Лабораторная работа № 3

Наблюдения за эксплуатацией большого количества однотипных элементов в технических объектах различного назначения, работающих в примерно одинаковых условиях и на схожих по интенсивности нагрузках, показали, что количество отказов этих элементов различно в разные периоды наработки. Можно выделить три периода наработки, которые заметно отличаются количеством отказов и интенсивностью их проявления. На начальном этапе эксплуатации количество отказов постепенно снижается (приработка), затем следует период эксплуатации с примерно постоянным количеством отказов в одинаковые интервалы времени и при дальнейшем увеличении наработки происходит нарастание числа отказов вследствие быстрого накопления повреждений (например, вследствие износа). Эти периоды эксплуатации характеризуются определѐнным значением интенсивности отказов (t), показанной на рис.1.

Рис.1 Типичная - характеристика

Кривую на рис.1 принято называть - характеристикой. Как показано на рис.1 первый участок - характеристики отличается повышенным уровнем интенсивности отказов. В этот период (рис.1,I) происходит приработка составных элементов объекта, устранение мелких дефектов изготовления и сборки, выявление и устранение отступлений от технической документации. Для данного этапа эксплуатации объекта иногда используют термин «этап выжигания дефектов». При отработке конструкции и технологии изготовления, а также при совершенствовании выходного контроля интенсивность отказов на начальном этапе эксплуатации может быть снижена.

При нормальной эксплуатации (рис.1,II) интенсивность отказов практически не меняется с наработкой. Причинами отказов в этот период бывают, как правило, воздействие на объект неучтѐнных при проектировании факторов или эксплуатация объектов в условиях, действие которых трудно предусмотреть заранее.

3

Третий период эксплуатации (рис.1,III) характеризуется возрастанием интенсивности отказов. Это обычно связано с предельным накоплением повреждений в материалах основных деталей, а также с износом или старением конструкционных материалов. Этот период обычно связан с повышенными материальными затратами а поддержание работоспособности объектов. Основные из них идут на запасные части и на восстановление изношенных деталей.

В практических расчѐтах надѐжности - характеристики отдельных элементов имеют большое значение. Часто модели надѐжности сложных технических систем полностью создаются на использовании подобных характеристик. Во многих случаях решение вопросов обоснования сроков технического обслуживания, объѐмов регламентных работ невозможно без знания - характеристик комплектующих элементов. Эти характеристики в большинстве своѐм получаются на основе статистической обработки экспериментальных данных или результатов эксплуатации объектов – аналогов. Одним из важных моментов такой обработки является выявление теоретического закона распределения, соответствующего реальной статистике наработок между отказами объекта или его элементов.

Анализ типовых - характеристик показывает, что каждый из этапов эксплуатации (рис.1) может быть поставлен в соответствие определѐнному теоретическому закону распределения. Обычно период нормальной эксплуатации соответствует экспоненциальному закону, а этап старения и повышенного износа может быть описан нормальным законом, законом Вейбулла или некоторыми другими. Приработка элементов может быть представлена многими теоретическими законами распределения и в том числе законом Вейбулла. Таким образом, изучение особенностей основных теоретических законов распределения может способствовать выявлению закономерностей изменения показателей надѐжности реальных объектов.

Экспоненциальное распределение

Известное выражение для вероятности безотказной работы

t

d

P t e 0

при = const превращается в зависимость, соответствующую экспоненциальному закону распределения

Однопараметрическое распределение (1) широко используется в теории надѐжности, главным образом из-за его простоты и очевидности физической картины процессов, вызывающих изменение надѐжности по данному закону. Оно описывает распределение времени безотказной работы при постоянной опасности отказа.

Постоянство интенсивности отказа позволяет получить выражение

4

Отрицательное значение производной в (3) свидетельствует о том, что с увеличением наработки происходит снижение темпа уменьшения вероятности

Графики основных зависимостей экспоненциального распределения показаны на рис.2.

Рис.2 Графики экспоненциального распределения

Математическое ожидание, равное наработке на отказ, определится для экспоненциального распределения из выражения

Из (6) следует, что при экспоненциальном законе надѐжности достаточно знать среднюю наработку на отказ, чтобы определить вероятность безотказной работы объекта в любой момент времени.

