1.2. Разветвлённые электрические цепи, их основные характеристики и уравнения, описывающие состояние цепи

0. 1.2.1 Характеристики разветвленной электрической цепи

Процессы в любом электротехническом устройстве удобно рассматривать с помощью электрических схем, сформированных из идеализированных элементов, которые характеризуются схемой соединения элементов (геометрией, топографией). Основными характеристиками электрических схем являются ветвь, узел, контур. Для понятия основных характеристик электрических схем, рассмотрим электрическую цепь, приведенную на рисунке 1.18.

Ветвью называют часть схемы, состоящую из последовательно соединённых элементов.

Число ветвей электрической цепи принято обозначать «». В приведенной схеме –. Вдоль каждой ветви протекают одинаковые токи,,,,,. Элементы, входящие в одну ветвь, рекомендуется обозначать одинаковыми индексами. Например, в третью ветвь входят резистивный элемент, индуктивность, емкостьи источник напряжения.

Рисунок 1.18 – Электрическая цепь

Узлом называется точка, в которой соединяются три или более ветвей.

Число узлов электрической цепи принято обозначать «y». В приведенной схеме – . Например, к первому узлу1 подсоединены первая, третья и пятая ветви.

Несколько ветвей могут образовывать замкнутый контур. При обходе контура ветвь и узел встречаются один раз.

Выделяют (независимые) главные контуры. Число независимых контуров «m» равно . В приведенной схеме независимых контуров . Такими контурами могут быть:І контур, в который входят первая, четвертая и пятая ветви, ІІ контур - вторая, четвертая и шестая ветви, ІІІ контур – третья, пятая и шестая ветви.

На схеме указывают положительные направления токов в ветвях и направления обхода контуров. Эти направления выбираются произвольно.

Геометрию (топологию) электрических схем удобно оценивать с помощью графа электрической цепи. На рисунке 1.19 приведен граф электрической схемы, представленной на рисунке 1.18. Граф характеризуется ветвями, узлами, контурами. Ветви графа представляют собой отрезки линии.

Если в ветви указывают направление, то граф называют направленным. Направление графа характеризует положительное направление тока в ветви или напряжения.

Часть графа называют подграфом.

Рисунок 1.19 – Граф электрической цепи

Дерево – часть графа (подграф), состоящий из ветвей, соединяющих все узлы, но не образующих замкнутых контуров. Примеры деревьев графа представлены на рисунке 1.20.

Рисунок 1.20 – Примеры деревьев графа

Ветвями связи называют ветви графа, не вошедшие в состав дерева графа. Такими являются первая, вторая и третья ветви.

Для каждого дерева существуют свои ветви связи, но их число неизменно и равно числу независимых контуров. С помощью ветвей связи удобно выделять независимые (главные) контуры. Независимый контур включает в себя только одну ветвь связи и дополняется ветвями дерева, поэтому ветви дерева могут входить в несколько контуров.

1.2.2 Уравнения для описания процессов электрической цепи. Законы Кирхгофа

Процессы, происходящие в электрических цепях, могут быть описаны системой уравнений состояния. Такими являются законы Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов ветвей, подсоединённых к одному узлу, равняется нулю: .

Для каждого узла принимают положительное и отрицательное направление тока в подсоединенных ветвях (например, если ток направлен к узлу, то перед соответствующим током ставят знак « + », если ток направлен от узла то – знак « - »).

Уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа для электрической цепи, приведенной на рисунке 1.18, имеют вид:

(1 узел);

(2 узел);

(3 узел);

(4 узел).

Если просуммировать приведенные выше уравнения для первого, второго и третьего узлов, то полученная сумма будет равна выражению, составленному по первому закону Кирхгофа для четвертого узла – .

Следовательно, число независимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа равно ().

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма напряжений ветвей произвольного контура равна нулю.

Число независимых уравнений схемы равно числу главных контуров. Уравнения для остальных контуров могут быть получены из уравнений независимых контуров.

При составлении уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа пользуются следующим правилом: если положительное направление обхода контура и направление тока на элементе совпадают, то напряжение в соответственной ветви принимается со знаком «+», если не совпадает – то со знаком «–».

Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для электрической цепи, приведенной на рисунке 1.18:

(I контур);

(II контур);

(III контур).

Уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа, могут быть описаны с использованием напряжений на элементах ветвей, входящих в контур. В этом случае второй закон Кирхгофа звучит так: алгебраическая сумма напряжений на элементах произвольного контура, равна алгебраической сумме ЭДС этого контура.

(I контур);

(II контур);

(III контур).

Уравнения, полученные по первому и второму законам Кирхгофа, позволяют описать процессы в электрической схеме в любой момент времени. Их число равно количеству ветвей. Для данной схемы - 6.

Характер полученной системы уравнений – интегрально-дифференциальный. Если уравнение состоит только из резистивных элементов, то система уравнений имеет алгебраический характер.