Konspekt_SM_3_ukr

Зробимо перевірку: åY =0; RA - ql + RB =0; q2l - ql + q2l =0.

Отже, реакції знайдені вірно.

Визначаємо поперечну силу і згинальний момент у довільному перерізі К як результат дії сил, розташованих зліва від перерізу К, одержимо:

Очевидно, що епюра Q буде обмежена похилою прямою, а епюра М є симетричною параболою з гілками, направленими вниз.

Для побудови епюр визначаємо:

Епюри Q і М побудовані на рис 4.12.

Приклад 4. Зосереджена сила, прикладена до двоопорної балки

У даному випадку маємо на балці (рис.4.13) дві ділянки: АС і СВ. Перш за все, знайдемо опорні реакції:

åM B =0 ; RAl - Pb =0 ; RA = Pbl ;

åM A =0 ; Pa - RBl =0 ; RB = Pal .

51

Реакції знайдені вірно.

Визначаємо Q і М в довільному перерізі К1, розташованому на ділянці

АС:

Отже, у всіх перерізах ділянки поперечні сили однакові і епюра Q має вид прямокутника.

Згинальний момент М(z) змінюється за лінійним законом:

M (z)= RAz1 = Pbl z1.

Для побудови епюри визначаємо ординати на межах ділянки:

52

У довільному перерізі К2 на ділянці СВ (a ≤ z2 ≤l ), розглядаючи дію сил, розташованих праворуч від нього, одержимо:

Q( z2 )= - RB = - Pal ; M ( z2 )= RB × K2B = Pal ( l - z2 ).

Як і на ділянці АС, епюра Q на ділянці СВ також має вид прямокутника. Для побудови епюри М знаходимо значення ординат в точках С і В:

бок, рівний за абсолютною величиною зовнішній силі Р у цьому перерізі:

Знаходимо опорні реакції, направивши їх вгору:

åM B =0; RAl − M =0;

åM A =0; RBl-M =0.

З рівнянь знаходимо: RA = − Ml ; RB = Ml .

Зробимо перевірку: åY =0; RA + RB =0; - Ml + Ml =0.

Реакції знайдені вірно.

Міняємо напрям RA на зворотний. Відзначивши на ділянках АС ,

СВ довільні перерізи К1 і К2, записуємо рівняння для функцій Q і М : - для ділянки АС (0 ≤ z1 ≤ a )

Q( z )= - RA = - Ml ; M( z )=- RAz = - Ml z ;

53

Приклад 5. Зосереджений момент у прогоні двоопорної балки

(рис.4.14)

- для ділянки СВ (a ≤ z2 ≤ l )

Q(z) = - RB = - Ml ; M (z) = RB × K2 B = - Ml (l - z).

На підставі цих рівнянь будуємо епюри Q і М. Епюра М розташована частково під віссю, частково над віссю. Оскільки вона побудована на стислих волокнах, бачимо, що на ділянці АС стислі нижні волокна балки, а на ділянці СВ – верхні. Цьому відповідає зображена штриховою лінією деформована вісь балки.

Неважко бачити, що прямі на епюрі М на ділянках АС і СВ паралельні. Звернемо увагу на те, що там, де прикладений зовнішній момент (пе-

54

реріз З), на епюрі Q змін немає, а функція М(х) зазнає розрив, і на епюрі M виходить стрибок, рівний за величиною зовнішньому моменту.

У окремому випадку, коли момент прикладений в опорному перерізі, на підставі наведених вище формул при а=0 одержимо епюри, зображені на рис 4.15.

y

М

l

Q

M

l

M

M

Рисунок 4.15

5ЗГИНАННЯ. ПОБУДОВА ЕПЮР

5.1Диференціальні залежності між інтенсивністю розподіленого навантаження q, поперечною силою Q і згинальним моментом M

Хай брус закріплений довільним чином (рис.5.1) і навантажений в загальному випадку розподіленим навантаженням інтенсивності

q = f ( z ).

55

Прийнятий напрямок для q , співпадаючий з віссю у, вважатимемо додатним.

