Лабораторный Практикум по Дискрмат2
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Т.Р. АБДУЛЬМЯНОВ
АЛГОРИТМЫ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ С ПРИМЕНЕНИЕМ КОМПЬЮТЕРНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА»
Казань 2011
УДК 519.6
ББК 22.19
А 13
Рецензенты:
кандидат физико-математических наук, доцент Казанского федерального университета М.Г. Ишмухаметова; кандидат технических наук, доцент Казанского государственного энергетического университета С.Н. Паршин
Абдульмянов Т.Р.
А 13 Алгоритмы и методы решения задач дискретной математики с применением компьютерных вычислений: Лабор.
практикум / Т.Р. Абдульмянов. – Казань: Казан. гос. энерг. ун-т, 2011. – 148с.
В лабораторном практикуме рассматриваются методы решения задач дискретной математики и алгоритмы, ориентированные на применение компьютерных вычислений. Каждая лабораторная работа содержит разобранные варианты и образцы решения, варианты задач для самостоятельного решения. Пособие предназначено для студентов направления подготовки 231300.6 «Прикладная математика» и направления подготовки 230100.62 «Информатика и вычислительная техника», изучающих курс «Дискретная математика».
УДК 519.6 ББК 22.19
©Абдульмянов Т.Р., 2011
©Казанский государственный энергетический университет, 2011
2
Лабораторная работа №1
ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ. ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ НАД МНОЖЕСТВАМИ
Цель работы
При помощи основных операций над множествами построить требуемые множества. При помощи кругов Эйлера и при помощи аналитических рассуждений доказать равенство данных множеств.
Краткая теория
Множеством называется любая совокупность любых предметов, называемых элементами этого множества. Множества обозначаются заглавными буквами алфавита, элементы множества - строчными буквами. Если элемент a принадлежит множеству A, то такую принадлежность будем обозначать a 
A. Если множество A содержит конечное число
элементов a1, a2, … , an , то множество будем обозначать, заключая эти
элементы в фигурные скобки, то есть, A={a1, a2,…, an}. Такие множества называются конечными множествами. Множества, содержащие бесконечное число элементов называются бесконечными множествами. Число элементов множества называется мощностью множества. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом . Согласно определению понятия множество, существует такое множество, которое содержит все множества. Это множество называется универсальным и обозначается буквой U. Универсальное множество является особым по отношению ко всем другим множествам: совокупность двух любых различных множеств дает новое множество, тогда как совокупность универсального множества и любого другого множества образует снова универсальное множество.
Множество A называется подмножеством множества B, если каждый элемент множества A принадлежит также множеству B. Обозначается A B. Два множества A и B называются равными, если каждый элемент одного из них является также элементом другого множества и наоборот. Для доказательства равенства двух множеств, согласно определению равенства двух множеств, достаточно доказать, что каждое из этих множеств является подмножеством другого множества.
Пример. Множество {1, 3, 8} является подмножеством множества {–1, 0, 1, 3, 8, 15}. Множества {a, b, c} и {b, a, c} равны между собой.
3
Объединением двух множеств A и B называется новое множество, которое содержит как элементы множества A , так и элементы множества B. Символически это определение можно записать следующим образом:
A B {a a A или a B} .
Операции над множествами следует рассматривать, во-первых, как произвольно определяемые по нашему усмотрению. Во-вторых, операции могут выражать определенные, уже сложившиеся отношения между элементами некоторых двух множеств. Результаты операций изображают в виде тех или иных отношений между множествами при помощи кругов Эйлера-Венна. Для объединения двух множеств получим следующее изображение (заштрихованная область на рис 1.а):
а) |
б) |
Рис. 1. Объединение (а) и пересечение (б) множеств A и B
Пересечением двух множеств A и B называется множество, которое содержит только такие элементы, которые одновременно принадлежат и множеству A и множеству B. Символически эта операция определяется в следующем виде:
A B {a a A и a B} .
