ТерВер

90

Тогда D X 2 2 .

Таким образом, обнаружено интересное свойство распределения Пуассона: математическое ожидание равно дисперсии (и равно единственному параметру , определяющему распределение).

Основные виды непрерывных распределений

Равномерный закон распределения.

Закон распределения непрерывной случайной величины называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение, т.е.

c, при x [a, b], f (x)

0, при x [a, b].

Найдем значение с, которое принимает f(x) при x [a,b]. Из условия

График плотности f (x) для равномерного распределения непрерывной

случайной величины X изображен на рис. 5.1.

Функцию распределения непрерывной случайной величины X, распределенной по равномерному закону достаточно легко найти и она имеет следующий вид:

91

График F(x) изображен на рис. 5.2.

f(х)

1/(b – a)

Рис. 5.1

F(х)

1

92

Определим математическое ожидание и дисперсию равномерно распределенной случайной величины X. Согласно формуле (3.20),

Нормальный закон распределения.

Нормальный закон (закон Гаусса) играет исключительную роль в теории вероятностей. Главная особенность закона Гаусса состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются при определенных условиях, другие законы распределения. Нормальный закон наиболее часто встречается на практике.

Множество явлений в практической жизни можно описать с помощью модели нормального распределения, например, распределение высоты деревьев, веса людей, дневной температуры и т.д. Нормальное распределение используется и для решения проблем в экономической жизни. Это, например, распределение числа дневных продаж в магазине, числа посетителей магазина в неделю, числа работников в некоторой отрасли, объем выпуска продукции на предприятии и т.д.

Нормальное распределение иногда называют законом ошибок. Случайный эффект различных величин и обсуждаемых источников определяют как «ошибки». Например, отклонения в размерах деталей от номинального объясняется многими причинами, каждая из которых влияет на размер детали; так что отклонение, которое фактически регистрируется при измерениях, является суммой большого числа отклонений, ошибок.

12 ноября 1733 г. Абрахам де Муавр (1667–1754), родившийся во Франции, опубликовал маленький памфлет о нормальном распределении и распространил его среди близких друзей. Памфлет был вскоре забыт. И лишь столетие спустя маркиз де Лаплас (1749–1827) и К. Ф. Гаусс (1777–1855) одновременно объявили об открытии ими закона нормального распределения независимо от работ Муавра. И с этих пор нормальное распределение часто называют законом Лапласа – Гаусса.

93

Непрерывная случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами a и > 0, если ее плотность распределения имеет вид

Обозначается X Na, 2 .

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Выясним, какой вид имеет эта кривая, для чего исследуем функцию (5.10).

1) Область определения этой функции есть интервал , .

величины X Na, 2 имеет вид:

97

Следовательно, вероятность того, что значение случайной величины окажется вне этого интервала, равна 0,0027, то есть составляет 0,27 % и может считаться пренебрежимо малой. Таким образом, на практике можно считать, что все возможные значения нормально распределенной случайной величины лежат в интервале (а – 3σ, а + 3σ).

Полученный результат позволяет сформулировать следующее правило,

которое называется правилом «трех сигм»: если случайная величина распределена нормально, то модуль ее отклонения от х = а не превосходит

3σ.

Показательный закон распределения.

Непрерывная случайная величина X имеет показательный закон распределения, если ее плотность вероятности имеет вид

где 0 параметр распределения. В этом случае пишем X E .

В отличие от нормального распределения, показательный закон определяется только одним параметром . В этом его преимущество, так как обычно параметры распределения заранее не известны и их приходится оценивать приближенно.

График плотности f(x) приведен на рис. 5.4.

f(х)

Рис. 5.4

Найдем функцию распределения показательного закона:

99

работы элемента, тогда функция F(t) = p(T < t) определяет вероятность отказа за время t. Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время равна

(5.19)

Эта функция называется функцией надежности.

Часто длительность безотказной работы элемента имеет показательное распределение, то есть

F t 1 e t .

Следовательно, функция надежности в этом случае имеет вид:

R t 1 F t 1 1 e t e t .

Показательным законом надежности называют функцию надежности,

определяемую равенством

где λ – интенсивность отказов.

Пример. Пусть время безотказной работы элемента распределено по показательному закону с плотностью распределения f t 0,1e0,1t при

t 0 . Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно в течение 10 часов.

Решение. Так как 0,1, то по (5.20) получаем

R 10 e0,110 e1 0,368.

Примеры решения задач к главе 5

1. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий при 5 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Найти ее математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Это будет биномиальное распределение. Вычислим вероятности по формуле (5.2):

P X 0 1 0,2 5 0,00032; P X 1 5 0,8 0,2 4 0,0064;