X xв X

Це означає, що x знаходиться в інтервалі значень від x_в - ∆x до x_в + ∆x

(1.1)

(рис. 1.1). Про прийоми , що дозволять

оцінити абсолютну похибку буде іти мова нижче.

Одна і та ж абсолютна похибка в різних вимірюваннях може значити зовсім

різну точність вимірів. Одна і та ж похибка ∆L= 2 см для вимірів схилу даху будинку - це добре, а при вимірах діаметра кулі до 10 см - це погано. Точність проведених вимірювань оцінюється задопомогою відносної похибки

^x 100% , (1.2)

x

яка виражається, як правило, у відсотках.

Стандартна форма запису результатудосліджень має вигляд:

x x_в x ,

....%

(1.3)

Наявність в абсолютній похибці вимірювання цифр, відмінних від нуля, в відповідному десятковому розряді означає, що цей десятковий розряд вимірюваної величини є сумнівним. Подальші цифри менших десяткових розрядів є взагалі випадковими, які можуть лише заводити в оману дослідника. В роботі з наближеними числами слід відрізняти значущі і достеменні цифри. Значущими є всі цифри, крім нуля, а також нуль в двох випадках: 1) коли він стоїть між значущими цифрами; 2) коли він стоїть в кінці числа і відомо, що одиниці відповідного розряду в даному числі відсутні. Достеменними є цифри, які гарантуються вимірювальними приладами. Наприклад, L = 12 мм означає, що вимірювання проведено лінійкою з міліметровими поділками, а L = 12,0 мм

- штангенциркулем з ціною поділки 0,1мм. Довільно приписувати чи відкидати нулі в кінці наближених чисел не дозволяється. Кількість достеменних цифр вказує на точність проведеного вимірювання. Наприклад, результат D = 2,7·10³ кг/м може бути записано в вигляді D = 2700 кг/м³, в якому нулі будуть незначущими. Результат має тільки дві значущі цифри.

Тому при оформленні результатів вимірювань слід додержуватись таких правил:

1. Округлити абсолютну похибку після її обчислення до однієї значущої цифри. Округлення виконується завжди всторону збільшення цифри

попереднього розряду на одиницю. Наприклад,

x 0,53 0,6 . Якщо перша

відмінна від нуля цифра похибки 1 або 2, а сума цієї цифри з наступною менше 5, дозволяється залишити в похибці дві значущі цифри, виконуючи відповідне

округлення. Наприклад,

x 0,1314 0,14 .

2. Округлити результат вимірювання x до того десяткового розряду, в якому є значущі цифри в похибці. 3. Записати кінцевий результат. Наприклад, Dв 7812 кг/м ;D 23кг / м³ 30кг / м³ ;

D 7810 30кг / м³ , 0,4% ,

або, краще

D 7,810,0310³ кг / м³ ; 0,4%

В наведеному прикладі нулі не значущі.

Розглянемо порядок розрахункупохибки прямих вимірювань.

Похибки прямих вимірювань

1. Можливими є два варіанти вимірювань: 1) умови досліду дозволяють провести тільки разові виміри, наприклад температуру тіла під час його нагрівання, значення сили струму в процесі його збільшення і таке інше; 2)вимірювання можливоповторювати декількаразів. Значення виміряної величини визначається по шкалі приладу, але більша частина використовуваних влабораторії фізики стрілочнихелектровимірювальних приладів є богатограничними, тому є потреба вміти визначати результати вимірів за показами шкали приладу. Перш за все потрібно визначити яке граничне значення вимірювань приладу використане. На нього вказує перемикач границь вимірювань. Границею вимірювань приладу є максимальне значення величини, що дозволяється вимірювати на даному положенні перемикача границь. За граничного значення вимірюваної величини стрілка приладу встановлюється на максимальній поділці його шкали, тому ціна однієї поділки визначається відношенням використаної границі вимірювань до максимального значення числа поділок шкали. Для визначення показів приладу необхідно помножити ціну поділкина кількістьподілок,вказаних стрілкою приладу.

