Основы информатики_Савельев А.Я_Учебник_2001

7 / Предспшоление десятичныл чисел в Д-коба*^

Для однозначности перевода чисел в Д-код и обратно желательно, что­ бы разряды геград имели определенный вес. Тогда значение десЯ1ичной

цифры а, coornciCiпуст выражению

cBoifcrBo Д-кодов. Оно отличает их от обычных позиционных систем счис­ ления, в 1согорых все комбинации — разреп1еннь[е.

PaccMoi рим н;1и6о.11ее расмрос граненные Д-коды.

Код Д| прямого замещения (система 8421). В коде Д, разрешенные комбинации соответствуют двоичным эквивалентам десятичных цифр с весами разрядо!!. равнь1Х степеням основания 2. Для эгого кода не BbrnojniHсгся усЛ()[и1С (7.2), так как цифры, являюпщеся доио:п1е)1ием до 9, ие получаютс.ч простым инвертированием наборов тетрад.

161

7. Выполнение операций над десятичными числами в цифровых автоматах

нию С двоичной системой каждая тетрада содержит избыток +0110. Это дает возможность лк^ую цифру одной части таблицы превратить в ее до­ полнение до 9 простым инвертированием. •

Код Д^ (система 8421+3). Для этого кода все тетрады имеют значения на три единицы больше, чем тетрады кода Д, (отсюда название кода), и для него не существует целочисленных значений веса, которые удовлетво­ ряли бы (7.3).

Коды Д; (система 53-21) и Д^ (система 75-31). Эти коды отличаются от вышеназванных кодов тем, что для них некоторые веса имеют отрица­ тельное значение.

В вычислительных машинах разного назначения чаще всего исгюльзуются коды Д, и Д4.

7.2. Формальные правила поразрядного сложения в Д-кодах

Для определения формальных правил поразрядного сложения чисел, представленных в Д-коде, рассмотрим те особенности, которые присущи этим кодам.

1, Наличие разрешенных и запрещенных комбинаций.

Появление запрещенной комбинации при выполнении каких-то дейст­ вий над числами свидетельствует о возникновении ошибки или же о необ­ ходимости ввести корректировку результата.

2. При сложении тетрад возникает потетрадный перенос п| - 1 6 вме­ сто поразрядного переноса п, = 10 . Это приводит к необходимости коррек­ ции результата.

где С, — /-Й разряд суммы; п,^, — перенос из младшей тетрады; п, — пе­ ренос в старшую тетраду (п,_, = {0,1}, п^ = [0,1], ^ = 10).

Далее выведем правила сложения применительно к Д-кодам.

При сложении чисел в коде Д, могут возникнуть следующие случаи. 1. Пусть (7, +h, +п,,| <10, где а^,Ь, —тетрады кода Д, . При сложении

в данном разряде числа образуется сумма меньше 10. Если действия над

162

7 2 Формальные правила поразрядного сложения в Д-кодах

разрядами тетрады проводят по правилам двоичной арифметики, то пра­ вильный результат получают без коррекции.

Пример 7.1. Сложить тетрады а, =0100 и й,=0101 при значении п,_,=0. Р е ш е н и е с, =а, +Ь, 4^п,_, = 1001.

Ответ с, = 1001.

2. Пусть а, + h, + п,_, > 10, т. е. возникает десятичный перенос и сумма должна быть равна а, + й, + п,^| - п, 10 , где п, = 1.

Свидетельством того, что результат неправильный, является либо по­ явление запрещенной комбинации, если 15 > д, +6^ + п,_, к 10 , либо появле­ ние потетрадного переноса п] =\6, что превышает значение десятичного переноса на 6. Следовательно, требуется коррекция результата в данной

(1)= 0101,

т.е. резулыа! рапси 0101 в дайной тетрале и образован перенос в старшую тетраду. Ответ с, =0101,н, =1 .

Пример 7.3. Сложить тефадь! а, = 0111, й, = 1001 при значении п,_| = 1 . Р е !л е и и е . с,' = «, + ft, 4^ п,_| = (1)0001.

п', Появление иогегршншго переноса требует коррекции результата: с, =0001 +

+0110 = 0111.

Ответ с, = 0111, р, = I.

Примеры, рассмотренные выше, дают возможность сформулировать следующие правила потетрадного сложения чисел в Д, -коде:

если при потетрадном сложении перенос в соседнюю старшую тетраду не возникнет {п, =0), то результат суммирования не требует коррекции;

коррекция результата потетрадного сложения путем добавления по­ правки + О! 10 требуется в случае, если:

163

Устройство, которое работает по сформулированным выше правилам, называется одноразрядным десятичным сумматором для Д-кода (рис. 7.1).

