69_3_12
.pdfРеакції опор визначаємо з рівнянь рівноваги стержня: ∑ Fx = 0; HC = 0;
∑ M |
C |
= 0; q (2 + 4) |
(2 + 4) |
= M + P |
(2 + 2 + 4) + R (2 + 4) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
B |
|||||||||
R |
= |
|
8 6 3 −15 −10 8 |
= |
|
49 |
|
= 8,17 кН; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
B |
|
|
|
|
6 |
6 |
|
|
|
|
|
||||||
∑ M B |
= 0; q ( |
2 + 4) |
(2 + 4) |
+ M + P 2 = VC 6 |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
V |
= |
4 6 3 +15 +10 2 |
= |
179 |
= 29,83 кН. |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
C |
|
|
|
|
6 |
6 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перевірка:
∑ Fz = 0; q (2 + 4) − P − RB −VC = 0 ;
8 6 −10 − 8,17 − 29,83 = 48 − 48 = 0.
Рис. 2.5
31
3.Позначаємо характерні перерізи (В – Е) вздовж осі стержня
(рис. 2.5).
4.Обчислюємо величини та визначаємо знаки внутрішніх зусиль у зазначених перерізах стержня:
а) поперечна сила:
QD = P = 10 кН;
QBлів = QD = 10 кН;
QBпр = QВлів + RВ = 10 + 8,17 = 18,17 кН; QЕ = QВпр − q 2 = 18,17 − 8 2 = 2,17 кН; QС = −VC = −29,83 кН.
б) згинальний момент:
M D = 0 ;
M B = P 2 = 16,34 кНм;
M Eлів = P (2 + 2)− q 2 2 = 10 4 − 8 2 1 = 40,34 ; 2
M Епр = М Елів + М = 40,34 + 15 = 55,34 кНм;
MC = 0 .
Оскільки поперечна сила в межах ділянки Е – С змінює знак, необхідно визначити координату перерізу, в якому Q(x) = 0, а згинальний момент набуває екстремального значення:
Q(x |
ext |
) = −V + q x = −29,83 + 8 x = 0 x |
ext |
= |
29,83 |
= 3,73м; |
|||||
|
|||||||||||
|
|
|
C |
8 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
3,73 |
|
|
|
||
M |
ext |
= V |
3,73 − q 3,73 |
= 55,63кНм. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
C |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.За визначеними ординатами будуємо епюри (рис. 2.5).
6.Правильність побудови епюр перевіряємо за диференціальними
залежностями між qz (x), Q та M :
1) на ділянці D – B розподілене навантаження відсутнє ( q = 0 ), тому тангенс кута нахилу дотичної до епюри Q також рівний 0 і епюра Q обмежена відрізком прямої, паралельної базі (Q = const ); оскільки Q = const , епюра M у межах цієї ділянки обмежена відрізком прямої;
32
2) на ділянках B – E та E – C q = const , отже тангенс кута нахилу дотичної до епюри Q постійний і дорівнює q , тобто епюра обмежена відрізками прямих, нахилених до бази; оскільки Q змінюється за лінійним законом, тобто змінним є тангенс кута нахилу дотичної до епюри M , то епюра M у межах цих ділянок обмежена квадратною параболою;
3) перевіряємо перерізи в точках прикладення зосередженого навантаження. У цих точках епюри мають стрибок, абсолютна величина якого дорівнює величині зосередженого навантаження:
QDпр − QDлів = 10 − 0 = 10 = P ;
QBпр − QBлів = 18,75 −10 = 8,75 = RВ ; QDпр − QDлів = 0 − (− 29,83) = 29,83 = VD ; M Dпр − M Dлів = 55,34 − 40,34 = 15 = M .
ПРИКЛАД 2.4 Горизонтальний консольний стержень
1.Викреслюємо в масштабі розрахункову схему стержня і вказуємо величини діючих навантажень та числові значення лінійних розмірів
(рис. 2.6).
2.Опорні реакції в защемленні не визначаємо, а внутрішні зусилля визначаємо з умов рівноваги частини стержня з боку вільного краю.
Прикладені під кутом до осі стержня зосереджені сили розкладаємо на складові, проектуючи їх на вісь стержня (вісь х) та на перпендикуляр до осі (вісь z):
P1x = P1 cos30o = 15 cos 30o = 13 кН ;
P1z = P1 sin 30o = 15 sin 30o = 7,5 кН;
P2x = P2 sin 30o = 20 sin 30o = 10 кН;
P2z = P2 cos 30o = 20 cos 30o = 17,3 кН .
3.Позначаємо характерні перерізи (1 – 4) вздовж осі стержня
(рис. 2.6).
