Завдання 1.

За результатами розрахунків зробити висновки.

Розв’язання.

1. Розрахуємо середню величину (середній вік співробітників фірми).

Для розрахунку середнього віку співпрацівників фірми використаємо формулу середньої зваженої:

.

Групування співробітників за віком

Таблиця 2

Знайдемо характеристику центру розподілу – моду (Мо).

Мода у статистиці – це та варіанта, яка найчастіше повторюється в сукупності.

Виходячи з даних таблиці 1, на фірмі найбільше працює співробітників 29-річного віку (f =7 чоловік).

Отже, мода Мо = 29 років.

Побудуємо графічне зображення у вигляді гістограми на основі даних табл.1 :

Тепер визначимо характеристику центру розподілу – меридіану (Ме).

Меридіана – це варіанта, що ділить упорядкований ряд на дві рівні за чисельністю частини. При цьому в одній частині значення варіюючої величини буде меншим, ніж у другій.

Ме = 31 рік , так як

Для побудови графічного зображення використаємо дані табл.2.

2. Для виміру і оцінки варіації використовують систему абсолютних і відносних характеристик, а саме: розмах варіації, середнє лінійне і середнє квадратичне відхилення, коефіцієнти варіації, дисперсію. Кожна з названих характеристик має певні аналітичні переваги при вирішенні тих чи інших завдань статистичного аналізу.

Розмах варіації (R) — це різниця між найбільшим і найменшим значеннями ознаки. Показник характеризує межі, в яких змінюється значення ознаки.

R = х_mах—х_mіп = 34 – 29 = 5 років

Середнє лінійне відхилення (l) – це середня арифметична з відхилень індивідуальних значень ознаки від їх середнього значення. Модуль відхилень варіації від її середнього значення використовують тому, що алгебраїчна сума цих відхилень дорівнює нулю. Для рядів з нерівними частотами

Отже, вік співробітників фірми відхиляється від середнього значення в середньому на 1,6 роки.

Дисперсія – це середній квадрат відхилення варіантів від їх середньої арифметичної. Отже,

Середнє квадратичне відхилення (абсолютне коливання значень варіюючої ознаки)

Отже, вік співробітників фірми відхиляється в окремих групах відхиляється від середнього значення в сукупності на 1,75 року.

При порівнянні варіації різних ознак або однієї ознаки в різних сукупностях використовуються коефіцієнти варіації V. Вони визначаються відношенням абсолютних іменованих характеристик варіації (, , R) до центра розподілу, найчастіше виражаються у процентах. Значення цих коефіцієнтів залежить від того, яка саме абсолютна характеристика варіації використовується.

Коефіцієнти варіації визначаються:

лінійний ;

квадратичний ;

осциляції .

Вихідні дані та допоміжні розрахунки для розв’язання задачі

Вихідні показники		Розраховані показники
Вік співробітників фірми, х років	Кількість співробітників f	xf	x -	(x - )²	(x - )²f	(x - )³	(x - )³f	|x - |	|x - |f	(x - )	(x - )f
29	7	203	-2,27	5,14	35,96	-11,65	-81,52	2,27	15,87	26,40	184,78
30	5	150	-1,27	1,60	8,02	-2,03	-10,16	1,27	6,33	2,57	12,87
31	4	124	-0,27	0,07	0,28	-0,02	-0,08	0,27	1,07	0,01	0,02
32	5	160	0,73	0,54	2,69	0,39	1,97	0,73	3,67	0,29	1,45
33	5	165	1,73	3,00	15,02	5,21	26,04	1,73	8,67	9,03	45,13
34	4	136	2,73	7,47	29,88	20,42	81,68	2,73	10,93	55,82	223,27
Разом	30	938	1,40	17,83	91,87	12,33	17,94	9,00	46,53	94,11	467,52

Найпростішою мірою асиметрії є стандартизоване відхилення , яке характеризує напрям і міру скошеності розподілу; при правосторонній асиметрії > 0, при лівосторонній — < 0. Звідси правостороння асиметрія називається додатною, а лівостороння — від’ємною.