Рнс. 7.Г Cipyicrypiiafl схема одноразрядною десятичного сумматора ддя Д[-кода

Рассмотрим пример суммирования целых чисел.

Пример 7.4. Сложить числа /( = 279 = 001001111001 и В = 581 =010110000001 , запи­ санные в коде Д(.

Р е ш е н и е . Прежде всего проводится потетрадное суммирование, а за1ем коррекция там, где это необходимо:

Здесь стрелка указывает передачу единицы десятичного переноса. Отчет: Г = 860 = 1000 0110 ООООд,.

При сложении чисел в коде Дз могут возникнуть следующие случаи. 1. Пусть а,' < 5 и 6,' < 5 , где а', Ь', — тетрады для кода Д2. Тогда: если а', + h' + п,., < 5 , то результат сложения не требует коррекции;

если а' +Ь' + п,^, > 5 , то результат попадает во вторую часть таблицы кодирования, где с,' = с, + 6 .

Здесь необходима коррекция результата введения поправки ОНО. При­ знак этого — появление запрещенных комбинаций.

164

7 2 Формальные правила поразрядного слолсемия в Д-кодах

2. Пусть а]>Ъ И *,' < 5; 15 > а,' + *,' + п,^, > 5 .

Так как а' = а, + 6, при суммировании поправка не требуется. 3. Пусть U,' г 5 и *' > 5; п, = 1. Тогда:

если 10 < а,' + й,' + п,_| < 15 , то результат требует коррекции путем вве­ дения поправки -ОНО, так как появляется запрещенная комбинация';

если же а[ + Ь] + п,_| < 15 , то результат не требует коррекции.

При потетрадном суммировании в Дз -коде результат суммирования без коррекции получается во всех случаях, кроме следующих:

если при огсутствии переноса в старшую тетраду (п, = 1) возникает за­ прещенная комбинация, то требуется ввести поправку +0110;

если при наличии переноса в старшую тетраду (п, = 1) возникает за­ прещенная комбинация, то требуется ввести поправку -ОНО (1001 в об­ ратом коде или 1010 в дополнительном коде).

Гак как поправки бывают положительные или отрицательные, их вве­ дение сопровождается блокировкой цепей межтетрадного переноса в пери­ од коррекции результата.

Пример 7.6. Сложить числа /( = 137 = 000100111101 и S = 457 = 010010111101, запи­ санные н коле 1\2

I* с HI с и и с - Сначала 11ро|Шли1ся гсогетрадное суммирование, а затем коррекгшя:

,0101 1111 1010 ОНО * 0000* 1010

1011 1111 0100

Исключение из этого случая возникает при а, +й, +П,., =15, когда не требуегся вводн1ь поправку, так как появится разрешенная комбинация.

165

7Выполнение операций над десятичными числами в цифровых автоматах

Вмладшей тетраде возникает перенос п, = I и запрещенная комбинация — вводится поправка 1010 в дополнительном коде; в старшей тетраде при п, = 0 возникла запрешеиная комбинация — поправка вводится 0110.

Ответ С = 594 = 1011 | Щ 0100д^ ,

При сложении чисел в коде Д4 возможны следующие случаи.

результат требует коррекции путем введения поправки - 0011; если а" + Ь", + n,^j > 10, то с" = а, +Ь, + п,_^, + 3 + 3 .

Здесь возникает десятичный перенос, который, по условию, «уносит» с собой шесть избыючных комбинаций. Следовательно, в данном случае требуется коррекция результата путем введения поправки -^ ООП .

Пример 7.7. Сложить числа ^ --- 35 - 01101000 и В = 28 ^ 0101 1011 . заммсампыс в

коле Дд Р е ш е н и е , Сначала проводится потетрадное сложение, а затем введение поправок-

Ответ Г = 63 = I0010П0„^,

Здесь поправки вводятся при блокировке цепей по1е1радного переноса. Правила введения поправок можно сформулировать так; если при сложении тетрад не возникает переноса (п, = 0 ) , то поправка

равна - О О П (или дополнение + 1101); если же возникает потетрадный пе­ ренос (п, = 1), то поправка равна + 0011.

Аналогичным образом можно рассмотреть правила суммирования для других Д-кодов.

7.3. Представление отрицательных чисел в Д-кодах

Представление Д-кода в разрядной сетке машины может осуществляться в форме либо с фиксированной, либо с плавающей запятой. При этом отри­ цательные числа должны представляться в прямом, обратном или дополни­ тельном кодах. Поэтому, если Л = -О, a^a2 •• - «„, где Й, — тетрады, то

166

'' 3 Представление отрицательных чисел в Д-кодах

где а, — дополнение до ly - 1 во всех тетрадах; а, — дополнение до ly - 1 во всех тетрадах, за исключением младшей, для которой это дополнение т q = \0 ,

Из правил преобразования (7.5) следует, что

Это означает, что для Д-кодов, для которых выполняется условие (7.2), обратный код получается простым инвертированием набора тетрад.