Важной особенностью экспоненциального закона распределения является то обстоятельство, что вероятность безотказной работы в каком-то интервале времени не зависит от предшествующей наработки объекта, а зависит только от величины самого интервала. Допустим, что объект благополучно проработал время t и нас интересует вероятность безотказной работы на интервале t . Эту условную вероятность обозначим P( t/t). В то же время вероятность работоспособного состояния объекта к моменту (t+ t) можно рассматривать как вероятность сложного события, заключающегося в том, что объект безотказно отработал время t (одно событие) и затем также безотказно время t (второе собы-

5

Выражение (7) даѐт основание считать, что независимость вероятности безотказной работы объекта от предыстории нагружений может быть объяснена возникновением отказов только определѐнного класса, а именно внезапных отказов.

Распределение Вейбулла

Двухпараметрическое распределение Вейбулла является более гибким, чем экспоненциальное, которое может рассматриваться как частный случай первого.Плотность распределения Вейбулла

Рис.3 Графики распределения Вейбулла

6

Двухпараметрическое распределение Вейбулла обладает исключительной гибкостью при аппроксимации эмпирических распределений и поэтому широко применяется в практических приложениях теории надѐжности. Оно используется при описании законов надежности, как на участке приработки, так и при анализе процессов старения и износа.

Средняя наработка на отказ при распределении Вейбулла определяется из условия

t m

T e t 0 dt 0

Нормальное распределение

Двухпараметрическое нормальное (гауссово) распределение исключительно широко применяется в практических задачах теории надѐжности. Параметрами этого распределения является – математическое ожидание случайной величины и - среднеквадратическое отклонение. Плотность нормального распределения определяется зависимостью

Случайная величина t как и во всех задачах надѐжности имеет смысл наработки объекта и поэтому определена на положительной полуоси чисел, а нормальный закон, как уже отмечалось, определѐн на всей числовой оси от - до + . В связи с этим в теории надѐжности рассматривают усечѐнный нор-

мальный закон, плотность которого f (t) определяется путѐм умножения (13) на постоянный множитель

f (t) c f (t) ,

7

на левой и правой границах усечения.

Смысл постоянного множителя с становится ясным при рассмотрении графика плотности нормального распределения, представленного на рис.5.

Рис.4 Плотность и функция распределения нормального закона при математическом ожидании =0 и среднеквадратическом отклонении =1.

x x /

Рис.5 Плотности нормального и усечѐнно – нормального распределений при = 2, = 3. Параметры усечения a=0, b=10.

Известно, что площадь под кривой плотности распределения всегда

го нормального закона приходится сдвигать вверх и вправо путѐм умножения исходной плотности нормального закона на постоянный множитель. Соответ-

8

ственно будут меняться основные параметры: математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение. Расчѐты показывают, что при отношении /< 0.5 (коэффициент вариации) постоянный множитель c для усечѐннонормального закона близок к единице. Поэтому во многих практических задачах теории надѐжности пользуются параметрами нормального закона распределения случайной наработки объекта до отказа. При этом математическое ожи-

дание отождествляют со средней наработкой до отказа Т0.

Вероятность безотказной работы при нормальном распределении равна

для которого составлены таблицы.

С учѐтом (17) вероятность безотказной работы при нормальном законе

Исходная информация: - выборка чисел, представляющих собой наработки объектов до отказов;

Алгоритм выполнения работы:

1. В основе работы лежит статистическая обработка заданного вариационного ряда наработок до отказа, которая включает:

вычисление статистических оценок параметров распределения

9

построение гистограммы распределения числа отказов (рис.6)

Рис.6 Гистограмма частоты отказов

Перед построением гистограммы выборочные данные группируют, и в каждой выделенной группе наработок определяют число отказов. Для определения числа интервалов группировки можно использовать формулу

k = 1 + 3,3 lg N ,

где N - объѐм выборки.

вычисляют критерий χ2 (критерий «Хи-квадрат» Пирсона)

где li - количество отказов в i-й группе наблюдений; Mi – математическое ожидание числа отказов в i-й группе наблюдений при принятой гипотезе о виде теоретического закона распределения; k - количество групп наблюдения.

Процедура использования критерия согласия χ 2 обычно такова. По формуле (21) оценивается мера расхождения между статистическими данными и оценкой их теоретического значения. Затем определяется число степеней свободы r и с помощью таблиц квантилей распределения χ 2 находится вероятность того, что величина, имеющая χ 2 распределение со степенями свободы r, превзойдѐт подсчитанное по (21) значение. Когда эта вероятность χ мала, проверяемая гипотеза отбрасывается как неправдоподобная.

не менее χ утверждать, что статистическая гипотеза может быть принята.

10