- •Материалы третьего этапа
- •1. Производная функции
- •2. Производная сложной функции.
- •3. Дифференциал функции.
- •4. Применение дифференциала к вычислению погрешностей при измерении физических величин.
- •5. Частные производные. Полный дифференциал функции.
- •6. Интегральное исчисление.
- •7. Дифференциальные уравнения.
- •8.Задачи на составление дифференциальных уравнений.
- •9. Элементы теории вероятностей.
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА III ЭТАП 2006-07
Материалы третьего этапа
1. Производная функции
1. Найдите производную от функции:
2. Найдите производную от функции:
3. Найдите производную от функции:
4. Найдите производную от функции:
5. Найдите производную от функции:
6. Найдите производную от функции:
7. Найдите производную от функции:
8. Найдите производную от функции:
9. Найдите производную от функции:
10. Найдите производную от функции:
11. Найдите производную от функции:
12. Найдите производную от функции:
13. Найдите производную от функции:
14. Найдите производную от функции:
15. Найдите производную от функции:
16. Найдите производную от функции:
17. Найдите производную от функции:
18. Найдите производную от функции:
19. Найдите производную от функции:
20. Найдите производную от функции:
21. Найдите производную от функции:
22. Найдите производную от функции:
23. Найдите производную от функции:
24. Найдите производную от функции:
25. Найдите производную от функции:
2. Производная сложной функции.
1. Найдите производную от сложной функции: .
2. Найдите производную от сложной функции: .
3. Найдите производную от сложной функции: .
4. Найдите производную от сложной функции: .
5. Найдите производную от сложной функции: .
6. Найдите производную от сложной функции: .
7. Найдите производную от сложной функции: .
8. Найдите производную от сложной функции: .
9. Найдите производную от сложной функции: .
10. Найдите производную от сложной функции: .
11. Найдите производную от сложной функции: .
12. Найдите производную от сложной функции: .
13. Найдите производную от сложной функции: .
14. Найдите производную от сложной функции: .
15. Найдите производную от сложной функции: .
16. Найдите производную от сложной функции: .
17. Найдите производную от сложной функции: .
18. Найдите производную от сложной функции: .
19. Найдите производную от сложной функции: .
20. Найдите производную от сложной функции: .
21. Найдите производную от сложной функции: .
22. Найдите производную от сложной функции: .
23. Найдите производную от сложной функции: .
24. Найдите производную от сложной функции: .
25. Найдите производную от сложной функции: .
3. Дифференциал функции.
1.Найти дифференциал функции: .
2. Найти дифференциал функции: .
3. Найти дифференциал функции: .
4. Найти дифференциал функции: .
5. Найти дифференциал функции: .
6. Найти дифференциал функции: .
7. Найти дифференциал функции: .
8. Найти дифференциал функции: .
9. Найти дифференциал функции: .
10. Найти дифференциал функции: .
11. Найти дифференциал функции: .
12. Найти дифференциал функции: .
13. Найти дифференциал функции: .
14. Найти дифференциал функции: .
15. Найти дифференциал функции: .
4. Применение дифференциала к вычислению погрешностей при измерении физических величин.
1. При прямых измерениях найдено, что диаметр круга равен 6,67см, причём максимальная погрешность измерения составляет 0,03см. Найдите приближённую относительную погрешность диаметра в процентах.
2. Докажите, что относительная погрешность вычисленного объёма шара приблизительно равна утроенной относительной погрешности в измерении его диаметра.
3. Определите относительную погрешность, с которой допустимо измерить радиус шара, чтобы объём его можно было определить с точностью до 2%.
4. Период малых колебаний «нитяного» маятника (в секундах) определяется по формуле ,гдеl -длина маятника в сантиметрах, а g = 981 см/с2 - ускорение силы тяжести. Докажите, что приближённая относительная погрешность периода колебаний маятника равна половине относительной погрешности его измеренной длины.
5. Пользуясь формулой , установите, насколько следует изменить длину маятникаl = 25 см, чтобы его период увеличился на 0,05 секунд.
6. Из формулы следует, что определение ускорения силы тяжести с помощью маятника может быть вычислено по формулеОпределите относительную погрешность в определенииg, если известна относительная погрешность в измерении l, а погрешностью в измерении T можно пренебречь.
7.Из формулы следует, что определение ускорения силы тяжести с помощью маятника может быть сделано по формулеОпределите относительную погрешность в определенииg, если известна относительная погрешность в измерении T, а относительной погрешностью в l можно пренебречь.
8. Найдите абсолютную и относительную погрешности в определении объема шара, если при измерении его радиуса были получены значения R=(6,00,1)см.
9. Выведите формулу для вычисления относительной погрешности в измерении модуля упругости кости , гдеL, a,b,- измеряемые величины.
10. Выведите формулу для вычисления относительной ошибки в измерении коэффициента вязкости по методу Стокса , где,R – измеряемые величины.