Виділимо на ділянці, де немає зосереджених сил і моментів, малий відрізок О1О2 завдовжки dz (див. рис.5.1,б). Він знаходиться в рівновазі під дією зовнішнього навантаження, а також поперечних сил і згинальних моментів, прикладених в перерізах О1 і О2.

Оскільки в загальному випадку внутрішні зусилля міняються уздовж осі балки, то в перерізі О1 візьмемо їх рівними Q і M , а в перерізі О2 де-

кілька більшими:Q + dQ , M + dM . Внутрішні зусилля, як завжди, зобразимо в позитивному напрямку. У межах малого відрізка dz вважатимемо навантаження q розподіленим рівномірно.

З рівняння (5.2), скоротивши на M і нехтуючи членом qdz dz2 як малою величиною другого порядку , знайдемо

56

Співвідношення (5.3)…(5.5) називають диференціальними залежностями при згинанні, з яких можна побачити, що поперечна сила Q є першою похідною від згинального моменту M за довжиною бруса (форму-

ла (5.4)).

Похідна ж від поперечної сили Q за довжиною бруса дає інтенсивність зовнішнього розподіленого навантаження q (формула (5.3)).

Аз формули (5.5) видно, що друга похідна від згинального моменту

Мза довжиною бруса дорівнює інтенсивності розподіленого навантаження q.

Одержані залежності можуть бути використані при побудові епюр Q і

M.

5.2Аналіз диференціальних залежностей між q , Q і M .

Правила побудови епюр внутрішніх зусиль

Із співвідношень (5.3)...(5.5) можна зробити деякі загальні висновки про характер епюр згинальних моментів M і поперечних сил Q і скласти наступні правила побудови епюр:

1 Розглянемо випадок, коли q = 0 , тобто на даній ділянці балки відсутнє розподілене навантаження.

Тоді згідно з формулами (5.3).(5.5):

dQdz = q = 0, одержуємо Q = const = C1 , а M = C1z + C2 .

57

2 Отже, на ділянках, де немає розподіленого навантаження ( q = 0 ), епюри Q обмежені прямими, паралельними базовій лінії, а епюри M є прямими похилих, тангенси кутів нахилу яких дорівнюють Q (рис.5.2). Якщо на деякій ділянці:

а) Q > 0 (див. рис.5.2, а), тобто tg α >0, то епюра моментів M зростає (при побудові епюри зліва направо), тобто уздовж позитивного напрямку осі z (див. рис.5.2, а);

б) Q < 0 , тобто tg α<0, то епюра моментів M убуває (див. рис.5.2, б).

Q

M

Рисунок 5.2

3 На ділянках, де до балки прикладено рівномірно розподілене навантаження q = const = C (рис.5.3), епюра поперечної сили Q згідно з формулою (5.3) обмежена похилою прямою

Q= Cz + C 1,

аепюра згинальних моментів обмежена квадратичною параболою

зміні знаку з áá-ññ на áá+ññ - M = Mmin (див. рис.5.3, б).

58

3 У перерізах, де до балки прикладені зосереджені сили:

а) на епюрі Q будуть скачки на величину цих сил (рис.5.4) і з урахуванням їх знаків; причому слід зазначити, що при побудові епюр зліва направо напрямок стрибка співпадає з напрямком сили;

б) на епюрі M будуть злами, вістря яких направлені проти напрямку зосередженої сили (див. рис 5.4).

Рисунок 5.4

У перерізах, де до балки прикладені зосереджені моменти (рис.5.5), на епюрі M будуть стрибки на величину зовнішніх моментів з урахуван-

59

ням їх знаків, причому лінії епюри М до стрибка і після нього паралельні, а на епюрі Q змін не буде. Слід, проте, відзначити, що, якщо в одному перерізі прикладені і сила, і момент, то сила викликає перелом і порушує паралельність.

4 Якщо на кінці консолі або в кінцевій опорі до балки прикладений зосереджений момент, то в цьому перерізі згинальний момент рівний зовнішньому моменту (рис.5.6, переріз С).

M

M1

Рисунок 5.6

Якщо ж у шарнірній опорі зовнішній момент відсутній, то в ній згинальний момент M = 0 (див. рис.5.6, переріз B), що має місце в більшості випадків.

60