Основы информатики_Савельев А.Я_Учебник_2001

S. ВЫПОЛНЕНИЕ ОПЕРАЦИИ УМНОЖЕНИЯ ЧИСЕЛ НА ДВОИЧНЫХ СУММАТОРАХ

5.1. Методы умножении двоичных чисел

Применительно к двоичной системе счисления наиболее известны сле­ дующие основные способы выполнения операции умножения:

1) умножение начиная с младших разрядов множителя:

1101 — множимое,

"l 101 —множитель, 1101

0000

1101 —частные произведения,

1101

10101001 — произведение;

2) умножение начиная со старших разрядов множителя:

N01 — множимое,

1101 — множитель,

1101

1101 — частные произведения,

*0000

1101

10101001 —произведение.

В обоих случаях операция умножения состоит из ряда последователь­ ных операций сложения частных произведений. Операциями сложения управляют разряды множителя: если в каком-то разряде множителя нахо­ дится единица, то к сумме частных произведений добавляется множимое с соответствующим сдвигом; если в разряде множителя — нуль, го мггожимое не прибавляется.

Таким образом, кроме операции сложения чисел для получения произ­ ведения необходима операция сдвига чисел. При этом гюявляется возмож­ ность сдвигать множимое или сумму частных произведений, что дает' осно­ вание для разных методов реализации операции умножения.

112

5 I Методы ул1но.ж-е>1ия двоичных чисел

М е т о д !. Пусть Л — множимое (Л >0), В— множитель ( В > 0), С — произведение. Тогда в случае представления чисел в форме с фиксиро­

заюгючено в скобки, т. е. в данном случае сдвигается вправо множимое, и умножение начинается со старших разрядов.

Структурная схема рассмотренного множительного устройства пред­ ставлена на рис. 5.1, а.

113

.5 Умно.нсеыие чисел на двоичных сумматорах

Здесь умножение начинается с младших разрядов, и сдвигается вправо сумма частных произведений. Структурная схема множительного устрой­ ства, реализующего этот метод, представлена на рис. 5.1, б.

+ ... + (2""' •0,fl|fl3 --- «„)b,),

что означас!: умножение начинаезся с младших разрядов, и множимое

то умножение начинается со старшего разряда и в каждом такте сдви!ае1ся BJfCBo сумма частных произведе1гий. Схема множительного ус1ронс!ва представлена на рис. 5.1. г.

Таким образом, для реализации операции умножения необходимо иметь сумматор, регистры для хранения множимого и множителя и схему анализа разрядов множителя. Сумматор и регистры должны иметь цепи сдви! а содержимого в iy или иную сторону в соответствии с принятым ме­ тодом умножения.

Анализ формул (5.1)-{5.4) показывает, что с формальной точки зрения процесс умножения двух чисел может быть представлен:

при 1юследовательном выполнении — в виде многократно повторяю­

где Л',, 5',_| — суммы частных произведений на (/ - 1 )-м и /-м шагах соот­ ветственно;

1!4

5 2 Умножение чисел, представленных в форме с фиксированной запятой

Мри параллельном выполнении — суммой членов диагональной матри­ цы, для которой заданы по строкам Л • 2', а по столбцам — h, (i ~— текущий

номер разряда).

В дальнейшем основное внимание будет уделено последовательному принципу выполнения операции умножения.

При точном умножении двух чисел количество цифр в произведении превыгиает количество цифр сомножигелей не бс^ее чем в два раза. При умноже­ нии нескольких чисел количество 1шфр произведения может оказаться еще больше. Конечное число разрядов в устройствах сшфрового автомата вынуждает ограничива1ЪСя максимально удвоенным количеством разрядов сумматоров.