Пересечение A |
B изображено на рисунке 1.б. Разностью двух |
||||
множеств A и B называется множество A \ B, содержащее те элементы из |
|||||
множества |
A, которые |
не принадлежат множеству B, то |
есть |
||
|
|
|
|
|
|
A \ B {a |
a |
A и a |
B}. |
Изобразим разность A \ B при помощи |
кругов |
|
|
|
|
|
|
Эйлера – Венна (рис. 2.а):
а) |
б) |
Рис. 2. Разность множеств A\B (а) и дополнение множества A (б)
4
Примеры. 1). Пусть A={a, b, c}, B={b, c, d, e}. Тогда A B={a, b, c, d, e}, A B={b, c}, A\B={a}, B\A={d, e}.
2). Пусть множества A и B это отрезки числовой прямой A=[1; 15],
B=(–1; 9]. Тогда A B=(–1; 15], A B=[1; 9], A\B=(9; 15], B\A=(–1; 1).
Дополнением множества A до универсального множества называется
|
|
|
|
множества U, |
не |
множество A всех элементов универсального |
|
||||
|
|
|
|
||
принадлежащих самому множеству A, то есть |
A {a | a U и a |
A} . |
|||
Универсальное множество U изображается в виде прямоугольника, тогда дополнение A будет иметь вид заштрихованной области, изображенной на рисунке 2.б.
6
2 |
|
3 |
9 |
Рис. 3. Декартово произведение множеств A B
Декартовым произведением двух множеств A и B называется
множество A |
B всех упорядоченных пар элементов (a, b) таких, что a A и |
b B, то есть A |
B={(a, b)| a A и b B }. |
Примеры. 1) Пусть A={1, 2}, B={–1, 0, 1}. Тогда
AB = {(1, –1), (1, 0), (1, 1), (2, –1), (2, 0), (2, 1)},
BA = {(–1, 1), (0, 1), (1, 1), (–1, 2), (0, 2), (1, 2)}.
2)Пусть A=[3, 9], B=[2, 6]. Изобразим эти множества на оси x и на оси y соответственно. Тогда множество точек, принадлежащих произведению A B, будет представлять собой прямоугольник с вершинами (3,2), (9,2), (3,6), (9,6) (заштрихованная область на рисунке 3).
Порядок выполнения работы
1.Для заданных множеств A, B, C при помощи основных операций над множествами построить множества А (В\С) и А\(В С). Изобразить эти множества на плоскости.
2.При помощи кругов Эйлера и при помощи аналитических рассуждений доказать равенство данных множеств.
5
3. Доказать равенство декартовых произведений множеств, при помощи аналитических рассуждений.
Образец выполнения заданий
а) Для заданных множеств A, B, C:
А={(x, y)| x2+y2 1}, B={(x, y)| (x – 1)2+y2 1}, C={(x, y)| x2 + (y – 1)2 1},
построить множества А (В\С) и А\(В С). Изобразить эти множества на плоскости.
б) Доказать равенство следующих множеств:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) A B = (А B ) |
|
A ; 2) А |
В= А |
(В\А); 3) А (В\С)=(А В)\С. |
|||||||
в) Докажите равенство декартовых произведений множеств: |
|||||||||||
|
|
|
|
(А |
В) (С |
В)=(А |
С) ( В В). |
||||
Решение. а) Множества A, B, C являются кругами, в декартовой системе координат, с центрами в точках (0, 0), (1, 0), (0, 1) соответственно. Для того, чтобы построить множество А (В\С) необходимо сначала построить множество (В\С). Затем, полученное множество объединить с множеством А. В результате получим фигуру, изображенную на рисунке 4.а (темная часть рисунка). Построим множество А\(В С). Сначала построим объединение двух множеств В С (светлая часть рисунка 4.б). Затем найдем разность множества А и построенного множества. В результате получим искомое множество А\(В С) (темная часть рисунка
4.б).