4.Обчислюємо величини та визначаємо знаки внутрішніх зусиль у зазначених точках стержня:
33
Рис. 2.6
а) поздовжня сила:
N1 = P1x = 13 кН ;
N2 = N1 = 13 кН ;
N3лів = N1 = 13 кН;
N3пр = N3лів + P2x = 13 + 10 = 23 кН ;
N4 = N3пр = 23 кН;
б) поперечна сила:
Q1 = −P1z = −7,5кН;
Q2 = Q1 = −7,5кН;
34
Q3лів = Q2 = −7,5кН;
Q3пр = Q3лів + P2 = −7,5 +17,3 = 9,8кН; Q3пр = Q4 = 9,8кН;
в) згинальний момент:
M1 = 0 ;
M 2лів = −P1z 4 = −7,5 4 = −30 кНм;
M 2пр = M 2лів + М = −30 + 18 = −12 кНм;
M 3 = −P1z 6 + М = −7,5 6 + 18 = −27 кНм;
M 4 = −P1z 9 + М + P2 z 3 = −7,5 9 + 18 + 17,3 3 = 2,4 кНм.
5.За визначеними ординатами будуємо епюри (рис. 2.6).
6.Правильність побудови епюр перевіряємо за диференціаль-ними
залежностями між qz (x), Q та M :
1) розподілене навантаження на стержень відсутнє ( q = 0 ), тому тангенс кута нахилу дотичної до епюри Q також рівний 0 і епюра Q по всій довжині стержня обмежена відрізками прямих, паралельних базі (Q = const ); оскільки Q = const , епюра M обмежена відрізками прямих; 2) перевіряємо перерізи в точках прикладення зосередженого навантаження. В цих точках епюри мають стрибок, абсолютна величина
якого дорівнює величині зосередженого навантаження:
|
Qпр |
− Q |
лів |
|
= |
|
|
|
− 7,5 − 0 |
|
= 7,5 = P |
; |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1z |
|
|
|
|
Qпр |
− Q |
лів |
|
= |
|
|
9,8 − (− 7,5) |
|
= 17,3 = P |
; |
||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M2пр − M2лів = −12 − (− 30) = 18 = M .
ПРИКЛАД 2.5 Стержень на трьох шарнірних опорах
1. Викреслюємо в масштабі розрахункову схему стержня і вказуємо величини діючих навантажень та числові значення лінійних розмірів
(рис. 2.7).
35
Рис. 2.7
2. Опори умовно відкидаємо і заміняємо їх дію опорними реакціями. Перерізи В, С, D закріплені шарнірно-рухомими опорами, реакції в яких направлені перпендикулярно опорним площинам (рис. 2.7).
Реакції опор визначаємо з рівнянь рівноваги стержня. У даному випадку рівняння мають такий вигляд:
∑ Fx = 0 |
RC cos30o =RD cos30o ; |
|
|
|
|
|
|
1,3 |
|
|||||||
∑ М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
K |
= 0 |
|
RB (1,3 +1,3)+ P (1,6 −1,3) = q 1,3 |
1,3 |
+ |
|
|
|
; |
|||||||
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
RB = 2,75 кН; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∑ МD = 0; |
|
|
|
|
1,3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
||||||
RB (1,3 +1,6 |
+1) + RC sin 30 (1,6 + |
1) = q 1,3 |
|
|
|
|
|
+1,6 +1 + P 1; |
||||||||
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RC = 12,45 кН.
Перевірка:
∑ Fz = 0; RB + RC sin30o + RD sin30o = q 1,3 + P
2,75 +12,45 sin 30o +12,45 sin 30o = 4 1,3 +10 15,2 −15,2 = 0.
Прикладені під кутом до осі стержня опорні реакції розкладаємо на складові, проектуючи їх на вісь стержня (вісь х) та на перпендикуляр до осі (вісь z):
RCx = RDx = RC cos 30o = 12,45 cos30o = 10,78 кН; PCz = RDz = RC sin 30o = 12,45 sin 30o = 6,225 кН .
3.Позначаємо характерні перерізи (В – Е) вздовж осі стержня
(рис. 2.7).
4.Обчислюємо величини та визначаємо знаки внутрішніх зусиль у зазначених перерізах стержня:
а) поздовжня сила:
N B = 0;
NCлів = N В = 0 ;
NСпр = RCx = 10,78 кН ; N E = NCпр = 10,78 кН;
N Dлів = N E = 10,78 кН ;
NDпр = NDлів − RDx = 10,78 −10,78 = 0.
б) поперечна сила:
QB = RB = 2,75кН;
QCлів = QВ − q 1,3 = 2,75 − 4 1,3 = −2,45кН; QCпр = QСлів + RCz = −2,45 + 6,225 = 3,775 кН;
QEлів = QСпр = 3,775кН;
QЕпр = QЕлів − Р = 3,775 −10 = 6,225кН;
QDлів = N Eпр = 6,225 кН;
QDпр = QDлів − RDz = 6,225 − 6,225 = 0 .
37
в) згинальний момент:
Оскільки поперечна сила в межах ділянки В – С змінює знак, необхідно визначити координату перерізу, в якому Q(x) = 0, а згинальний момент набуває екстремального значення:
Q(xext ) = 2,75 − 4 x = 0 xext |
= |
2,75 |
= 0,69м; |
||||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
0,69 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
M ext = 2,75 0,69 − 4 0,69 |
= 0,95кНм; |
|
|||||||||||
|
|
||||||||||||
M B = 0; |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,3 |
|
|
|
|
|
|
|
1,32 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
M C = RB 1,3 |
− q 1,3 |
|
= |
2,75 |
|
1,3 |
− 4 |
|
|
= 0,19 кНм; |
|||
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
M D = 0 ;
M E = RDz 1 = 6,225 кНм.
