8.Задачи на составление дифференциальных уравнений.

1.Из реологического уравнения упруговязкой системы получите дифференциальное уравнение ползучести. Найдите общее решение полученного уравнения для относительной деформации. Решите задачу Коши, приняв за начальные условия отсутствие деформации в начальный момент времени. Схематически изобразите интегральную кривую, решенного Вами дифференциального уравнения.

2. Из реологического уравнения упруговязкой системы получите дифференциальное уравнение релаксации механического напряжения. Найдите общее решение полученного уравнения для напряжения. Решите задачу Коши, приняв за начальные условия напряжение σ₀ в момент времени t₀ = 0. Схематически изобразите интегральную кривую, решенного Вами дифференциального уравнения.

3. Из реологического уравнения вязкоупругой системы получите дифференциальное уравнение ползучести. Найдите общее решение полученного уравнения для относительной деформации. Решите задачу Коши, приняв за начальные условия отсутствие деформации в начальный момент времени. Схематически изобразите интегральную кривую, решенного Вами дифференциального уравнения.

4. Из реологического уравнения вязкоупругой системы получите дифференциальное уравнение упругого последействия. Найдите общее решение полученного уравнения для относительной деформации. Решите задачу Коши, приняв за начальные условия наличие относительной деформации ε₀ в начальный момент времени t₀ = 0. Схематически изобразите интегральную кривую, решенного Вами дифференциального уравнения.

5. Судебному медику необходимо установить момент смерти. При первом осмотре в 9 часов 30 минут местного времени была зафиксирована температура тела потерпевшего Т₁ = 35,5⁰ С, спустя один час температура тела оказалась Т₂ = 35,0⁰ С. Температура воздуха в помещении была постоянной и составляла Т₀ = 22⁰ С. Считать температуру тела в момент наступления смерти Т_N = 36,7⁰ С, а скорость охлаждения тела прямо пропорциональной разности температур тела в данный момент и окружающей среды.

6. Считая, что каждый элементарный слой вещества поглощает одну и ту же часть интенсивности попавшего на него электромагнитного излучения, составьте и решите дифференциальное уравнение для поглощения электромагнитного излучения. Идентифицируйте полученное частное решение дифференциального уравнения как закон поглощения Бугера.

7.Считая, что убыль изделий медицинской техники в процессе эксплуатации прямо пропорциональна исходному количеству изделий и промежутку времени эксплуатации, составьте и решите дифференциальное уравнение для вероятности безотказной работы изделия как функции времени. Идентифицируйте постоянный коэффициент в частном решении уравнения как интенсивность отказов медицинской техники.

8. Составьте дифференциальное уравнение для получения основного закона радиоактивного распада. Для чего считайте, что убыль распадающихся ядер прямо пропорциональна числу нераспавшихся к данному моменту ядер, а коэффициент пропорциональности обозначьте λ и назовите постоянной распада. Решите уравнение, получите частное решение в виде основного закона радиоактивного распада, учитывая , что в начальный момент времени t = 0 число нераспавшихся ядер было N₀. Постройте интегральную кривую.

9. По цилиндрической трубке малого радиуса (т.н. капилляру) стационарно в ламинарном режиме по действием разности давлений ∆P на концах трубки течёт ньютоновская жидкость с вязкостью η. Радиус трубки R, длина трубки l. Используя реологическое уравнение Ньютона , где τ - напряжение сдвига,- модуль градиента скорости, r- расстояние от оси трубки, составьте дифференциальное уравнение для линейной скорости течения жидкости по трубке v как функции расстояния от оси трубки v =v(r). Получите частное решение уравнения из условия, что на стенке трубки т.е. при r = R линейная скорость . Постройте интегральную кривую.

10. Считая известной зависимость линейной скорости течения V вязкой ньютоновской жидкости по цилиндрической трубке радиуса R:,где ΔP - разность давлений на концах трубки, η - вязкость жидкости, l - длина трубки, определите объёмную скорость течения (расход) жидкости Q. Идентифицируйте полученное решение уравнения как формулу Пуазейля.

11. Дифференциальное уравнение, составленное на основании второго закона Ньютона для движения материальной точки вдоль оси х имеет вид: гдеF- не зависит от времени, а m - масса. Найдите общее решение уравнения, изобразите решение графически .

12. Дифференциальное уравнение, составленное на основании второго закона Ньютона для движения материальной точки вдоль оси х имеет вид: гдеF- не зависит от времени, а m - масса. Найдите частное решение уравнения, если в начальный момент времени координата была равна нулю, начальная скорость равна нулю. Изобразите графически интегральную кривую.

13. Дифференциальное уравнение, составленное на основании второго закона Ньютона для движения материальной точки вдоль оси х имеет вид: гдеF- не зависит от времени, а m - масса. Найдите частное решение уравнения, если в начальный момент времени координата была равна нулю, начальная скорость равна V₀. Изобразите графически интегральную кривую.

14.Дифференциальное уравнение, составленное на основании второго закона Ньютона для движения материальной точки вдоль оси х имеет вид: гдеF- не зависит от времени, а m - масса. Найдите частное решение уравнения, если в начальный момент времени координата была равна Х₀, начальная скорость равна V₀. Изобразите графически интегральную кривую.

15. Скорость размножения бактерий пропорциональна количеству бактерий в рассматриваемый момент. В начальный момент имелось 100 бактерий и их число удвоилось в течении 3 часов. Найти зависимость бактерий от времени и во сколько раз увеличится количество бактерий в течении 9 часов.

16. Температура вынутого из печи тела в течении 20 минут падает от 200⁰С до 150⁰С. Температура воздуха равна 25⁰С. Через сколько времени от момента начала охлаждения температура тела понизится до 30⁰С, если скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды.

17. Закон распада лекарственного вещества в организме состоит в том, что скорость распада пропорциональна количеству лекарства. Известно, что половина первоначального количества распадается за время t₀. Какой процент лекарства окажется распавшимся через t часов?

18.Получите выражение для тепловой мощности N_т , выделяемой при ламинарном течении ньютоновской жидкости вязкостью η по цилиндрической трубке длины l под действием разности давлений ΔP. Считайте известными так же радиус трубки R, удельную тепловую мощность , где- напряжение сдвига как функцию расстоянияr от оси трубки и - скорость сдвига как функцию расстоянияr от оси трубки.