Наприклад на рис. 1.2 схематично зображена шкала вольтметра. Границя його вимірів 500В.Максимальне число поділок 50. Ціна поділки 500В/50 = 10В. Виміряне значеннянапруги 450 В.

2. У випадку однократного вимірювання абсолютна похибка виміру визначається похибкою вимірювального приладу θ_x. Для лінійок, штангенциркулів, мікрометрів, терезів похибка дорівнює половині ціни найменшої поділки, або ж ціні поділки, якщо вимірювальний пристрій не має уточнень з приводу похибок (ці зауваження викладені в інструкції до користування приладом). Похибка вимірювання величин, одержаних за допомогою електровимірювальних приладів, обраховується за класом точності засобу вимірювання та меж вимірювання.

Клас точності засобу вимірювання вказується на шкалі приладу і представляє так звану зведену похибку. Вважається, що абсолютна похибка вимірювання є однаковою вподовж всієї шкали, а відношення абсолютної похибки до межі вимірювання даної ступені чутливості приладустановитьйого зведену похибку, записануу відсотках:

k ^x 100

^xmax

(1 4)

що дає можливість визначити абсолютну похибку:

θ_x = x ^kxmax

100

(1.5)

Згідно зі стандартом клас точності записується обов’язково через кому. Існують такі класи точності електровимірювальних приладів: 0,1; 0,2; 0,5; 1,0;

1,5; 2,0; 2,5; 4.0. Перші два класи використовуються в наукових дослідженнях. В практиці лабораторних робіт використовуються прилади класів 0,5; 1,0; 1,5; 2,6. Якщо зображення класу точності заведене в коло, то це означає, що наведена відносна похибка вимірювання досліджуваної величини.

Приклад. Якщо ви користуєтесь амперметром класу 1,5 зі ступенем

I

чутливості,що має граничне значення 2,5 А, тобто І_max = 2,5 А, то

звідки I ^{1,5 2,5} 0,0375 0,04 A.

100

2,5

100 1,5

3. Коли вимірювання повторюються декілька разів, згідно з теорією похибок за виміряне приймається найбільш імовірне, яке дорівнює середньому арифметичному одержаних значень.

Якщо вимірюється величина x і одержані результати x₁, x₂, x₃ ,..., x_N , то

_{x }x₁ x₂ ... x _N

N

; (1.6)

4. За похибку результатуі-того вимірювання

приймається модуль різниці

x_i 

x_i x .

Приклад вимірювання висоти стовпчика мікрометром

l l

№ п/п	l, мм	∆ l, мм
1	2,12	0,00
2	2,11	0,01
3	2,14	0,02
Сер.	2,12	0,01

^{2,12 2,11 2,14} 2,123мм2,12

3

l₁ 2,12 2,12 0

l₂ 2,12 2,11 0,01 (мм);

l₃ 2,12 2,14 0,02 (мм);

5. Визначаємо середнє квадратичне відхилення від середнього арифметичного:

N

2

2

S  

(x₁ x)

(x₂ x)

... (x_N x) _



i1

(x_i

x)²

(1.7)

^{x x} N (N 1)

2

N (N 1)

6. Для вибраної довірчої вірогідності (α = 0,95) і проведеної кількості ви-

мірюваньN за таблиці визначаємо коефіцієнтСтьюдента . Наприклад,для N=5, α=0,95 t_N,α=2,78

Таблиця 1.1 Значення коефіцієнта Стьюдентадля різної кількості вимірювань та α=0,95

N	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
tN;0,95	12,7	4,30	3,18	2,78	2,57	2,45	2,37	2,31	2,26	2,23	2,20

7. Розраховуємо випадковускладову абсолютної похибки вимірювань:

_̅ (1.8)

З урахуванням похибки приладуповнапохибка вимірювань:

√

8. Знаходимо відносну похибкувимірювань:

(1.9)

^x 100%

^x x

(1.10)

9. Записуємо остаточнийрезультат у вигляді:

̅ (1.11)

Похибки непрямих вимірювань

1. При непрямих вимірах, коли нам відомий зв'язок величини Y, що вимірюється, з величинами-аргументами прямих вимірів, тобто, ^{X1 , X 2 ,...X n } кожний з яких обважений абсолютною похибкою ^{X1 , X 2 ,...X n }тобто:

Y f X₁ , X ₂ ,...X _n 

(1.12)

то абсолютна похибка ^Y

може бути розрахована за формулами

Y 

^f



2

^{ }f

^X ² ^

2

^{ }f

^X ² ... ^

2

^X ²



_X 

1 _{X } 2

_X  ⁿ

(1.13)

     

1

2

n

Співвідношення (1.13) застосовують в тому випадку, коли виконуються дві умови. По-перше, похибки аргументів обумовлені багатьма факторами, серед яких немає переважного. По-друге, похибки аргументів статистично незв'язані (немає кореляції).

Приклад. Для визначення опору резистора виміряли падіння напруги

на ньому

U 32 2B

та струм

I 2 0.1A _{, тоді}

R ^U

^{R 16} Ом. Для обчислення

абсолютної похибки визначення опору ^I

знайдемо

^R ¹ 0.5 ¹

R _U

8 ^B

U I

A _та I I ²

^A2 .Якщо похибки вимірювання

напруги і сили струму обумовлені впливом багатьох факторів (температура, внутрішні опори вольтметру і амперметру, електричні наводки, нестабільність джерела живлення та ін.), то при сумуванні похибок краще скористатися формулою(4):

2

^R 

2

^R 

^{R } 

^{I 2 }

^{U 2 }

8² 0,1² 0,5² 2²

1,28 Ом

_I _

_U _

і відносна похибка становить

 ^R 100 ^1,28 100 8%

^R R 16

При використанні довідникових даних,таких якприскорення вільного падіння g, числа π і інших, похибка дорівнює половиніодиниці останнього десяткового розряду, до якого проведеноокруглення. Наприклад, якщо: g = 9,81 м/с,то ∆g = 0,005 м/с ; g = 9,8 м/с², то ∆g = 0,05 м/с²; g = 10 м/с,то ∆g = 0,5 м/с .

Побудова графіків

Побудова графіків відбувається за правилами, основні з яких наведені нижче.

1. Нааркуші паперустандартного розміру окреслити поле графіка, залишивши ліворуч 15-20 мм, знизу 20-25 мм. Обмежуючі поле графіка лінії можуть служити координатними осями.

2. Відповідно до правил побудови графіка вказати масштаби відліку аргументу і функції. При цьому обов'язковою вимогою є, щоб графік займав по можливості повністю координатне поле.

3. Відкласти на координатному полі всі точки, що відповідають представленим у таблиці значенням.

4. Побудувати плавну лекальну криву, що проходить максимально близько до всіх точок. Переконатися, що дана крива не суперечить фізичному закону.

Метод найменших квадратів

Метод найменших квадратів (МНК) дозволяє розрахувати параметри функції, яка найкращим чином описує певну

експериментальнузалежність. Така функція

f 

, яку називають рівнянням

регресії, повинна бути заданою напідставі фізичних міркувань. Сутність

МНК полягає умінімізації суми квадратів відхилень ^{S }

експериментальних

точок

^_i ^{; }_i ^від теоретичних даних:

n

S __i f _i 

2

min

(1.14)

i1

Найбільш простим є випадок, коли ^

можна записати у вигляді

^{f }є лінійною функцією, тобто коли її

(1.15)

Розв'язки системи дозволяютьзнайти вирази для а і b

n n n

ⁿ^xi ^yi ^^xi ^yi

_{a }i 1 i 1 i 1