- •Міністерство освіти і науки україни
- •Матриці і операції над ними. Визначники матриць. Властивості визначників. Обернена матриця.
- •Зразки розв’язування задач.
- •Зразки розв’язування задач.
- •Розв’язати системи рівнянь за формулами Крамера:
- •Дослідити на сумісність системи лінійних рівнянь та знайти їх розв’язок у випадку сумісності:
- •Розв’язати систему лінійних рівнянь матричним методом:
- •Завдання для самостійної роботи.
- •3.Вектори в просторі. Основні поняття. Лінійні операції з векторами. Прямокутна система координат у просторі.
- •Довжину вектора будемо позначати таким чином:
- •Зразки розв’язування задач.
- •Завдання для самостійної роботи.
- •4. Скалярний, векторний, мішаний добутки векторів. Застосування в задачах геометрії. Умови перпендикулярності та компланарності векторів.
- •Зразки розв’язування задач.
- •Завдання для самостійної роботи.
- •5.Загальне і канонічне рівняння прямої. Рівняння прямої у відрізках на осях. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Рівняння прямої, яка проходить через дві дані точки. Перетин двох прямих.
- •Зразки розв’язування задач.
- •Завдання для самостійної роботи.
- •6. Кут між двома прямими. Пучок прямих, які проходять через дану точку. Нормальне рівняння прямої. Відстань від точки до прямої.
- •Зразки розв’язування задач.
- •Завдання для самостійної роботи.
- •7. Криві другого порядку: коло, еліпс.
- •Зразки розв’язування задач.
- •Завдання для самостійної роботи.
- •8. Криві другого порядку: гіпербола, парабола.
- •I. Гіпербола
- •II.Парабола
- •Зразки розв’язування задач.
- •Завдання для самостійної роботи.
- •9. Рівняння площини в просторі.
- •Зразки розв’язування задач.
- •Завдання для самостійної роботи.
- •10. Пряма в просторі. Площина і пряма.
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи.
- •11. Нескінченна числова послідовність. Границя числової послідовності і її властивості. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.
- •12. Похідна функції. Похідні основних елементарних функцій. Основні правила диференціювання.
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи.
- •Література
Зразки розв’язування задач.
Задача 1. Дано ненульові вектори і. Побудувати вектори,.
Розв’язання. Знайдемо суму за правилом трикутника :
і
З адача 2. Вектори ,- діагоналі паралелограмаABCD. Запишіть вектори ,,ічерезі.
Розв’язання.
За означенням суми і різниці векторів маємо: ,. Додавши ці рівності, дістанемо. Далі знайдемо;,.
Задача 3. Дано: ;. Обчислити: 1); 2).
Розв’язання. Використавши властивості проекцій, дістанемо:
.
.
Задача 4. Знайти проекції вектора на вісьl, яка утворює з вектором кут: 1) 450, 2) 1200, 3) 1500, якщо довжина вектора дорівнює 4.
Розв’язання.
;
;
.
Задача 5. Знайти периметр трикутника, вершинами якого є точки ,,.
Розв’язання. Знайдемо координати векторів, що створюють трикутник, та їх довжини:
, ;
, ;
, ;
;
;
.
Тоді периметр трикутника .
Задача 6. Обчислити довжину вектора , якщо,.
Розв’язання. Знайдемо координати векторів:
, ;
, ;
, .
Тоді довжина шуканого вектора дорівнює:
.
Задача 7. Відрізок АВ, де , ., поділений точкоюМ у відношенні . Знайти координати точкиМ.
Розв’язання.
; ;
.
Отже, .
Задача 8. Відрізок з кінцями і, ділиться в точціМ навпіл. Знайдіть довжину відрізка МК, де .
Розв’язання. Знайдемо координати точки М за формулами:
; ;;
.
Тоді координати вектора ,.
Довжина вектора .
Задача 9. Точки ,,є вершинами паралелограма, причомуА і С – протилежні вершини. Знайдіть четверту вершину D.
Розв’язання.
Позначимо координати точки , тоді,. Оскільки, їх координати рівні:
; ;;
; ;.
Четверта вершина паралелограма – точка .
Задача 10. Знайти напрямні косинуси вектора , а також кути, що утворює вектор з осями координат, якщо.
Розв’язання. Знайдемо координати вектора та його довжину.
Напрямні косинуси дорівнюють:
; ;.
Тоді ;;.
Завдання для самостійної роботи.
Задача 1. У трикутнику АВС проведено медіану АМ. Доведіть, що .
Задача 2. Дано вектори ,,. Знайти довжини векторів 1), 2).
Задача 3. Точки ,,є вершинами паралелограма, причомуА і С – протилежні вершини. Знайдіть четверту вершину D, а також периметр паралелограму.
Задача 4. Дано: ,, кути між віссюl дорівнюють 600 і 1200. Обчислити .
Задача 5. Відрізок АВ задано координатами своїх кінців і. Знайти довжину вектора, деС – середина відрізка АВ, D – точка, яка ділить АВ у відношенні .
4. Скалярний, векторний, мішаний добутки векторів. Застосування в задачах геометрії. Умови перпендикулярності та компланарності векторів.
Скалярним добутком векторів називається число, що дорівнює добутку довжин векторів на косинус кута між ними:
Якщо вектори задані своїми координатами:,, то скалярний добутокобчислюютьза формулою:
.
Кут між векторами обчислюють за формулою:
.
Умова перпендикулярності векторів імає вигляд:
.
Скалярний квадрат вектора дорівнює:
.
Проекція вектора на напрям вектора:
.
Векторним добутком двох векторів іназивається третій вектор, який задовольняє умові:
;
, ;
Рис. 4.1
утворюють праву трійку векторів, тобто третій вектор має такий напрям, що при спостереженні з його кінця найближчий поворот від вектора до виконується проти годинникової стрілки.
Векторний добуток позначається символом . За визначенням випливає, що.
Модуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на і:
.
Площа трикутника обчислюється за формулою:
.
Векторній добуток векторів, які задані своїми координатами, обчислюються за формулою:
.
Умова колінеарності двох векторів імає вигляд:
(або ).
Векторні добутки ортів дорівнюють:
; ;;
; ;.
Мішаним добутком трьох векторів називається добуток .
Частіше мішаний добуток позначається .
Якщо вектори задані своїми координатами, то мішаний добуток знаходять за формулою:
.
Об’єм паралелепіпеду, який побудований на векторах ,,як на сторонах, дорівнює модулю мішаного добутку цих векторів:
.
Для об’єму піраміди маємо наступну формулу:
.
Умова компланарності трьох векторів має вигляд: .