Пример 7.8. Иайги обратный и дополнительный коды в коде Д, для числа

А= -0,127 = -0,0001 0010 1101д^ .

Ре ш е н и е . Иа основании (7.5) \Л]^ = 1.1110 1101 0010.

Исиольчуя соогмотение \МФ-^п" ~\Мл- находим дополнительный код: \Л\^ =1.1110 11010011.

Прибавление елипииы в младшую тетраду при образовании дополнительного кода в ко­

Прибавление единицы в младшую тетраду при образовании дополнительного кода в ко­ де Д4 не ipeOyei коррекции.

Ответ см формулу (а) даиното ггримера.

Код Д, о1личается тем, чтх) для него не выполняется условие (7.2). Эта особенность кода влияет на образование обратного или дополнительного ко­ да, так как инвертирование набора тетрад означает получение дополнения до 2 - 1 = 1 5 . Следовательно, необходимо убрать разницу. Один из используе­ мых при эюм приемов состоит в том, что во все цифровые тетрады числа в коде Д| добавляется 4-ОПО и после этого проводится инвертирование набо­ ра. Полученное изображение представляет сс^ой обратный код числа.

Пример 7.10. Получить обратный код в коде Д, для числа Л = -0,256 = -4).0010 010101HV

167

7.4 Выполнение операций сложения и вычитания чисел в Д-кодах

Пример 7ЛЗ. Сложить в коле Д; на сумматоре дополнительного кола числа /(=-0,0000110100111011 и Я = -0,0000111100101011.

Р е ш е н и е . Если все делать по правилам, то [Л\^ = 1,1111 001011000101, В последней

/( =0.1110101100Пд, и А = -0,|1000100101|д^.

Р е ш е н и е . Сначала числа записываем в обратном коде и их изображения складываем:

/( =-0,1011И0001II1001 и fl = 0,00nlOOOIOOIIOIO.

Р е ш е н и е , Сначала записываем в обратном коде и затем складываем изображения:

При введении поправок цепи межтетрадного переноса блокируктгся и отрицательные поправки вносятся в виде дополнения (! 101).

Ответ Г = -01011 ОНО ЮН 1 ЮОд^ .

Рассмотренные выше примеры выполнения операций сложения в Д- кодах позволяют сделать ряд общих замечаннй; коррекция результата может

169

7 Выполнение операций над десятичными числами в цифровых автоматах

осуществляться автоматически либо программным путем, либо с помощью аппаратных средств. Первый метод потребует разработки специального бло­ ка управления, а второй — усложнения схемы собственно сумматора. Эчу задачу разработчик решает в конкретной постановке в зависимости от требо­ ваний. На практике чаще используется схемный метод коррекции.

По изложенным выше правилам реализуются алгоритмы сложения (вычитания) чисел, представленных в форме с фиксированной запятой на специальных десятичных сумматорах.

Для десятичных чисел с плавающей запятой используют ту же мегодику, что и для двоичных чисел; порядки чисел перед сложением выравнива­ ются (меньшему числу присваивается порядок большего числа) и по окон­ чании операции проводится нормализация результата. При этом со стороны младших разрядов отводится дополнительная тетрада, используемая при сдвигах вправо.

7.5. Умножение чисел в Д-кодах

Выполнение операций умножения в Д-кодах при[щипиально проводит­ ся по классической схеме:

умножение чисел сводится к последовательному суммированию част­ ных произведений, гюлучепиых при умножении множимого па очередную цифру множителя. Так как каждая цифра множителя представляется в виде (р4рзр2р|)<' ^•^^ ^ — номер разряда, умножение сопровождается расшифров­ кой значения очередной тетрады множителя и сдвигом на чегыре разряда сразу. Расшифровку можно осуществить разными способами. Простейшим приемом является последовательное вычитание единицы из значения тетра­ ды до получения нуля и соответственно прибавление множимого в сумматор на каждом такте. При умножении на сумматоре прямого кода надо преду­ смотреть дополнительную тетраду на случай мес1чюго переполнения.

Пример 7,!6. Умножить на сумматоре прямого кода (код Д 2 ) числа [^]„р = ! , 0 O i m O ! ;

[S],p =0.00100100.

Р е ш е н и е . При умножении используются сумматор прямого кода для кода Д , на три тетрады и регистры на две тетрады,

Последовательность выполнения операции показана в таблице 7.2.

При умножении в коде Д , анализ тетрад можно осуществлять с помошью реверсивного счетчика.

Ответ: [/^В1„р = 1,0000111011101110,

170