2. Контрольная задача 1. Оптимизация производственной программы промышленного предприятия

Предприятие выпускает продукцию А, Б и В. Каждый вид продукции может производиться различными технологическими способами (на разном оборудовании, с использованием различного сырья, при разной квалификации рабочих).

Ресурсы оборудования, сырья, труда ограничены (см. табл. 3).

Выпуск продукции А, Б и В не может быть меньше заключенных на эту продукцию договоров (см. табл. 2).

В таблице 1 приведены нормативы затрат ресурсов на производство продукции и прибыль при использовании различных технологических способов в расчете на единицу продукции (общие для всех вариантов).

Таблица 1

Нормативы затрат ресурсов и прибыль

Наименование ресурсов	Ед. изм.	Продукция А		Продукция Б		Продукция В
		технологич. способы		технологич. способы		техн. способы
		1	2	1	2	1	2	3
Оборудование:	станко-час.
новое		10	-	20	-	30	32	-
старое		-	12	-	25	-	-	40
Сырье:	т
высококачественное		2	-	5	-	10	10	-
стандартное		-	2	-	5	-	-	9
Труд:	чел.-час.
Высококвалифицированный		18	-	30	-	40	-	-
Средней квалификации		-	20	-	32	-	48	50
Прибыль	т. руб.	300	500	350	700	720	1200	1300

Таблица 2

Объемы заключенных договоров

Вид	А	Б	В
Объем продукции	5600	1400	4000

Таблица 3

Объемы ресурсов

Оборудование, станко –час.		Сырье, т.		Труд, чел.-час.
Новое	старое	высококачественное	стандартное	Высококвалиф.	Средней квалификации
162 200	402200	72200	42200	220000	160000

Требуется определить оптимальный план производства продукции, который приносил бы максимальную прибыль.

В работе привести исходные данные, экономико-математическую модель. Расчеты осуществить на ЭВМ, привести распечатку полученных результатов, сделать анализ оптимального плана по двойственным оценкам.

Решение:

Составим математическую модель задачи:

При определении оптимального ассортимента математическая модель задачи имеет вид:

Определить , который удовлетворяет условиям

и обеспечивают максимальное значение целевой функции

Решение задачи линейного программирования выполним с помощью Поиска решения в среде EXCEL

Для решения задачи определим:

1. Создать форму для ввода условий задачи.

2. Указать адреса ячеек, в которые будет помещен результат решения (изменяемые ячейки).

3. Ввести исходные данные.

4. Ввести зависимость для целевой функции.

5. Ввести зависимости для ограничений.

6. Указать назначение целевой функции (установить целевую ячейку).

7. Ввести ограничения.

8. Ввести параметры для решения задачи линейного программирования.

9. Подготовим форму для ввода условий (см. рис 1).

Рисунок 1. Форма для ввода условий

2. В нашей задаче оптимальные значения вектора Х = (Х₁, Х₂, Х₃, Х₄, Х₅, Х₆, Х₇) т.е. ответ задачи будут помещены в ячейках D4:J4, оптимальное значение целевой функции будет отображена в ячейке K15.

3. Далее введем исходные данные модели в созданную форму. Результат ввода по данным примера, показан на рисунке 2.

Рисунок 2. Введенные данные

Далее введем зависимость для целевой функции (обозначим через «М1» – «один щелчок левой кнопкой мыши»):

• Курсор в ячейку K15.

• Курсор на кнопку Мастер функций М1.

• На экране диалоговое окно Мастер функций шаг 1 из 2.

• Курсор в окно Категория на категорию Математические. М1.

• Курсов в окно Функции на СУММПРОИЗВ, М1.

• В массив 1 введем $D$4:$J$4 - (адреса ячеек во все диалоговые окна введем не с клавиатуры, а протаскивая мышь по заданному интервалу ячеек. Знак $ обязателен, введем с клавиатуры).

• В массив 2 введем D15:J15. ОК. (рис.3).

• Таким образом, мы ввели функцию в ячейку K15, где появится «0».

Рисунок 3. Пример ввода функции.

Введем ту же функциональную зависимость для левых частей ограничений:

• Скопируем формулу из ячейки К15 в ячейки - Объемов левой части ограничений;

• Курсор в К15, подведя курсор к правому нижнему углу ячейки появится маркер в форме черного крестика , нажав левую кнопку мыши протащим курсор по заданным ячейкам) вверх до ячейкиК6 включительно (рис. 4).

На этом ввод зависимостей закончен.

Рис. 4. Результат ввода

Запуск Поиска решения.

После выбора команд Сервис  Поиск решения появится диалоговое окно Поиск решения.

Назначение целевой функции (установить целевую ячейку).

• Курсор в поле «Установить целевую ячейку».

• Введем адрес $К$15, с помощью мышки;

• Введем направление целевой функции: Максимальному значению.

Введем адреса искомых переменных:

• Курсор в поле «Изменяя ячейки»;

• Введем адреса $D$4:$J$4, с помощью мышки.

