
arcsin x = t |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
= dt |
|
|
|
|||||||||||||||||
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò f (t)dt |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - x |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
1- x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
7
|
|
|
|
|
|
|
|
f ′(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
||||
12. |
|
|
|
|
|
ò |
|
dx |
|
|
|
|
|
f (x) = t |
|
|
|
f ′(x)dx = dt |
|
|
ò |
|
||||||||||
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|||||||||||||||||||
|
|
|
Деякі види інтегралів |
, для яких |
застосовується |
метод |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
інтегрування частинами |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
№ |
|
|
|
Вид інтегралу |
|
|
|
Що брати за u |
Що брати за |
|||||||||||||||||||||||
з/с |
|
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì kx |
|
ü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì kx |
|
ü |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
ï |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|||||
|
|
|
|
P |
|
|
(x) × |
ï kx |
|
ï |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
dv = |
ï kx |
ï |
|||||||
1. |
|
ò |
n |
|
a |
|
dx |
|
|
|
|
u |
Pn (x) |
|
|
a |
|
|
dx |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
í |
|
|
ý |
|
|
|
|
|
|
|
í |
|
|
ý |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïsin kx ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïsin kx ï |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
ï |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îcos kxþ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îcos kxþ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ìarccos x ü |
|
|
|
|
|
|
ìarccos x |
ü |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïarcsin x ï |
|
|
|
|
|
|
ïarcsin x |
ï |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. |
|
|
ò Pn |
|
(x) × |
ï |
|
|
|
ï |
|
|
|
|
u = |
ï |
|
|
|
|
ï |
dv = Pn (x)dx |
||||||||||
|
|
|
íarctg x |
ýdx |
|
|
íarctg x |
ý |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïarcctg x ï |
|
|
|
|
|
|
ïarcctg x |
ï |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
m |
|
ï |
|
|
|
|
|
|
ï |
m |
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îloga |
kxþ |
|
|
|
|
|
|
îloga |
kxþ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ì |
|
mx ü |
|
ìcos kxü |
|
|
|
|
будь-який з |
будь-який з |
||||||||||||||||||||
3. |
|
|
ïe |
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
ò í |
|
|
|
ý × |
í |
|
|
ýdx |
|
|
|
|
множників |
|
множників |
||||||||||||||||
|
|
ï |
|
mx ï |
|
îsin kx þ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
îa |
|
|
þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ìcos(ln kx)ü |
|
|
|
|
|
u = |
ìcos(ln kx)ü |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4. |
|
|
|
ò |
|
ísin(ln kx) |
ýdx |
|
|
|
|
ísin(ln kx) ý |
dv = dx |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
þ |
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
þ |
|
|
|
|
|
|
||
P |
(x) = a |
0 |
+ a |
1 |
|
× x + a |
2 |
× x 2 |
+ a |
3 |
× x3 |
+...+ a |
n |
× x n |
- |
многочлен |
||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
степені n
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
8
Аудиторні завдання
1.3.1 Безпосереднє інтегрування. Внесення сталої, змінної або функції під знак диференціалу
1.ò x × xdx
2.ò 5dxx
3.ò 2 - 1-2x2 dx1- x
|
|
2 - x2 |
|
4. |
ò |
|
dx |
1+ x2 |
|||
5. |
òe3x × dx |
6. ò tg2x dx
7. ò (shx - sin x)dx
æ |
1 ö2 |
8.ò dx
9.ò(2tgx + 3ctg x)2dx
10.ò x ×cos(x2) dx
11.ò x ×dxln x
12.ò sin x × cosx dx
13.ò (e2x + e−2x )dx÷øxç x -è
Відповідь: 52 × x2 × x + C
Відповідь: 54 ×5x4 + C
Відповідь: 2×arcsin x - x + C
Відповідь: 3× arctgx - x + C
Відповідь: 13 ×e3x + C
Відповідь: tgx − x + C
Відповідь: ch x + cosx + C
