- •Міністерство освіти і науки україни
- •Матриці і операції над ними. Визначники матриць. Властивості визначників. Обернена матриця.
- •Зразки розв’язування задач.
- •Зразки розв’язування задач.
- •Розв’язати системи рівнянь за формулами Крамера:
- •Дослідити на сумісність системи лінійних рівнянь та знайти їх розв’язок у випадку сумісності:
- •Розв’язати систему лінійних рівнянь матричним методом:
- •Завдання для самостійної роботи.
- •3.Вектори в просторі. Основні поняття. Лінійні операції з векторами. Прямокутна система координат у просторі.
- •Довжину вектора будемо позначати таким чином:
- •Зразки розв’язування задач.
- •Завдання для самостійної роботи.
- •4. Скалярний, векторний, мішаний добутки векторів. Застосування в задачах геометрії. Умови перпендикулярності та компланарності векторів.
- •Зразки розв’язування задач.
- •Завдання для самостійної роботи.
- •5.Загальне і канонічне рівняння прямої. Рівняння прямої у відрізках на осях. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Рівняння прямої, яка проходить через дві дані точки. Перетин двох прямих.
- •Зразки розв’язування задач.
- •Завдання для самостійної роботи.
- •6. Кут між двома прямими. Пучок прямих, які проходять через дану точку. Нормальне рівняння прямої. Відстань від точки до прямої.
- •Зразки розв’язування задач.
- •Завдання для самостійної роботи.
- •7. Криві другого порядку: коло, еліпс.
- •Зразки розв’язування задач.
- •Завдання для самостійної роботи.
- •8. Криві другого порядку: гіпербола, парабола.
- •I. Гіпербола
- •II.Парабола
- •Зразки розв’язування задач.
- •Завдання для самостійної роботи.
- •9. Рівняння площини в просторі.
- •Зразки розв’язування задач.
- •Завдання для самостійної роботи.
- •10. Пряма в просторі. Площина і пряма.
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи.
- •11. Нескінченна числова послідовність. Границя числової послідовності і її властивості. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.
- •12. Похідна функції. Похідні основних елементарних функцій. Основні правила диференціювання.
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи.
- •Література
12. Похідна функції. Похідні основних елементарних функцій. Основні правила диференціювання.
Похідною функції в точціназивається границя відношення приросту функціїфункції в цій точці до приростуаргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля:
Наводимо таблицю похідних основних елементарних функцій.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
При знаходженні похідної функції користуються також основними правилами диференціювання.
1. , дес – стала.
2. , де- функція.
3. .
4. .
Якщо у є функція від :, де, у свою чергу є функція від аргументух: , тобто залежить відх через проміжний аргумент ,у називається складеною функцією від х (функцією від функції): .
Похідна складеної функції дорівнює добутку її похідної за проміжним аргументом на похідну цього аргументу за незалежною змінною:
.
Якщо функція у від х задана параметричними рівняннями ,(- параметр), похіднаобчисляється за формулою.
Геометричний зміст похідної у точціу тому, що вона дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до кривоїу точці з абсцисою. Рівняння дотичної до кривоїв точці з абсцисоюмає вигляд:
.
Другою похідною функції називається похідна від першої похідної цієї функції:
.
Друга похідна параметрично заданої функції обчисляється за формулою:
.
Зразки розв’язування задач
Задача 1. Знайти похідні функцій:
1) , 2), 3),
4) , 5).
Розв’язання.
1) Винесемо сталий множник за знак похідної, а потім застосуємо формулу 2 таблиці похідних
.
Аналогічно дістанемо:
2) .
3) .
4) .
5) .
Задача 2. Знайти похідні функції:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
Розв’язання.
1) Знайдемо похідну від алгебраїчної суми як алгебраїчну суми похідних доданків:
2) .
3) Знайдемо похідну за основним правилом 3:
.
4) Використаємо правило 4:
.
5)
Задача 3. Знайти похідні складених функцій:
1) ;
2);
3) ;
4) ;
5) .
Розв’язання.
1) Знайдемо похідну від першого доданку за формулою:
, де .
Тоді
.
Похідну від другого доданку знайдемо аналогічно:
.
Загалом
.
2)
.
3)
.
4)
5) =
.
Задача 4. Обчислити значення похідної функції у точціх=2а.
Розв’язання:
.
Задача 5. Знайти похідну параметрично заданої функції:
, .
Розв’язання. Знайдемо
;
;
.
Задача 6. Знайти похідну неявно заданої функції:
1) ;
2) .
1) Диференціюємо по х ліву і праву частину рівняння, враховуючи, що y – це функція від х:
.
Розв’язуємо рівняння відносно .
;
.
2) Диференціюємо по х:
;
;
;
;
.
Задача 7. Скласти рівняння дотичних до кривих:
1) у точці з абсцисою;
2) у точці де,;
3) у точці.
Розв’язання:
1) Знайдемо кутовий коефіцієнт дотичної до кривої:
, ,
а також .
Підставимо в рівняння дотичної:
;
;
.
2) .
;
.
Знайдемо координати точки М0, через яку проведена дотична: ,.
Рівняння дотичної
;
.
3) Знайдемо похідну неявної функції:
;
;
.
Рівняння дотичної:
;
;
.
Задача 8. Знайти похідну другого порядку функції:
1) ;
2) ;
3) .
Розв’язання:
1) Знайдемо
;
.
2) ;
; ;
.
;
;
.
3) ;
;
;
;
.
Диференціюємо по х ще раз, а потім підставимо замість її вираз черезх.
.