Отже, коефіцієнт асиметрії 0,62 свідчить про високу правосторонню скошеність розподілу.

Асиметрія та ексцес — дві пов’язані з варіацією властивості форми розподілу. Комплексне їх оцінювання виконується на базі центральних моментів розподілу. Алгебраїчно центральний момент розподілу — це середня арифметична k-го ступеня відхилення індивідуальних значень ознаки від середньої:

.

Моменти 3-го і 4-го порядків характеризують відповідно асиметрію та ексцес.

У симетричному розподілі = 0. Чим більша скошеність ряду, тим більше значення . Для того щоб характеристика скошеності не залежала від масштабу вимірювання ознаки, для порівняння ступеня асиметрії різних розподілів викорис­товується стандартизований момент .

При правосторонній асиметрії коефіцієнт > 0, при лівосторонній < 0. Звідси правостороння асиметрія називається додатною, а лівостороння — від’ємною. Вважається, що при < 0,25 асиметрія низька, якщо не перевищує 0,5 — середня, при> 0,5 — висока.

Для вимірювання ексцесу використовується стандартизований момент 4-го порядку

У симетричному, близькому до нормального розподілі =3. При гостровершинному розподілі > 3, при плосковершинному < 3.

3. 1. Середня вибіркова

Гранична похибка

Чисельність вибіркової n = 30 чол. (5% генеральної), чисельність генеральної сукупності – 600 чол.

Під час визначення середнього віку співробітників середня похибка вибірки

Граничну похибку вибірки (похибку репрезентативності) обчислюють за такою формулою:

де t — коефіцієнт кратності похибки, який показує, скільки середніх похибок міститься у граничній похибці; μ_х — середня похибка репрезентативності.

Межі можливої похибки (∆) визначають з певною ймовірністю. Значення t ймовірності наведено в табл.3

Таблиця 3

Визначимо інтервал можливих значень середньої величини для генеральної сукупності з вірогідністю 0,9545:

;

2. Межі, в яких знаходиться частка в генеральній сукупності, розраховуються:

, , де р — частка одиниць, які мають цю ознаку в генеральній сукупності.

У вибірковій сукупності перша група розподілу - вік співробітників 29 років (m = 7). Частка першої групи розподілу розраховується за формулою

або 23,3%

У разі безповторного відбору за умови, що N = 600, n = 30, ω = 0,233, P = 0,9973, t = 3, гранична похибка вибірки для частки

або 22,6%

Отже, частка першої групи розподілу вибіркової сукупності в генеральній сукупності перебуватиме в таких межах:

p = 23,3 ± 22,6, або

3. Необхідний обсяг вибірки, яка б забезпечила оцінку вірогідності (частки) першої групи розподілу з точністю до 4% при довірчій вірогідності 0,9876 ( t=2,5) розрахуємо за формулою:

Висновки: статистичне дослідження віку співробітників фірми проводилося вибірковим методом у вибірковій сукупності 30 чол., що становить 5% генеральної сукупності. Найбільш поширений вік співробітників фірми (Мо) – 29 років. Середній вік працівників фірми – 31,3 роки. Вік співробітників фірми відхиляється від середнього значення в середньому на 1,6 роки. Розраховані коефіцієнти асиметрії та ексцесу вказують на високу правосторонню скошеність та плосковершинність ряду розподілу. Інтервал можливих значень середньої величини для генеральної сукупності з вірогідністю 0,9545 знаходиться в межах від 30,7 до 31,9 років. Частка першої групи розподілу (m=7) вибіркової сукупності (n=30) в генеральній сукупності (N=600) з вірогідністю 0,9973 перебуватиме в межах від 0,7% до 45,9%. Необхідний обсяг вибірки, яка б забезпечила оцінку вірогідності (частки) першої групи розподілу з точністю до 4% при довірчій вірогідності 0,9876, становить 322 чол.