2.2 Кібернетичний підхід в моделюванні

Згідно з кібернетичним підходом при побудові математичної моделі процесу або об'єкту звичайно обмежуються схематичним (спрощеним) уявленням про об'єкт дослідження у вигляді «чорного ящика», запропонованого Н.Вінером (рис. 2.2).

Рис. 2.2 Схема чорного ящика.

На такий об'єкт впливають три групи факторів (рис.2.3), які визначають його стан:

• Група X = (х₁, х₂,…, х_k) включає фактори, що контролюються та допускають цілеспрямовану зміну в ході дослідження. Їх називають вхідними регульованими (керованими) факторами, або незалежними змінними параметрами.

Наприклад: живильні напруги, вхідні та проміжні сигнали, задані технологічні параметри та ін.

• Група Z = (z₁, z₂, …, z_n) включає в себе фактори, що контролюються, які на відміну від факторів першої групи не допускають цілеспрямованої зміни в ході дослідження. Інформація про значення факторів цієї групи отримується внаслідок лабораторних аналізів, вимірювань і т. ін. Їх називають нерегульованими або некерованими факторами.

Наприклад: умови навколишнього середовища, в яких проводяться експерименти: навколишні температура, освітлення, положення ручок установок регулювальників та ін .

• Група U= (u₁, u₂, …, u_m) утворена факторами, що зумовлюють такий вплив на об'єкт, який не можна виміряти кількісно. Такі фактори називають неконтрольованими, вони призводять до дрейфу характеристик об'єкта.

Наприклад: зношування інструменту, неконтрольовані домішки в сировині, старіння деталей та електрорадіоелементів та ін.

Рис. 2.3 Класифікація вхідних факторів, що діють на об’єкт дослідження.

Фактори можуть приймати певні кількісні значення, які називають рівнями варіювання факторів. Кожному стану чорного ящика відповідає певне поєднання рівнів усіх факторів. Чим більше сукупність рівнів факторів, тим складніший досліджуваний об’єкт і тим складніші задачі, що пов'язані з його вивченням.

Група Y= (y₁, y₂, …, y_N) включає в себе змінні, які називають вихідними (рис 2.2). Змінні цієї групи часто виступають як цільові величини при оптимізації процесів. Їх називають також відгуком, функцією мети, критерієм ефективності, критерієм оптимальності, параметром оптимізації та ін. Усі наведені терміни є синонімами.

Наприклад: величини, що характеризують ефективність процесу, техніко-економічні параметри, технологічні властивості, а також характеристики готових продуктів.

При розв’язанні дослідницьких задач із застосування планування експерименту, як правило, вирішують проблеми моделювання та організації об’єкту дослідження, моделювання зводиться до визначення залежності між вхідними та вихідними змінними. Ця залежність називається математичною моделлю та має вигляд:

Y=f (x_i, z_v , u_j ), (1.1)

де х_i - сукупність значень вхідних контрольованих та керованих параметрів (i=1, n); z_v - сукупність значень контрольованих, але некерованих параметрів (v = 1, k), u_j - сукупність неконтрольованих та некерованих параметрів (j=1, m).

Задача оптимізації полягає в тому, щоб при фіксованих параметрах u_j= const та z_v= const вибрати такі значення x_i=var (i=1, k), при яких вихідний (або оптимізуючий) параметр об'єкта у досягає оптимальної величини.

Рівнянню (1.1) відповідає деяка гіперповерхня в багатовимірному просторі, яка називається поверхнею відгуку, а простір, в якому будується ця поверхня, факторним простором.

У найпростішому випадку, коли досліджується залежність відгуку від одного фактора, поверхня відгуку являє собою лінію на площині, тобто в двовимірному просторі.

У загальному випадку, коли розглядаються k фактори, рівняння (1.1) описує поверхню відгуку в (k + 1)–вимірному просторі.

При досить обмежених знаннях про механізм процесу аналітичний вираз функції відгуку невідомий, звичайно має вид полінома:

(1.2)

де b_o, b_i, b_ij, b_ii - коефіцієнти регресії, які отримують за результатами експерименту.

Отримане емпіричним шляхом рівняння (1.2) називають моделлю для прийняття рішень. Рішення вважається оптимальним, якщо воно при заданих обмеженнях мінімізує або максимізує (в залежності від умов задачі) параметр оптимізації на моделі.