ТерВер

120

P X 200 1 P X 200 1 M X , 200

По условию задачи среднее M X 100 . Следовательно, получим

попадания случайной величины X в интервал (1, 12) .

2. На факультете 730 студентов. Вероятность рождения каждого студента в данный день равна 3651 . Найти наиболее вероятное число

студентов, родившихся первого января, и вероятность того, что найдутся три студента с одним и тем же днем рождения.

3.В страховой компании застраховано 10000 лиц одного возраста и одной социальной группы. Вероятность смерти в течение года для каждого лица равна 0,006. Каждый застрахованный вносит 1 января 12 рублей страховых, и, в случае смерти, его родственники получают от компании 1000 рублей. Найти вероятность того, что а) общество потерпит убыток; б) общество получит прибыль, не меньшую 40000, 60000, 80000 рублей.

4.В некоторой местности имеются 3 % больных малярией. Производится обследование 500 человек. С какой вероятностью среди обследованных окажется 3±0,5 % больных малярией?

5.Среднее изменение курса акций компании в течение одних биржевых торгов составляет 0,3 %. Оценить вероятность того, что на ближайших торгах курс изменится более, чем на 3 %.

6.В продукции цеха детали отличного качества составляют 80 %. В каких пределах будет находиться с вероятностью 0,99 число деталей отличного качества, если взять 10000 деталей?

7.Вероятность того, что акции, переданные на депозит, будут востребованы, равна 0,8. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что среди 1000 клиентов от 70 до 90 востребуют свои акции.

8.В поселке 2500 жителей. Каждый из них примерно шесть раз в месяц ездит на поезде в город, выбирая дни поездок по случайным мотивам

121

независимо от остальных. Какой наименьшей вместимостью должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще одного раза в 100 дней (поезд ходит раз в сутки)?

9.Опыт работы страховой компании показывает, что страховой случай приходится примерно на каждый пятый договор. Оценить с помощью неравенства Чебышева необходимое количество договоров, которые следует заключать, чтобы с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что доля страховых случаев отклонится не более, чем на 0,01 (по абсолютной величине).

10.Бензоколонка заправляет легковые и грузовые автомобили. Вероятность того, что проезжающий легковой автомобиль подъедет на заправку, равна 0,3. С помощью неравенства Чебышева найти границы, в которых с вероятностью, не меньшей 0,79, находится доля заправившихся в течение 2 ч легковых автомобилей, если за это время заправились 100 автомобилей?

11.Ежедневно новая сделка заключается с вероятностью 0,2 (но не более одной в день). За сколько дней с вероятностью 0,9 можно ожидать заключения не менее 50 сделок?

12.Известно, что 13 всех деталей, сходящих с конвейера, подвергается

выборочному контролю на основании некоторого случайного признака. Пусть через контроль прошло 100 деталей. В каких пределах с вероятностью 0,99 лежит общее число деталей, сошедших с конвейера?

13.При штамповке деталей вероятность брака составляет 0,05. Сколько нужно проверить деталей, чтобы с вероятностью не менее 0,95 можно было ожидать, что относительная частота бракованных изделий будет отличаться от вероятности брака менее, чем на 0,1?

14.С какой вероятностью можно утверждать, что отклонение средней арифметической 1500 независимых случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превзойдет 0,6, если известно, что дисперсия каждой из величин не превышает 3?

15.С целью установления доли брака продукции было проверено по схеме возвратной выборки 1000 единиц. Какова вероятность того, что установленная этой выборкой доля брака по абсолютной величине будет отличаться от доли брака по всей партии не более, чем на 0,01, если известно, что в среднем на каждые 10000 изделий приходится 500 бракованных?

16.Из 100 потенциальных покупателей каждый совершает покупку с вероятностью 0,8. Найти наиболее вероятное число покупателей и его вероятность.

17.Страховая компания заключила 40000 договоров. Вероятность страхового случая по каждому из них в течение года составляет 2 %. Найти вероятность того, что таких случаев будет не более 870.

122

Ответы. 1) 0,5925; 2) 2; 0,22; 3) а) 0; б) 0,995; 0,5; 0,0046; 4) 0,4846; 5) p 0,1; 6) 8000 103; 7) p 0,264 ; 8) 547; 9) n 16000 ; 10) 0,2 0,4; 11)

n 225, применить неравенство Маркова; 12) 300 77; 300 77 , применить центральную предельную теорему; 13) 9500; 14) p 0,998; 15) p 0,527 ; 16) 80, p100 80 0,3989, использовать локальную теорему Муавра – Лапласа;

17) 0,9938.

Контрольные вопросы

1.В чем заключается закон больших чисел?

2.Сформулируйте лемму Маркова.

3.Запишите неравенство Чебышева.

4.Сформулируйте теорему Чебышева.

5.Сформулируйте теорему Бернулли.

6.Сформулируйте центральную предельную теорему Ляпунова.

7.Дайте формулировку интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

124

Продолжение таблицы для функции Лапласа

125

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вентцель Е.В. Теория вероятностей. Учебник для вузов – 7-е изд.,

стер. – М.: Высш. школа, 2001. – 575 с.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. теория вероятностей и ее инженерные приложения. Учебное пособие для студ. втузов. – 3-е издание, перераб. и доп.

– М.: Издательский центр «Академия», 2003. – 464 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие – 12-е издание, перераб. – М.: Высшее образование, 2008. – 479 с.

4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Учебное пособие – 11-е издание, перераб. – М.: Высшее образование, 2008. – 404 с.

5. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1969. – 400 с. 6. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика.

Учебное пособие – 2-е изд., исправленное и доп. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 496 с.

7. Фадеева Л.Н. Математика для экономистов: Теория вероятностей и математическая статистика. Курс лекций. – М.: Эксмо, 2006. – 400 с. – (Высшее экономическое образование).

8. Фадеева Л.Н., Жуков Ю.В., Лебедев А.В. Математика для экономистов: Теория вероятностей и математическая статистика. Задачи и упражнения. – М.: Эксмо, 2006. – 336 с.

126

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 1. Предмет теории вероятностей. Алгебра событий. Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. Основные формулы комбинаторики………………………………………………………………...…..4

Примеры решения задач к главе 1……………………………………16

Глава 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса (теорема гипотез). Схема повторения испытаний. Формула Бернулли. Приближение Пуассона для схемы Бернулли

…………24

Примеры решения задач к главе 2……………………………………32

Глава 3. Дискретная и непрерывная случайные величины. Функция распределения. Основные числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Моменты старших порядков………………………………………………………………..43

Примеры решения задач к главе 3……………………………………61

Глава 4. Двумерные случайные величины. Коэффициент корреляции …….72

Примеры решения задач к главе 4……………………………………78

Глава 5. Законы распределения случайных величин ………………………..86

Примеры решения задач к главе 5……………………………………99

Глава 6. Закон больших чисел. Центральные предельные теоремы ………110

Примеры решения задач к главе 6…………………………………..117

Приложение………………………………………………………………........123

127

Учебное издание

Григорян Тамара Анатольевна Липачева Екатерина Владимировна

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Часть 1

Теория вероятностей

Кафедра высшей математики КГЭУ

Редактор издательского отдела О.В. Ханжина Компьютерная верстка О.В.Ханжина

Подписано в печать 00.00.00.

Формат 60 84/16. Бумага «Business». Гарнитура «Times». Вид печати РОМ. Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. . Тираж 500 экз. Заказ № .

Издательство КГЭУ, 420066, Казань, Красносельская, 51 Типография КГЭУ, 420066, Казань, Красносельская, 51