С
С
А |
3 |
В |
A |
3 |
B |
а) |
б) |
|
х3 |
Рис. 4. Изображение множества А (В\С) (а) и множества А\(В С) (б); (темные части рисунков)
б) Докажем равенства множеств:
1) A B = (А B ) A ; 2) А В= А (В\А); 3) А (В\С)=(А В)\С.
6
Для доказательства этих равенств при помощи кругов Эйлера необходимо последовательно изобразить множества, обозначенные слева и справа от равенства. Затем сравнить полученные изображения. Совпадение рисунков будет означать равенство множеств. Изображения множеств выполняются аналогично пункту (а) данного задания и предлагается
выполнить самостоятельно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Докажем эти равенства при помощи аналитических рассуждений. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1) Согласно определению равенства двух множеств, возьмем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
произвольный элемент x из множества |
|
A |
B и докажем, |
что элемент x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
принадлежит также множеству (А |
|
B ) |
A . В самом деле, по определениям |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
основных операций над множествами из того, что x |
|
|
|
A |
|
B получим x |
|
A |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
и x |
|
|
B . Следовательно, x |
|
|
A |
и x |
|
|
|
А |
|
B . Тогда, |
по |
определению |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
пересечения, x (А |
B ) A . |
Обратно, пусть x (А |
|
B ) |
A . |
Тогда x |
|
A и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x |
А B . Так как x |
A, то x |
|
B . Следовательно, x |
|
|
A и x |
|
B . Тогда x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( A |
|
B ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2) Докажем равенство А |
В= А (В\А). Пусть элемент x |
|
А B. Тогда, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
согласно определению операции объединение, x |
А либо x B, |
либо x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
принадлежит одновременно двум множествам А и B. Если x |
А или |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
одновременно двум множествам А и B, то, согласно определению операции |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
объединение, будет принадлежать и множеству А |
|
(В\А). |
Если же x |
не |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
принадлежит множеству А, то будет принадлежать множеству B, так как x А B. В этом случае, согласно определению разности двух множеств, x
В\А и по определению объединения множеств x |
А (В\А). |
|
|
|
||||||||
Докажем обратное утверждение. Предположим, что x |
|
А (В\А). |
||||||||||
Тогда, согласно определению объединения двух множеств, x |
А либо x |
|||||||||||
В\А, либо x принадлежит одновременно двум этим множествам. Если x |
А |
|||||||||||
или x принадлежит одновременно двум множествам, то x |
А |
B. Если же |
||||||||||
x не принадлежит А, то x |
В\А, |
так как x |
А |
(В\А). |
Тогда x |
B и, |
||||||
следовательно, x |
А |
B. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) Докажем равенство А |
(В\С)=(А В)\С. |
Предположим, |
что |
x |
||||||||
А (В\С). Тогда x |
А и x |
В\С. Следовательно, по определению разности |
||||||||||
множеств, x В и x |
С. Откуда x |
А |
B и x |
С. Тогда, |
по определению |
|||||||
разности множеств, x |
(А |
В)\С. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Докажем обратное утверждение. Пусть x |
(А |
В)\С. Тогда x |
А |
B и |
||||||||
x С. Следовательно, x |
А, x |
B и x |
С. Тогда x |
А и x |
В\С. Откуда |
|||||||
получим, что x |
А (В\С). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) Докажем равенство декартовых произведений множеств: |
|
|
||||||||||
|
|
(А |
В) |
(С |
В)=(А С) |
( В |
В). |
|
|
|
|
|
Согласно определению декартова произведения двух множеств, каждый элемент произведения представляет собой упорядоченную пару (x, y).
