12

Практическое занятие 1 Математические модели и математическая логика

1 Понятие «моделей»

Введение. Однажды, лет двадцать тому назад, в Новосибирском Академгородке произошел маленький конфуз. На шумном и многолюдном приеме одному из гостей, известному французскому деятелю в области высшего образования, представили советского ученого. “Он автор многих интересных биологических моделей”, — добавил хозяин дома. “Ах, да, да! Понимаю! — обрадовался французский гость.— Вы имеете в виду муляжи!” Затем профессора из Франции отвлекли другие гости, и он, видимо, до сих пор думает, что тогда на приеме его познакомили не с известным кибернетиком, а с мастером, который из папье-маше изготавливает модели уха или печени в разрезе [1].

Подобные истории случаются и сейчас, хотя с годами все реже и реже. Слово “модель” становится популярным в науке.

Да и не только в науке. Мы привыкли, например, к тому, что по моделям играют в футбол. Существуют, по крайней мере, две модели футбольной игры: “дома” и “на выезде”. Но и футболом применение понятия “модель” не исчерпывается. Модели можно встретить в хореографии, в сельском хозяйстве, в технике стихосложения, в инженерном деле и во многом другом. Вспомним хотя бы о моделях самолетов, сопровождающих детство каждого мужчины, и о моделях одежды, занимающих такое большое место в жизни каждой женщины.

Если мы заставим себя чуть-чуть задуматься, то с удивлением заметим, что понятие “модель”; во-первых, всеобъемлюще, а во-вторых, одно из самых древних. Оно такое же древнее, как и понятие “число”, хотя бы потому, что число — это тоже одна из моделей. Так как числа известны и обезьянам, то выходит, что понятие “модель” древнее самого человека.

Правда, в разных случаях, вместо “модель”, говорят: схема, образ, представление, отображение, чертеж и т.д. Однако во все эти понятия вкладывают примерно один и тот же смысл. Он заключается в том, что сложное и многогранное реальное явление мы часто только умозрительно, в своем воображении заменяем некоторой его упрощенной копией, схемой. А иногда построенная схема отражает какие-то существенные черты, позволяет разобраться в механизме явления, дает возможность предсказать его изменения. Инженер изучает и предсказывает работу станка по чертежам — моделям станка. Хореограф конструирует танец не на сцене, а на бумаге, где партнеры изображаются квадратиками, а партнерши — кружками. Эта схема — модель будущего танца. Композитор, сочинив мелодию, записывает ее с помощью нот. Ноты мелодии — ее модель. “Точка, точка запятая, минус — рожица кривая” — это модель человеческого лица. И не такая уж бессодержательная. Когда эти “рожицы кривые” являются героями мультипликационных фильмов, они живут хоть и короткой, но яркой жизнью.

Одному и тому же явлению могут соответствовать разные модели. На смену первой примитивной, неглубокой модели приходят более точные, более совершенные. Модели могут отличаться одна от другой также тем, что при их составлении преследовались различные цели, интересовались разными сторонами изучаемого явления. Тренер футбольной команды, составляя схему игры, рассматривает каждого игрока с точки зрения его скорости, умения владеть мячом, сыгранности с командой, морально-волевых качеств и других. В отличие от этого, таможенный чиновник, оформляющий выезд команды за границу, представляет себе каждого игрока как набор анкетных данных: фамилия, имя, год рождения, гражданство и т.п. Его модель игрока отличается от модели тренера иной точкой зрения. Обе эти модели не устраивают портного, который шьет футболистам олимпийскую форму. Для него футболист (точнее, его модель) — это упорядоченный набор чисел, каждое из которых обозначает соответствующий размер.

После всего сказанного нет нужды много говорить о необходимости моделей в науке. Задача ученого — предсказывать характер явлений и ход процессов.

Особую роль в науке играют математические модели. Как строится математическая модель? Приглядываясь к изучаемому объекту или явлению, ученый выделяет те его особенности, черты и детали, которые, с одной стороны, содержат об объекте более или менее полную информацию, а с другой — “допускают математическую формализацию”. Это означает, что этим особенностям и деталям можно поставить в соответствие подходящие математические объекты — числа, функции, матрицы и т.д. Тогда связи и отношения, обнаруженные или предполагаемые в изучаемом объекте между отдельными его деталями и составными частями, можно будет записать с помощью математических отношений — равенств, неравенств, уравнений и т.д. В результате получается математическое описание механизма изучаемого явления. Это и есть его математическая модель.