При ограничении количества разрядов сумматора в произведение вно­ сится погрешность. В случае большого объема вычислений погрешности одного знака накладываются друг на друга, в результате чего общая поrpeiiiHocTb сильно возрастает. Поэтому существенное значение имеет ок­ ругление результа1Х)в умножения, что дает возможность сделать погреш­ ность произведения знакопеременной, а математическое ожидание погрешности округления при условии, что отброшенные младшие разряды могут с одинаковой вероятностью иметь любое из возможных значений, — равным нулю. При этом предельное по абсолютной величине значение по­ грешности будет наименьшим из возможных при заданном количестве зна­ чащих ци(|)р, т. е. равным 1Юловипе значения младшего разряда.

При вьнюлмении операции умножения чисел возможен выход за преде­ лы разрядной сетки только со стороны младших разрядов в силу ограниче­ ния, которое было наложено на числа, представленные в форме с фиксиро­ ванной запяюй. Точное произведение получается во всех четырех методах умножения, однако при этом требуется разное количество оборудования.

5.2.УlVliloжelll[e чисел, представленных в форме

сфпкснривапнон запятой, иа двоичном сумматоре прямого кода

Пус!ь заданы машинные изображения двух чисел:

Тогда их произведег1ие

I де — .Vg( -- Sg^^ Ф Sg^ ; @ — знак сложения по модулю 2.

При выполнении этой операции должны быть заданы структурная схе­ ма ycipoHCTBa, на котором проводится операция, и метод умножения.

1!5

5 Умнож'еиие чисел на двоичных сумматорах

регистры — 5 разрядов без знака. Введем обозначения соответственно изображения цифровой части множимого и цифровой части множителя.

Последовательность действий в процессе выполнения операции умножения прслстанлена в виде таблицы 5.1 -

Ответ- [С\^ = 1.1010001010.

Г а б л и ri а 5 !

* Ксли в процессе вьтолиеиия умножения возникает единица переноса из ciapHteio pajряда, то ее надо сохранять.

116

5 3 Особенности умножения чисел с плавающей запятой

Чтобы процесс умножения проходил правильно, необходимо преду­ смотреть блокировку выработки сип!ала переполнения, так как возможно временное переполнение на каком-то шаге умножения (см. пример 5.1). Пример показывает, что в данном случае не обязательно иметь сумматор длиной 2п разрядов. Хранение «хвостов» произведения можно осуществ­ лять в освобождающихся разрядах регистра множителя. Для этого доста­ точно обеспечить цепь передачи информации из младшего разряда суммагора в старший разряд регистра множителя.

Во всех приведенных ниже примерах будет применяться рассмотрен­ ный способ,

5.3.Особепностн умножения чисел, представленных

вформе с плавающей запятой

/^ля чисел, предсгавленпых в форме с плавающей запятой, обязательlibiM являе|ся представление в виде мантиссы и порядка (характеристики). При операции умножения действия, выполняемые над мантиссами и поряд­ ками, различны: мантиссы перемножаются, порядки складываются. Оче­ видно, чго результат умножения может получиться ненормализованным, IOUUI П()1рсбуе1ся пормш1изапия с соответствующей коррекцией порядка pei>jn>iaia. Следова1елы1о, структурная схема М[Южительного устройства должна пзме1пт1ься (рис. 5.3).

коррекция порядкоб

I'iic. 5.3, Сфукгуриая схема множительного устройства с fijraBaiotiiei) запятой

PaccMoipHM пример выполнения операций умножения чисел, заданных в прямом коде.

Пример 5.2. Меремиожип. числа ^ = -0.11001 2 ' и 5 = 0,10011 г " .

