ТВиМС.Малярец.Егоршин 22.12.12

Процентили делят интервал варьирования на сто частей с вероятностью 1 % попадания случайной величины в каждую часть.

Обозначения квантилей х ,: P(x > х ) = (где – вероятность того, что случайная величина примет значение, большее квантиля х ; площадь фигуры плотности вероятности справа от квантиля). Выражение для вероятности противоположного события P(x х ) = F(х ) = 1 – приводит к вычислительной формуле F(х ) = 1 – .

29. Что такое нормальный закон распределения Гаусса, каковы его характерные особенности?

Плотность вероятности и функция распределения нормального закона выражаются через дифференциальную и интегральную функции Лапласа:

симметрия и правило «2-х сигм»: с вероятностью 95 % отклонения от центра не превышают 2 х (только в 5-ти случаях из 100 отклонения |x – a| могут превысить 2 х).

30. Сформулируйте три формы интегральной теоремы нормального закона.

1. Основная форма – вероятность попадания нормально распределенной величины х в заданный интервал с границами [х1 , х2] :

2. Вторая форма предназначена для вычисления вероятности попадания случайной величины в интервал с симметричными границами:

271

Р(|x – a| t x) = 2Ф(t).

3. Утверждение, которое называем третьей формой интегральной теоремы нормального закона, фактически является записью второй формы интегральной теоремы для случайной величины Xcp:

Согласно центральной предельной теореме, Xcp распределено асимптотически нормально (независимо от распределения отдельных слагаемых) с характеристиками:

Xcp ~ N a; nx .

31. Какие задачи решаются с помощью 3-й формы интегральной теоремы нормального закона?

опишите область применения, приведите выражения для функций распределения и его характеристик.

По закону равномерной плотности распределены ошибки округления чисел, время ожидания транспорта, который движется через равные интервалы времени, место остановки тела под воздействием сухого трения.

272

Плотность вероятности (дифференциальная функция распределения) постоянна на интервале [a, b] и равна нулю за его пределами:

Интегральная функция распределения линейна на интервале [a, b]:

Характеристики распределения выражаются через его параметры a, b:

33. Сформулируйте показательный (экспоненциальный) закон распределения, опишите область применения, приведите выражения для функций распределения и его характеристик.

По этому закону распределено время работы оборудования до первого отказа. Дифференциальная функция (плотность вероятности) выражается формулами:

Интегральная функция распределения задается формулами:

Характеристики распределения выражаются через единственный параметр :

M t 1 ; t 1 .

273

Математическая статистика в вопросах и ответах

1. Перечислите основные характеристики генеральной совокупности и их выборочные оценки (центра группировки, меры изменчивости, функций распределения).

2. Запишите сравнительные формулы для вычисления характеристик и их выборочных оценок (математического ожидания, дисперсии, ковариации).

274

3. Поясните, что означает состоятельность, несмещенность и эффективность статистических оценок. Приведите формулу для вычисления несмещенной оценки дисперсии.

Оценка b параметра называется состоятельной, если при увеличении объема выборки (n ) оценка стремится к своему генеральному значению b . Оценка называется несмещенной, если М(b) = , то есть отдельные значения оценок по разным выборкам группируются вокруг генерального значения ; несмещенная оценка не имеет систематической ошибки. Оценка называется эффективной, если по сравнению с другими оценками она имеет наименьшую дисперсию (эффективная оценка имеет наименьшую погрешность). Оценка

числом наложенных на них линейных связей. Обычно ЧСС = n – 1.

4. Перечислите свойства математического ожидания и выборочного среднего, приведите примеры их использования (сформулируйте нулевое свойство математического ожидания, упростите формулы для вычисления дисперсии и ковариации, обоснуйте возможность применения условных переменных).

Свойства:

М(а) = а; М(kx) = k M(x); M(x+y) = M(x) + M(y); M(xy) = M(x) M(y).

Следствия: если а = М(х), то М(х – а) = 0 – нулевое свойство; x x 0.

275

5. Перечислите свойства дисперсии. Запишите формулы для вычисления дисперсии суммы и дисперсии разности случайных величин (зависимых и независимых). Сформулируйте правило «3-х сигм». Поясните, что такое коэффициент вариации и в каких ситуациях он используется.

Свойства: D(а) = 0; D(kx) = k2 D(x); D(x+y) = D(x) + D(y) + 2 Cov(x, y).

Правило «3-х сигм»: с уровнем доверия, не меньшим 90 % , можно утверждать, что случайные отклонения от центра не превышают 3-х стандартных (среднеквадратичных) отклонений: P(|x – a| 3 x) > 0,89, где a = М(x). Это правило имеет место для любых случайных величин, независимо от вида их распределения.

6. Сформулируйте утверждение центральной предельной теоремы. Перечислите основные особенности нормального распределения. Поясните, что такое ошибка среднего.

ЦПТ: чем больше членов в сумме, тем ближе распределение суммы случайных величин к нормальному закону (независимо от вида распределения отдельных слагаемых). Сумма 10-ти и более слагаемых распределена практически нормально. Если закон распределения отдельных слагаемых хотя бы симметричен, то нормально распределена сумма значительно меньшего числа слагаемых (порядка 5-ти).

