ТВиМС.Малярец.Егоршин 22.12.12

На графиках (рис. Л82а, б) в функциональных масштабах (1 / х, у) видно, что эмпирические точки тесно группируются вокруг прямой (линии регрессии), а теоретическая линия регрессии пересекает доверительные интервалы для всех узлов эмпирической линии регрессии. Удалась первая же попытка найти подходящую нелинейную форму связи.

а) б)

Рис. Л8.2. Графики нелинейной зависимости в функциональных

масштабах

Для построения эмпирической линии регрессии U и доверительных интервалов на ее узлы предлагается два способа. Первый способ: после замены в копии рабочего листа значений х на их обратные значения z = 1 / x следует вручную внести все соответствующие коррективы. Например, здесь был выбран новый шаг группировки hz = 0,1 и начало первого интервала z0 = 0,8. В результате получилось новое число интервалов р = 13, из которых три интервала оказались пустыми (для них ki = 0). Графики U HCP по z и по x пришлось построить заново. Именно такая работа была проделана, чтобы получить рис. Л8.2б. Второй способ: надо сделать еще одну копию рабочего листа и в этой новой копии только на корреляционном поле (см. рис. Л6.6) заменить на обратные значения центры интервалов по оси абсцисс. Тогда на графиках понадобится всего лишь изменить разметку по оси абсцисс. Таким способом график

251

Рис. Л8.4. Графики нелинейной зависимости в исходных масштабах

Доверительные интервалы на расчетные значения

Ширина 95-процентного доверительного интервала на расчетное значе-

HСP, Yp(z) + HCP (рис. Л8.6).

Рис. Л8.6. Расчет границ 95-процентной доверительной полосы на линию

регрессии

253

Границы доверительной полосы Yp(Z) – НСР, Yp(Z) + НСР наносим на график линейной зависимости пунктиром (рис. Л8.7а).

Наносим эти же границы (ординаты) для соответствующих значений x на график нелинейной зависимости (рис. Л8.7б).

а) б)

Рис. Л8.7. Графики линий регрессии с 95-процентной доверительной

полосой

Наличие на графике регрессии 95-процентной доверительной полосы определяет пределы применимости модели.

Таблицы сопряженности и коэффициенты контингенции

Корреляционное поле очень похоже на таблицу сопряженности категорий двух качественных показателей (назовем их А и В, чтобы не было ассоциаций с количественными переменными Х и Y).

Мы уже один раз понизили шкалу измерения переменных до дискретной и получили таблицу частот mij совместного появления разных комбинаций дискретных значений (Хi , Yj).

Далее мы вообще абстрагировались от числовых значений переменной Х (то есть понизили шкалу этой переменной до шкалы имен) и получили более объективную меру тесноты связи – корреляционное отношение вместо коэффициента корреляции (rxy = –0,868; y / x 0,942 ).

Сделаем еще один шаг: абстрагируемся также от числовых значений переменной Y и будем считать, что задано р = 8 категорий качественного показа-

254

2 = 43 (3,613 – 1) = 112,36.

Эту статистику надо сравнивать с табличными значениями критерия Пирсона при ЧСС = (р – 1)(q – 1).

Для данного примера ЧСС = (8 – 1)(7 – 1) = 42.

отвергается и делается заключение о существовании значимой связи между показателями А, В.

255

Теснота этой связи оценивается с помощью коэффициентов контингенции Крамера (С) и Кендала (К, КК):

Заметим, что коэффициент контингенции Кендала КК = 0,919, не использующий никаких сведений о числовой природе переменных, оказался очень близким к наиболее объективной мере тесноты связи – корреляционному

Вопросы для самопроверки

1.Дайте определение функциональной, статистической и корреляционной зависимостей. Продемонстрируйте различия между сопряженными корреляционными моделями. Приведите пример статистической, но не корреляционной зависимости.

2.Сформулируйте идею принципа Лежандра (МНК), разъясните смысл системы нормальных уравнений, составьте систему нормальных уравнений для линейной и квадратичной моделей с одной объясняющей переменной.

3.Сформулируйте основные предпосылки дисперсионного анализа. Докажите, что средние по группам являются наилучшими МНК-оценками центров каждой группы. Разложите общую сумму квадратов на межгрупповую и внутригрупповую составляющие.

4.Опишите методику сравнения двух выборок по критерию Стьюдента. Сформулируйте основные предпосылки (гипотезы) этого метода. Покажите, что этот анализ является частным случаем дисперсионного анализа, когда количество сравниваемых групп равно двум.

5.Покажите, как строится эмпирическая линия регрессии, как оценивается теснота корреляционной связи. Поясните, что такое индекс детерминации и корреляционное отношение, чем они отличаются от коэффициента детерминации и коэффициента корреляции соответственно.

256

6.Изложите последовательность расчетов для оценки значимости корреляционной связи. Опишите таблицу дисперсионного анализа, разъясните смысл ее отдельных граф (столбцов) — сумм квадратов, чисел степеней свободы, средних квадратов. Поясните, какой смысл имеет дисперсионное отношение Фишера, что такое уровень значимости и как им пользоваться.

7.Изложите последовательность расчетов для оценки значимости регрессионной модели. Опишите таблицу дисперсионного анализа, разъясните смысл

ееотдельных граф. Выразите для этой проблемы дисперсионное отношение через коэффициент детерминации.

8.Опишите методику оценки значимости коэффициента регрессии и коэффициента парной корреляции по критерию Стьюдента. Докажите, что эта методика является частным случаем дисперсионного анализа для оценки значимости линейной одномерной модели.

9.Изложите последовательность расчетов для оценки адекватности модели. Опишите таблицу дисперсионного анализа, разъясните смысл ее отдельных граф. Покажите, в чем разница между оценкой дисперсии остатка модели и дисперсией случайной ошибки.