Пусть пара (x, y) |
(А |
В) |
(С |
В). Тогда, по определению декартова |
произведения, x |
А |
B и |
y |
C B. По определению пересечения |
7
множеств получим x |
А и x B, y |
C и y |
B. Следовательно, пара (x, y) |
|||
А |
С и (x, y) |
В В. Тогда (x, y) |
(А С) ( В В). |
|||
Докажем обратное утверждение. Пусть (x, y) |
(А С) ( В В). Тогда |
|||||
(x, y) |
А С и (x, y) |
В В. По определению декартова произведения x |
||||
А, y |
C и x |
B, y |
B. Тогда x |
А B и y |
C |
B. Следовательно, (x, y) |
(А |
В) (С |
В). |
|
|
|
|
Вопросы для самопроверки
1.Определите понятие множество.
2.Перечислите и определите основные операции над множествами.
3.Что изображают при помощи кругов Эйлера-Венна?
4.Что называется универсальным множеством?
5.Что собой представляет геометрически декартово произведение двух, трех множеств?
Литература: [3], гл.1, с. 9–12; [2], Часть 2, с. 38–51; [7], гл. 1, стр. 9–16.
Задания для самостоятельной работы
а) Для заданных множеств A, B, C построить множества А (В\С)
и А\(В С). Изобразить эти множества на плоскости. |
|
|||||
Вариант 1. |
|
|
|
|
|
|
А={(x, y)| x2+y2 |
1}, B={(x, y)| x2+y2 |
4}, C={(x, y)| x2 |
y}. |
|
||
Вариант 2. |
|
|
|
|
|
|
А={(x, y)| x2+y2 |
9}, B={(x, y)| x2+y2 |
4}, C={(x, y)| y |
x2}. |
|
||
Вариант 3. |
|
|
|
|
|
|
А={(x, y)| x2+y2 |
1}, B={(x, y)| x2+y2 |
4}, C={(x, y)| x |
y2}. |
|
||
Вариант 4. |
|
|
|
|
|
|
А={(x, y)| x2+y2 |
4}, B={(x, y)| x2+y2 |
1}, C={(x, y)| x |
y2}. |
|
||
Вариант 5. |
|
|
|
|
|
|
А={(x, y)| x2+y2 |
4}, B={(x, y)| (x 2)2+y2 |
1}, C={(x, y)| x2 |
y}. |
|||
Вариант 6. |
|
|
|
|
|
|
А={(x, y)| x2+(y |
2)2 |
1}, B={(x, y)| x2+y2 |
4}, C={(x, y)| x2 |
y}. |
||
Вариант 7. |
|
|
|
|
|
|
А={(x, y)| (x+2)2+y2 |
1}, B={(x, y)| x2+y2 |
4}, C={(x, y)| y |
x2}. |
|||
8
Вариант 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А={(x, y)| y |
x2}, B={(x, y)| x2+y2 |
4}, C={(x, y)| x2+(y+2)2 |
1}. |
|
|
|
||||||||||||
Вариант 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А={(x, y)| y |
x2}, B={(x, y)| x2+y2 |
4}, C={(x, y)| x2+(y+2)2 |
1}. |
|
|
|
||||||||||||
Вариант 10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А={(x, y)| 1 |
x |
4, 1 |
y |
3}, B={(x, y)| x2+y2 |
4}, C={(x, y)| x+y |
0}. |
|
|
||||||||||
Вариант 11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А={(x, y)| |
4 |
x |
1, 1 |
y |
3}, B={(x, y)| x2+y2 |
4}, C={(x, y)| x y}. |
|
|
||||||||||
Вариант 12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А={(x, y)| y |
|
x}, B={(x, y)| |
3 x, y |
1}, C={(x, y)| x2+y2 |
4}. |
|
|
|
|
|||||||||
Вариант 13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А={(x, y)| x2+y2 |
4}, B={(x, y)| y |
x}, C={(x, y)| 1 x 3, |
3 |
y |
1}. |
|
|
|||||||||||
Вариант 14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А={(x, y)| 1 |
y |
3, x |
Р}, B={(x, y)| x2+y2 |
4}, C={(x, y)| x2+(y |
1)2 |
1}. |
|
|||||||||||
Вариант 15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А={(x, y)| (x 1)2+y2 |
1}, B={(x, y)| 1 |
x |
3, y |
}, C={(x, y)| x2+y2 |
4}. |
|
||||||||||||
Вариант 16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А={(x, y)| x2+y2 |