В качссте миожигельною усгройс!па используется схема, показанная на рис. 5.3, где Рг lnl'i/f c(H)inetciBetiifo регистры для порядков р^ и рд-

117

5Умно.усение чисел па двоичных сумматорах

Ре ш е н и е . Мантиссы гтеремножаются по правилам, рассмотренным для чисел, ттрелсгавленпых в форме с фиксированной запятой. Для перемножения мантисс истголь1)ется с>ммагор прямого кода, а для сложения порядков — сумматор обраию!о кода,

CiTaMajTa }а11исыцакпся мапгитгньте изображения чисел;

I'«Jnp = !.!ИЮ1; [р^\^ =i.IOU, K W =0.10011; [/,^Ц =0.001,

Последовательность дейс1вий в процессе вьпшлиенин оттерапии умможеиия мантисс

!ак как матнсса результата не удовлетворяет условию пормализаи1П1 (нархттетта левая ipaHTina. 6 - 1 . у - О), то проводится сдвиг маигиссы влево ма одтмг разряд (/»; |„|, = Ml 101 101 И), и коррекция ггорядка [/>; Ц =1л U +1.110^1,101 + 1.110-: 1.1 10

Исли сумматор мантисс содержит TOJrbKo п разрядов, то после oKpvi.-тения т1ол\ чается исxoimr.Ti! результат

(}imem: ("'--ОЛ! Ю 2 ^

5 4 Умиол^сение чисел на двоичном сумматоре дополнительного кода

При выполнении операции умножения может иметь место ряд особых случаев. Например:

если один из сомножителей равен нулю, то произведение также равно нулю. Следовательно, нес^ходимо предусмотреть блокировку выполнения алгори1ма умножения и формировать результат, равный нулю;

если порядок результата равен наибольшей отрицательной величине, то необходимо формировать машинный нуль.

Эти особые случаи можно предусмотреть в алгоритме операции введе­ нием анализатора сомножителей на нуль в начале операции (первый слу­ чай) или коррекцией произведения на основании признаков результата (второй случай).

5.4.Умножение чисел, представленных в форме с фиксированной чаняюй, на двоичном сумматоре дополнительною кода

Вслучаях, когда числа в машине хранятся в дополнител ьнь!х кодах, целесообразно все операции над числами проводить на сумматоре дополfiHicjibHoio кода. Однако при этом возникает ряд особенностей, которые необходимо учитывать.

Произведение дополнительных кодов сомножителей равно дополни­ тельному коду результата только в случае положительного множ:ителя.

11ус!ь множимое Л—любое число, т. е. Л =[Л]д, а множитель В>0. Го г да

АП^-[''Ц;,0,Ьф2-.-Ь.,=[А]^Ь^-2-' +[А]^Ь2-2-^ +... + [А]^Ь„-2-" . (5.6)

Иа основании теоремы о сложении дополнительных кодов можно ут­ верждать, чго в правой части уравнения (5.6) стоит дополнительный код pe3yjn.faia.

Гаким образом, умножение иа сумматоре дополнительного кода за­ ключается в анализе разрядов множителя и при 6, = 1 в прибавлении догю;тительпого кода множимого к содержимому сумматора. При этом должны осуществляться модифицированные сдвиги.

Пример 5.3. Умиожнгь на сумматоре донолншельнотч) кода (используется метод 2) чис­ ла .1 =^-0,iOiOI II й = 0,10011.

Р е т с г г и е . Cira^ajra записываются машинные изображения чисел: 1^]" = П . 0 1 0 П ;

| й | " =00.10011.

Последовагелыгость действий, проводимых над числами, представлена в таблице 5.3. Ответ С= /15^-0,0110001111.

\\9

Формула (5.7) показывает, что при отрицательном множителе произве­ дение дополнительных кодов операндов не равно дополнительному коду результата. Если ввести замену -А нз А, то можно вывести следующее правило:

Если миоокителъ отрицательный, то произведемте чисел на суммато­ ре доподиительного кода получается прибавлением поправки [А] к произве­ дению дополнительных кодов сомножителей.

Пример 5.4. Умножить на сумматоре дополнительного кода по меюду 2 с использова­ нием С1 руктурпой схемы примера 5,1 числа /1 = -0,10111 и В = -0,11001,

Р е ш е н и е . Сначала запишем машинные изображения чисел: [/11" = 11.0)001 . 1Я|" =11,00111: \А]' =00.10111.

120