5.За визначеними ординатами будуємо епюри (див. рис. 2.7).
6.Правильність побудови епюр перевіряємо за диференціальними
залежностями між qz (x), Q та M :
1) на ділянці В – С q = const , отже тангенс кута нахилу дотичної до епюри Q постійний і дорівнює q , тобто епюра обмежена відрізком прямої, нахиленої до бази; оскільки Q змінюється за лінійним законом, тобто змінним є тангенс кута нахилу дотичної до епюри M , то епюра M у межах цієї ділянки обмежена квадратною параболою;
2) на ділянці С – D q = 0 , тому тангенс кута нахилу дотичної до епюри Q також рівний 0 і епюра Q обмежена відрізками прямих, паралельних базі (Q = const ); оскільки Q = const , епюра M у межах цих ділянок обмежена відрізками прямих;
3) перевіряємо перерізи в точках прикладення зосередженого навантаження. У цих точках епюри мають стрибок, абсолютна величина якого дорівнює величині зосередженого навантаження:
Qпр |
− Qлів |
= |
|
2,75 − 0 |
|
= 2,75 = R |
B |
; |
|
|
|||||||
B |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qпр |
− Qлів |
|
= |
|
|
3,775 − (− 2,45) |
|
= 6,225 = R |
; |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
C |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cz |
|
|
|
Qпр |
− Qлів |
|
|
= |
|
|
− 6,225 − 3,775 |
|
= 10 = P ; |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
E |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qпр |
− Qлів |
|
|
|
= |
|
0 − (− 6,225) |
|
= 6,225 = R . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
D |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38
ПРИКЛАД 2.6 Шарнірно-консольний стержень з проміжним шарніром
1. Викреслюємо в масштабі розрахункову схему стержня і вказуємо величини діючих навантажень та числові значення лінійних розмірів
(рис. 2.8).
2. Оскільки шарнірне з’єднання дозволяє частинам стержня вільно повертатись одна відносно одної, момент у шарнірі (переріз С) рівний нулю. З цієї умови можна визначити опорну реакцію в шарнірно-рухомій опорі D, склавши суму моментів відносно точки С усіх сил з правого боку від С:
∑ M пр = 0; R 3 + q 5 |
5 |
= P 5 |
|||||||
2 |
|||||||||
|
C |
D |
|
||||||
R |
= |
13 5 − 4 5 2,5 |
= |
15 |
= 5 кН. |
||||
|
|
||||||||
D |
3 |
3 |
|
|
|
||||
Реакції в защемленні можна не визначати, а внутрішні зусилля |
|||||||||
визначати з умов рівноваги правої відсіченої частини стержня. |
|||||||||
3. Позначаємо |
характерні |
перерізи (В – F) вздовж осі стержня |
|||||||
(рис. 2.8). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.8
39
4. Обчислюємо величини та визначаємо знаки внутрішніх зусиль у зазначених точках стержня:
а) поперечна сила:
QE = −P = −13 кН;
QDпр = −P + q 2 = −13 + 4 2 = −5 кН, QDлів = QDпр + RD = −5 + 5 = 0;
QC = QDлів + q 3 = 0 + 4 3 = 12 кН;
QF = QB = QC = 12 кН.
б) згинальний момент:
M E = 0 ;
M D = P 2 − q 2 |
2 |
|
= 13 2 − 4 2 1 = 18 кНм; |
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
||||||||
M |
C |
= P 5 − q 5 |
5 |
|
− R |
3 = 13 5 − 4 5 2,5 − 5 3 = 0; |
||||||
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
D |
|
|
||||
|
пр |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|||
M F |
= P 6 − q 5 |
|
|
+1 − RD 4 = 13 6 − 4 5 |
3,5 − 5 4 = −12 кНм; |
|||||||
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
M Fлів = M Fпр + М = −12 +18 = 6 кНм; |
|
|||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||||
MB = P 8 − q 5 |
|
|
|
|
|
+ 3 − RD 6 + M = 13 8 − 4 5 5,5 − 5 6 +18 = −18. |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
5.За визначеними ординатами будуємо епюри (рис. 2.8).
6.Правильність побудови епюр перевіряємо за диференціаль-ними
залежностями між qz (x), Q та M :
1) на ділянці С – Е q = const , отже постійний тангенс кута нахилу дотичної до епюри Q і епюра обмежена відрізком прямої, нахиленої до бази. У точках D та Е прикладені зосереджені сили, яким відповідає стрибок на епюрі Q :
QEпр − QEлів = 0 − (−13) = 13 = P ;
QDпр − QDлів = − 5 − 0 = 5 = RD .
На ділянці В – С q = 0 , тобто епюра Q обмежена відрізком прямої, паралельної базі (Q = const );
40