4}, B={(x, y)| x2+(y+1)2 1}, C={(x, y)| |
3 |
y |
|
1, x |
}. |
||||||||||||
Вариант 17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А={(x, y)| |
3 |
x |
1, y |
}, B={(x, y)| (x+1)2+y2 1}, C={(x, y)| x2+y2 4}. |
||||||||||||||
Вариант 18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А={(x, y)| (x+1)2+y2 |
4}, B={(x, y)| (x |
1)2+y2 |
4}, C={(x, y)| x2 |
y}. |
|
|||||||||||||
Вариант 19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А={(x, y)| x2+(y |
1)2 |
4}, B={(x, y)| x2+(y+1)2 |
4}, C={(x, y)| y2 |
x}. |
|
|||||||||||||
Вариант 20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А={(x, y)| y |
x}, B={(x, y)| (x |
1)2+(y 1)2 1}, C={(x, y)| (x+1)2+(y+1)2 |
9}. |
|||||||||||||||
Вариант 21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А={(x, y)| y |
|
x}, B={(x, y)| (x+1)2+(y |
1)2 1}, C={(x, y)| (x |
1)2+y2 9}. |
||||||||||||||
Вариант 22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А={(x, y)| y |
x}, B={(x, y)| x2+y2 |
4}, C={(x, y)| x 0, y |
0}. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Вариант 23.
9
А={(x, y)| y |
x}, B={(x, y)| x2+y2 1}, C={(x, y)| x |
0, y |
0}. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
А={(x, y)| y x}, B={(x, y)| x2+y2 |
1}, C={(x, y)| x |
0, y |
0}. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
А={(x, y)| y x}, B={(x, y)| x2+y2 |
4}, C={(x, y)| x |
0, y |
0}. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
б) Доказать равенство следующих множеств. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) A B = (А B ) A ; 2) А\В=(А\В)\В; 3) (А В)\С=(А\С) (В\С). |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1) A B = (А В ) А ; 2) А\В=(А В)\В; 3) (А В)\С=(А\С) (В\С). |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1) А\ B = ( A |
В) А; 2) |
|
A В=В |
( A \ B ); 3) (А |
В)\С=(А |
В)\(А С). |
||||||||||||||||||||||||||
Вариант 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1) А\В=А\(А |
В); 2) А |
В=(В\ A ) |
А; 3) (А В)\С=(А В)\(В |
С). |
||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1) В\А=(А В)\А; 2) А |
В=( A В) |
А; 3) (А\В) С=(А |
С)\(В С). |
|||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1)В\А=В\(А В); 2) А В=( A В) А; 3) (А\В) С=(А С)\(В\С).
Вариант 7.
2)В\А=(А В) A ; 2) А В=(В\ A )\ B ; 3) А (В\С)=(А В)\(А С).
Вариант 8.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
A В=( A |
|
B ) |
В; 2) А В=В\( A \ B ); 3) А\(В С)=(А\В) (А\С). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1) |
В\ A =( A |
В) А; 2) А |
|
В=(В\ A )\ A ; 3) А\(В С)=(А\В) (А\С). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1) |
А B =(А |
В) |
B ; 2) |
B \ A =(А\В) А; 3) (А\В)\С=(А\В)\(С\В). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1) |
А B =( A |
|
B ) |
А; 2) B \ A =(А |
|
|
В) |
|
|
B ; 3) А\(В С)=(А\С)\(В\С). |
||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1) |
А В=В\(В\С); 2) B \ A =( A B ) А; 3) А\(В\С)=(А\В) (А С). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1) |
|
A В=(А |
В) |
A ; 2) B \А=(А |
|
B ) |
|
A ; 3) (А\В)\С=(А\С)\(В\С). |
||||||||||||||||||||||||||||||
10