10.Выведите формулы для расчета параметров парной линейной регрессии. Дайте определение коэффициента парной корреляции, перечислите его свойства. Поясните, что такое коэффициент детерминации, чем он отличается от индекса детерминации.

11.Перечислите основные предпосылки регрессионного анализа. Сформулируйте идею принципа максимального правдоподобия и покажите, что по этому принципу наилучшими оценками параметров модели будут МНК-оценки.

12.Сформулируйте идею расчета дисперсий коэффициентов регрессии и дисперсий расчетных значений. Опишите графический способ построения 95-процентной доверительной полосы на линию регрессии.

13.Поясните способ выбора формы связи. Рассмотрите стандартные преобразования переменных (логарифмирование и переход к обратным величинам).

257

Теория вероятностей в вопросах и ответах

1. Что такое вероятность?

Вероятность – это число, которое показывает, как часто происходит событие (А) при испытаниях. Это число изменяется в пределах 0 рА 1 . Если рА = 0, событие А является невозможным, невероятным, оно никогда не происходит, сколько бы не повторять испытания. Если, наоборот, рА = 1, то событие А обязательно произойдет в каждом испытании, иными словами, такое событие не является случайным, его называют детерминированным, достоверным.

2. Какие известны способы определения вероятности?

Известны 4 способа определения вероятности – в смысле 4 способа вычисления вероятности – статистический, геометрический, классический, экспертный.

При статистическом (или стохастическом) способе производят n испытаний и фиксируют, сколько раз при этом появилось событие А; число появления

события называется частотой m. Относительная частота mn (частость) изменяется

от 0 до 1 и показывает, как часто появлялось событие при n испытаниях. Ожидается, что с увеличением числа испытаний это отношение прибли-

жается к некому пределу – вероятности события А:

При геометрическом способе область всех возможных исходов и область исходов, при которых появляется событие А, пытаются изобразить в виде геометрических фигур. Все точки этих фигур считаются равновероятными.

Тогда вероятность события А можно вычислить как отношение площадей указанных фигур:

Классический способ применим, если исходы испытания представлены набором элементарных исходов. Элементарные исходы равновероятные, несовместные и составляют полную группу.

258

Тогда вероятность события А равна отношению числа элементарных исходов, при которых появляется событие А (m), к общему числу элементарных исходов (n):

pA mnA .

Когда невозможен ни один из вышеупомянутых способов, применяют способ экспертных оценок. Группа экспертов обсуждает вероятности неких начальных простых событий, а вероятности более сложных последствий уже рассчитываются на основе известных теорем теории вероятностей.

3. Какие бывают события? Приведите их краткую классификацию.

Во-первых, события подразделяются на совместные и несовместные. Несовместные события не могут появиться одновременно в одном испытании. Во-вторых, совместные события подразделяются на зависимые и независимые. Вероятности независимых событий не зависят от того, появилось или не появилось перед этим другое событие. Наконец, независимые события подразделяются на однородные и неоднородные. Вероятности однородных событий не зависят также от номера испытания (они постоянны).

С вероятностной точки зрения, события бывают невозможными (рА = 0),

детерминированными (достоверными, рА = 1) и случайными (0 < рА < 1).

4. Что такое полная группа событий?

События составляют полную группу, если при испытании одно из них обязательно произойдет. Если события составляют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице. Противоположные события составляют полную группу несовместных событий, поэтому всегда pA pA 1.

5. Приведите краткую классификацию испытаний.

Существует две принципиально разные схемы испытаний – повторения испытаний заданное число раз (n) и повторения испытаний до появления первого успеха (до первого появления события А). Обе схемы испытаний предложены Бернулли. Для краткости в отечественной научной литературе часто используют словосочетания: «задача Бернулли», или «задача о повторении однородных независимых испытаний». Эти формулировки надо понимать так: производятся

259

испытания заданное число раз (n), в каждом из испытаний событие А может появиться с вероятностью (р), которая не зависит ни от номера испытания, ни от того, сколько раз появилось событие А до этого испытания; требуется найти вероятность появления m успехов Pn(m). Если же применяется схема испытаний до первого успеха, никакие сомнительные сокращенные словосочетания не используются, задача формулируется подробно и корректно.

6. Сформулируйте аксиому и теорему сложения вероятностей.

Аксиома сложения. Вероятность появления одного из несовместных событий равна сумме вероятностей указанных событий: рА+В = рА + рВ , если АВ = .

Теорема сложения. Вероятность появления одного из двух событий равна сумме вероятностей указанных событий минус вероятность их совместного появления:

рА+В = рА + рВ – рAВ .

Вероятность появления одного из трех событий равна сумме вероятностей указанных событий, минус вероятности совместного появления каждой пары событий плюс вероятность совместного появления всех трех событий:

рА+В+С = (рА + рВ + рС) – (рАВ + рАС + рВС) + рАВС .

Формулировка теоремы усложняется с увеличением числа событий.

7. Сформулируйте теорему умножения вероятностей.

Теорема умножения для независимых событий. Вероятность совмест-

ного появления нескольких независимых событий равна произведению их вероятностей:

р(АВ) = р(А) р(В).

Теорема умножения в общем виде. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:

p(AB) = p(A) p(B|A) или p(AB) = p(B) p(A|B).

8. Сформулируйте теорему о полной вероятности

В рассматриваемой задаче событие А появляется совместно с одним из событий Нi , которые составляют полную группу несовместных событий и называются гипотезами. Даны вероятности гипотез p(Нi) и условные вероятности появления события А в присутствии каждой гипотезы p(A|Нi).

260