276

Нормальный закон одномодальный, симметричный, характеризуется правилом «2-х сигм». Выборочное среднее распределено асимптотически нор-

кой (не путать со стандартным отклонением!).

7. Дайте понятие о распределении Стьюдента. Покажите, как определяются границы 95-процентного доверительного интервала на генеральное среднее (математическое ожидание); как определяется необходимый объем выборки для оценки центра группировки совокупности с заданной точностью и надежностью.

чение t 0,05 зависит только от ЧСС и определяется по таблицам Стьюдента; при

с гарантией 95 % этот доверительный интервал со случайными границами накрывает неизвестное значение а = М(х).

Если потребовать, чтобы относительная погрешность в определении а = М(х) была не больше q % , получаем соотношение для определения потребного объема выборки в виде:

Это неравенство решается последовательными приближениями.

277

8. Поясните, что такое гистограмма, как она строится, чем отличается от дифференциальной функции распределения, чему равна ее полная площадь и площадь на заданном интервале.

Гистограмма – ступенчатый график плотности вероятности попадания

где hi – ширина интервала. Гистограмма – эмпирическая оценка дифференциальной функции распределения. Площадь одного столбца гистограммы равна

Площадь всей гистограммы равна 1.

9. Поясните, что такое кумулята, как она строится, чем отличается от интегральной функции распределения. Дайте определение функции распределения (интегральной функции распределения) и сформулируйте суть общей интегральной теоремы.

Кумулята – график относительных частот, накопленных к правым краям

чайной величины график кумуляты ступенчатый, для непрерывной величины – кусочно-линейный. Кумулята – эмпирическая оценка функции распределения (интегральной функции распределения) F(x) = Р(Х х). Интегральная теорема:

Р(х1 < х х2) = F(x2) – F(x1) .

10. Дайте понятия о квантилях распределения, покажите, как определяются медиана и квартили. Опишите блочную диаграмму Тьюкки.

Квантили – границы равнонасыщенных интервалов. Квартили – границы 4-х равнонасыщенных интервалов по 25 % наблюдений в каждом. Средняя квартиль называется также медианой. По определению P(X > x ) = или P(X x ) = 1 – , откуда следует способ вычисления квантилей с помощью ку-

муляты: F(x ) = 1 – , в частности F(x0,75) = 0,25, F(Ме) = 0,50, F(x0,25) = 0,75.

По предложению Дж. Тьюкки, особенности распределения достаточно информативно описываются диаграммой «ящик и усы». Границами «ящика» являют-

278

ся нижняя x0,75 и верхняя x0,25 квартили, средняя линия ящика – медиана; «усы» простираются до xmin и xmax , но не далее полутора межквартильного размаха от границ «ящика». Точки за пределами «усов» считаются выбросами.

11. Покажите, как по данным выборки найти параметры теоретического закона распределения и как по выбранному закону рассчитать ожидаемые частоты попадания случайной величины в заданные интервалы (с помощью интегральной и дифференциальной функций распределения).

Оценки параметров выбранного закона распределения определяются методом моментов – теоретические моменты распределения приравниваются к их выборочным оценкам; число таких соотношений (связей) равно числу параметров теоретического закона. Нормальный и равномерный законы распределения

ный закон распределения зависит только от одного параметра, который определяется из уравнения M x x . Зная параметры теоретического закона, рассчи-

~

тываются значения дифференциальной функции распределения fi (для центров

~

интервалов) и интегральной функции Fj (для правых краев интервалов). Теоре-

тические частоты попадания случайной величины в заданные интервалы в соответствии с выбранным законом распределения определяются с помощью ин-

по критерию Пирсона.

Если хi распределены нормально с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией xi ~ N(0; 1), то сумма квадратов таких величин распределена по закону Пирсона, который зависит от единственного параметра – числа степеней свободы (ЧСС). Область случайной изменчивости этой статистики

279

В критерии согласия Пирсона сравниваются частоты попадания случайной величины в заданные интервалы: эмпирические – mi и соответствующие предполагаемому закону распределения – mˆ i .

вий распределена по закону Пирсона с ЧСС = k – 1 – p, где k – число интервалов, p – число параметров теоретического закона. Если вычисленное значение

различий между двумя рядами частот не может быть отвергнута; считаем, что

вергается; проверяемый закон отклоняется, так как он неудовлетворительно описывает распределение данных. Если соответствие слишком хорошее

являются областями неопределенности критерия.

13. Дайте понятие о числе степеней свободы и о числе связей. Покажите, какие связи есть при сравнении эмпирических и ожидаемых частот (в критерии Пирсона).

Число степеней свободы (ЧСС) равно разности между числом случайных величин и числом линейных связей, наложенных на эти величины. В критерии

~

согласия Пирсона рассматриваются разности mi mi , число которых равно k – числу (укрупненных) интервалов. Суммы наблюдаемых и теоретических частот одинаковы и равны общему числу наблюдений n , откуда имеем первую

случайные коэффициенты.

280