Ввод ограничений.

• Нажмем на кнопку «Добавить». Появится диалоговое окно - Добавление ограничения Рис 5.

Рисунок 5. Добавление ограничения

• В поле «Ссылка на ячейку» введем адрес $K$6.

• Введем знак ограничения (<=).

• Курсор в правое окно.

• Введем адрес $M$6.

• Добавить. На экране опять диалоговое окно Добавление ограничения.

• Для более быстрого введения зависимостей – массивами, протаскиваем мышь по нужным ячейкам). Для левой части (ограничений по оборудованию, сырью и труду знак “<=”) массив: $К$6:$К$11, правой части: $М$6:$М$11 (рис 6). По остальным ограничениям (типа “>=”) получим массив $К$12:$К$14 >= $М$12:$М$14.

Рисунок 6. Добавление ограничения - массивом.

Для решения задачи, достаточно, введенных ограничений, но добавим еще одно: $К$15 = $К$15, его необходимость вызвана тем, что расчетное значение целевой функции не отображается в отчете по Устойчивости …

После данного приема, значение явится в виде последнего ограничения, что, затем можно увидеть во второй таблице отчета по Устойчивости.

• После ввода последнего ограничения нажмем ОК.

На экране диалоговое окно Поиск решения с введенными условиями, рисунок 7.

Рисунок 7. Диалоговое окно Поиск решения

8. Введем параметры для решения задачи линейного программирования (рис. 8).

• Откроем окно Параметры поиска решения;

• Установим флажок Линейная модель, что обеспечит применение симплекс-метода;

• Установим флажок Неотрицательные значения;

• ОК. (На экране диалоговое окно Поиска решения);

• Выполнить. (На экране диалоговое окно Результаты поиска решения рис. 9)

Рисунок 8. Параметры поиска решения

Рисунок 9. Результаты решения

В диалоговом окне Результаты поиска решения в списке Тип отчета, выберем - Устойчивость – ОК (рис. 10).

Рисунок 10. Результаты решения

Рисунок 11. Решение задачи

Для более углубленного анализа выполним формирование отчетов по результатам и по пределам (рис. 11).

В итоге по рисунку 11 видно, что для получения максимальной прибыли в размере 7 820 000 рублей при условии выполнения всех ограничений необходимо производить:

1. 800 шт. продукта А первым технологическим способом и использовать при этом новое оборудование, высококачественное сырье и высококвалифицированный труд.

2. 4800 шт. продукта А вторым технологическим способом и использовать при этом старое оборудование, стандартное сырье и труд средней квалификации.

3. 1400 шт. продукта Б вторым технологическим способом и использовать при этом старое оборудование, стандартное сырье и труд средней квалификации.

4. 5140 шт. продукта В первым технологическим способом и использовать при этом новое оборудование, высококачественное сырье и высококвалифицированный труд.

5. 384 шт. продукта Б третьим технологическим способом и использовать при этом старое оборудование, стандартное сырье и труд средней квалификации.

6. При этом продукт Б первым технологическим способом и продукт В вторым технологическим способом лучше не производить.

Данные по устойчивости, результатам и пределам представлены на рисунках 12-14.

Рисунок 12. Отчет по устойчивости

Рисунок 13. Отчет по пределам

Рисунок 14. Отчет по результатам

Выполним анализ оптимального плана по двойственным оценкам по данным отчетов устойчивости (рис. 12).

Ресурсы, которые полностью используются при оптимальном плане производства изделий, имеют положительную двойственную оценку. Соответственно те ресурсы, которые не имеют двойственной оценки положительной, находятся в дефицитном состоянии. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность используемого предприятием сырья.

Величина данной двойственной оценки показывает, на сколько возрастает максимальное значение целевой функции прямой задачи при увеличении количества сырья соответствующего вида на 1 тыс. рублей.

В данной задаче используется все виды ресурсов, так как изготовление продукции одного вида можно выполнить разными технологическими способами.

Новое оборудование, высококвалифицированный и средней квалификации труд используется в полной мере, так как полученные данные равны установленным ограничениям и имеют положительную двойственную оценку.

Теневая цена при этом у использования оборудования равна 1, у высококвалифицированного труда 17, а у средней квалификации труда 26.

При увеличении или уменьшении данных ресурсов изменится выпуск продукции и может быть найден новый оптимальный план.

В данной задаче, при изменении величины ресурсов, может привести только к снижению объема выпуска продукции В технологическим способом 1 и способом 3, что приведет к снижению прибыли до 6 722 720 тыс. руб. или до 7 320 800 тыс. руб.

Также по рис. 12 видно, что ресурсы: старое оборудование, высококачественное сырье и стандартное сырье использовано не оптимально, ресурсы данного вида имеют остаток, но при этом их используют при производстве продукции, их двойственная оценка равна 0 и они не являются дефицитными. Их изменение влияет на увеличение или уменьшение прибыли.

В общем итоге по двойственным оценкам данный план можно определить оптимальным, но не устойчивым.