Відповідь: x2 - 2× x + ln x + C 2
Відповідь:
4 × tgx - 9 × ctgx - x + C
Відповідь: sin(x2 )+ C 2
Відповідь: ln ln x + C
Відповідь: 23 ×sin x × sin x + C
e2x e−2x
Відповідь: 2 - 2 + C
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
14. |
òcos(2x + 7)dx |
Відповідь: |
sin(2x + 7) |
+ C |
|||||||||
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Відповідь: |
|
|
|||||
15. |
|
7x - 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
dx |
|
x + |
|
+ C |
|||||||
ò |
|
7 |
4 + x2 |
- 3×ln |
4 + x2 |
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
4 + x2 |
1.3.2 Метод підстановки (метод заміни змінної)
1.dx
ò x + 2 + 3
2.òecos2 x ×sin 2x dx
|
|
|
|
dx |
|
|
||||||
3. |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
||||||
1+ x |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
||||||
4. |
ò |
(9 + 3 |
|
) |
|
|
|
|
|
|||
x |
x |
|
|
|||||||||
5. |
ò |
|
|
(x + 2) |
|
dx |
||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(x2 + 4x +1)4 |
6.ò x × 2 - 3x dx
7.dx
òex -1
8.e2x
ò4ex +1dx
|
|
x |
|
9. |
ò |
|
dx |
(x +1)4 |
Відповідь:
2(x + 2 - 3× lnx + 2 + 3)+ C
Відповідь: - ecos2 x + C
Відповідь: 2(x +1 - lnx +1 +1)+ C
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
ö |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||
6 x - 3arctg |
|
|
|
|||||||||||||||||||
Відповідь: 6 ×ç |
|
|
|
|
|
÷ |
+ C |
|
||||||||||||||
3 |
|
|
||||||||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|||||||
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|||
Відповідь: - |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
+ C |
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 × |
x |
+ 4x |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(2 - 3x)3 |
æ 8 |
|
|
|
|
|
|
6 |
ö |
|
||||||||||||
Відповідь: - |
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
ç |
|
|
|
|
|
+ |
|
x÷ |
+ C |
|||
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
è15 |
|
|
|
|
ø |
|
Відповідь: ln ex -1 = ln ex -1 - x + C ex
Відповідь: 214 × (3ex -1)× 4(ex +1)3 + C
Відповідь: |
1 |
- |
1 |
+ C |
3(x +1)3 |
2(x +1)2 |
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
|
|
|
10 |
|
|
10. ò |
ln (tgx) |
dx |
Відповідь: |
ln2(tg x) |
+ C |
|
|||||
|
cos2 x |
|
2 |
|
1.3.3Метод інтегрування частинами
1.ò(x + 5)×3x dx
2.ò x×e2x dx
3.òarctgx dx
4.ò x ×cos2x dx
5.òsin(ln x)dx
6. |
ò |
|
x |
dx |
||
sin2 x |
||||||
|
|
|
||||
|
ò |
|
|
×ln x dx ; |
||
7. |
|
x |
||||
8. |
òarcsin x dx |
|||||
9. |
ò x2 × e−xdx |
|||||
10. |
òex ×sin x dx |
|
x |
æ |
x + 5 |
|
1 |
ö |
|
|
Відповідь: 3 |
ç |
- |
|
÷ |
+ C |
|||
|
|
|
||||||
|
×ç |
ln 3 |
ln2 |
÷ |
||||
|
|
è |
|
3 ø |
|
|
|
|
e |
2x |
× |
æ x |
- |
1 |
ö |
+ C |
|
|
|
||||||||||||||||
Відповідь: |
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Відповідь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ln(1+ x2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x×arctgx - |
+ C |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Відповідь: |
|
x ×sin 2x |
+ |
|
cos2x |
+ C |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Відповідь: |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
×(sin(ln x)- cos(ln x))+ C |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Відповідь: ln |
|
sin x |
|
- x ×ctgx + C |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
ö |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
× |
|
|
|
|
|
|
- |
|
+ C; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Відповідь: |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
çln |
x |
|
|
÷ |
|
||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Відповідь: x ×arcsin x + |
|
|
|
|
1- x2 |
+ C |
|||||||||||||||||||||||
Відповідь: |
- |
|
|
x2 |
+ 2x + 2 |
+ C |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Відповідь: |
|
ex ×(sin x - cosx) |
+ C |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com