Міністерство освіти та науки України

Київський національний університет технологій та дизайну

М.К.МОРОХОВЕЦЬ

Основи Дискретної математики

МНОЖИНИ ТА ВІДНОШЕННЯ

Конспект лекцій

для студентів напрямку “Комп’ютерні науки” 6.0402

КИЇВ КНУТД 2005

УДК 51.681.3517

Конспект лекцій з курсу “Основи дискретної математики” для студентів спеціальності “Комп’ютерні науки” 6.0402

/ Автор М.К.Мороховець. – К.: КНУТД, 2005. – 52 с. Укр.мовою.

У даному матеріалі викладено основні відомості з теорії множин, розглядаються поняття відношення, відображення. Наводяться приклади розв’язання задач. До кожного розділу подаються задачі та вправи.

Матеріал призначено для студентів, що починають вивчати основи дискретної математики.

Бібл. 6 найм.

© Київський національний університет технологій та дизайну, 2005

Лекція 1. Поняття множини. Операції над множинами

Теорія множин як математична дисципліна створена німецьким мате-матиком Г.Кантором. Згідно з його визначенням, множиною є довільне зі-брання певних об’єктів нашої інтуїції або інтелекту, які розрізняються між со-бою, що уявляється як єдине ціле. Ці об’єкти називаються елементами, або членами множини. Зауважимо, що формулювання поняття множини не на-кладає жодних обмежень на природу предметів, що входять у множину. Мно-жина може складатися, наприклад, з білих лебедів, чорних автомобілів, пар-них чисел. Відмітимо також, що канторівське формулювання дає змогу роз-глядати множини, елементи яких з тієї чи іншої причини не можна точно вка-зати (наприклад, множина усіх раціональних чисел, множина зірок Всесвіту). Фраза «об’єкти, що розрізняються між собою» з канторівського визначення множини означає, що для будь-яких двох предметів, які вважаються елемен-тами множини, має бути спосіб вирішити являються вони різними чи однако-вими. Слово «певний» розуміють у тому сенсі, що коли дано деяку множину та деякий предмет, то можна визначити, чи є цей предмет елементом даної множини.

Способи подання множин

Множина може бути задана явно або неявно. Якщо об’єктів, що склада-ють множину, небагато, множина задається явно шляхом перерахування цих об’єктів (а точніше, їх імен). На письмі множину, елементами якої є об’єкти х₁,х₂,…,х_n, будемо позначати {x₁,x₂,…,x_n}. Таке подання множини називається явним. Приклади множин, заданих явно: {2,3,8,7} – множина, елементами якої є числа 2, 3, 7 та 8; {,,,,} – множина, що складається із символів , , , , ; {Марія, Петро, Олена, Олексій} – множина, що складається з кількох імен людей; {білий, зелений, блакитний} – множина, елементами якої є назви кольорів.

Щойно описана форма подання множин не є зручною, коли треба задати множину, що містить багато елементів, й зовсім неприйнятна, коли мова йде про множину, у якій нескінченно багато елементів. Для таких випадків використовують подання множини у формі {t(x₁,…,x_n)| P(x₁,…,x_n)}. Тут n – ціле додатне число, t(x₁,…,x_n) – вираз (послідовність символів), роль якого – показати, який вигляд мають елементи заданої множини, P(x₁,…,x_n) – твердження, яке задає необхідну й достатню умову належності об’єкта множині, x₁,…,x_n – змінні, роль яких – позначати у t(x₁,…,x_n) та P(x₁,…,x_n) місця, на які підставляються імена конкретних об’єктів при побудові елементів заданої множини або при перевірці, чи належить даний об’єкт заданій множині, причому місця, позначені однаковими змінними, «займають» одні й ті самі імена. Якщо нас не цікавить будова елементів множини, будемо використовувати вираз x замість t(x₁,…,x_n). Вираз P(x₁,…,x_n) може бути простим або складеним реченням природної мови, рівністю, нерівністю тощо. Взагалі під P(x₁,…,x_n) будемо розуміти скінченну послідовність зі слів, математичних виразів та символів x₁,…,x_n таку, що якщо кожне входження x_і (i=1,…,n) у цю послідовність замінити одним й тим самим іменем деякого об’єкту, то в результаті матимемо висловлення, тобто таке твердження, яке можна охарактеризувати як істинне або хибне. Іноді сполучник «та» («й») у виразі P(x₁,…,x_n) будемо заміняти комою. Описаний спосіб подання множини називається неявним.

Наведемо приклади множин, заданих неявно: {x| x – зірка Всесвіту} – множина, елементами якої є ті й тільки ті об’єкти, що являються зірками Всесвіту; {n| n – натуральне парне число} – множина, яка містить ті й тільки ті натуральні числа, що є парними; {n| n – непарне число й n ділиться на 5} – множина непарних чисел, кратних п’яти, будь-яке число, що не має зазначених властивостей, не належить даній множині; {(x,y)| x,y – дійсні числа} – множина, що складається з двійок дійсних чисел й тільки з них; можна також сказати, що це множина усіх точок декартової площини.

Множина може мати ім’я. Зазвичай імена множин позначаються великими латинськими літерами, що можуть мати індекси. На письмі ім’я множини розміщується перед множиною й між ними ставиться знак «=». Наприклад, запис А={a,b,c,d} означає, що множині {a,b,c,d} дано ім’я А. Ім’я множини можна використовувати замість самої множини. Одній й тій самій множині можна дати кілька імен. Деякі множини мають усталені імена (позначення). Так, множина усіх невід’ємних цілих чисел позначається N, усіх додатних цілих чисел – N⁺, множини усіх цілих, раціональних, дійсних чисел мають імена відповідно Z, Q, R.

Одна й та сама множина може бути задана явно й неявно. Наприклад, нехай A={x| x – додатне ціле число, x10, х парне}. Можемо знайти усі такі числа, що задовольняють задані умови, отже, й задати множину А явно: А={2,4,6,8}.

Якщо деякий об’єкт х є елементом деякої множини А, будемо писати: хА. Даний вираз читається: «х належить А», «х є елементом А», «А містить х». Якщо треба зазначити, що певний об’єкт х не є елементом деякої множини А, будемо писати хА. Такий вираз читається: «х не належить А», «х не міститься в А», «х не є елементом А», «А не містить х». Таким чином, вираз хА (хА) є твердженням, істинність якого залежить від того, міститься об’єкт х у множині А чи ні. Наприклад, твердження а{a,b,c} правильне, тому що об’єкт а міститься у множині {a,b,c}. Твердження х{a,b,c} також правильне, оскільки множина {a,b,c} не містить об’єкта х. Твердження АN хибне, тому що А не є невід’ємним цілим числом, отже, не може належати множині N.