- •Вища математика
- •Тематичні індивідуальні завдання та приклади розв’язання типових завдань з курсу „Вища математика”
- •Харків 2009
- •Передмова
- •§1. Елементи лінійної алгебри Завдання 1. В задачах варіантів 125 обчислити визначник четвертого порядку
- •Завдання 2.
- •Розв’язання типового варіанта.
- •Якщо матриця а є невиродженою, то
- •§2. Елементи векторної алгебри Завдання 3.
- •Розв’язання типового варіанта.
- •§3. Аналітична геометрія
- •Розв’язання типового варіанта
- •4. Дано координати точок: а (–1; 4; 2); в(0; 3; 3); с(4; –5; 3) і м(1; –3; 5).
- •§4. Вступ до математичного аналізу
- •Розв’язання типового варіанта.
- •2.Знайти границі:
- •3. Знайти границю
- •§5. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •Розв’язання типового варіанта
- •1.Знайти похідні функцій:
- •§6. Функції багатьох змінних
- •§7. Інтегральне числення функції однієї змінної
- •Розв’язання типового варіанта
- •§8. Диференціальні рівняння
- •Розв’язання типового варіанта.
- •Дане рівняння приймає вигляд
- •Відповідне однорідне рівняння
- •Підставляючи , ,в дане рівняння, маємо
- •Розв’язуючи систему, знаходимо
- •§9. Ряди
- •Розв’язання типового варіанта
- •§10. Теорія ймовірностей та математичної статистики
- •Вихідні дані до задач
- •Список літератури
- •Вища математика
- •Тематичні індивідуальні завдання та приклади розв’язання типових завдань з курсу „Вища математика”
- •Харківський державний університет харчування та торгівлі.
4. Дано координати точок: а (–1; 4; 2); в(0; 3; 3); с(4; –5; 3) і м(1; –3; 5).
Потрібно: 1) скласти рівняння площиниQ, що проходить через точки А, В, С; 2) скласти канонічні рівняння прямої, що проходить через точку М перпендикулярно площиніQ; 3) знайти точки перетину отриманої прямої з площиною Q та з координатними площинами х0у, х0z, y0z.
►1) Рівняння площини, що проходить через 3 точки А(х1; у1; z1), В(х2; у2; z2) і С(х3; у3; z3).
(11.11)
Підставляючи координати точок А, В, С в (11.11), маємо
,
або, розкладаючи визначник за елементами першого рядка, маємо
(x + 1)8 + ( y – 4)4 + ( z – 2)( –4) = 0,
2(x + 1) + y – 4 – z + 2 + 0;
2x + y – z = 0 – рівняння площини Q.
2) Пряма в просторі задається канонічними рівняннями
(11.12)
де а, в, с – координати точки, через яку проходить пряма, а m, n, p – координати напрямного вектора цієї прямої.
Умови перпендикулярності прямої (11.12) до площини Ax + By + + Cz + D = 0 мають вигляд:
Запишемо умови перпендикулярності шуканої прямої до площи-ни Q:
Цим умовам, зокрема, задовольняють наступні координати: m = 2; n = 1; p = –1.
Отже рівняння шуканої прямої:
. (11.13).
3) Запишемо рівняння прямої (11.13) у параметричному вигляді. Нехай
= t,
деt деякий параметр. Тоді
х = 2t + 1; y=t – 3; z = – t + 5. (11.14)
Підставивши (11.14) в рівняння площини Q, маємо
2(2t + 1) + (t – 3) – (–t + 5) = 0; 6t – 6 = 0; t = 1.
Покладаючи в (11.14) t = 1, знаходимо координати точки Р перетину прямої (11.13) з площиною Q. Отже, P (3; –2; 4).
Нехай Р1 – точка перетину прямої (11.13) з координатною площиною х0у.
Очевидно, що в цьому разі z = 0. Тоді, покладаючи в (11.14) z = 0, маємо t = 5; x = 11, y = 2. Отже, Р1 (11, 2, 0) – точка перетину прямої (11.14) з площиною x0y.
Аналогічно знаходимо P2(7; 0; 2) – точку перетину прямої (11.13) з площиною х0z;P3– точка перетину з площиною у0z.
§4. Вступ до математичного аналізу
Завдання 9.
В задачах варіантів 1 – 25 знайти границі, не використовуючи правило Лопіталя.
1. а) б) в);
г) д);е).
2. а)б)в)г)д) е)
3. a)б) в)г) д) е).
4. а)б) в)
г)д)е).
5. а) б)в)г) д)е)
6. a)б)в)г)д)е)
7.а) б)в)г)д)е)
8. а) б) в)
г) д)е)
9. а)б) в)
г)д)е)
10. а) б)в)г)д) е).
11. а)б)в) г)д) е).
12. а)б)в) г)д) е)
13. а) б)в)г)д) е).
14. а)б)в) г)д) е).
15. а) б) в)г)д) е)
16. а) б)в)г) д) е) .
17.а)б)в) г)д) е).
18. а) б)в) г) д) е)
19. а) б)в) г)д) е)
20. а) б)в) г) д) е)
а)б)в)
г) д) е)
22. а) б) в) г) д) е)
23. а) б) в) г); д) е)
24. а) б) в)
г) д) е).
25. а) б)в) г)д)е).
Завдання 10.
В задачах варіантів 125 дослідити задані функції на неперервність, знайти точки розриву і встановити характер точок розриву. Побудувати графіки.
1. а) б) .
2. а) б) .
3. а) б) .
4. а) б) .
5. а) б) .
6. а) б) .
7. а) б) .
8. а) б) .
9. а) б) .
10. а) б) .
11. а) б) .
12. а) б) .
13. а) б) .
14. а) б) .
15. а) б) .
16. а) б) .
17. а) б) .
18. а) б) .
19. а) б) .
20. а) б) .
21. а) б) .
22. а) б) .
23. а) б) .
24. а) б) .
25. а) б) .