Лабораторная работа

Исследование устойчивости линейных систем с использованием алгебраических методов Цель работы:

1. Изучить алгебраические методы исследования устойчивости линейных систем.

2. Приобрести практические навыки в решении задач синтеза систем с использованием ППП Matlab.

Учебные вопросы

1.Определение устойчивости линейных систем по расположению корней характеристического уравнения.

2. Определение устойчивости линейных одномерных и многомерныхсистем с использованием критерия Рауса-Гурвица.

Краткие сведения из теории

Понятие об устойчивости

Устойчивость - это свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия.

На рис. 1 показаны типичные кривые переходных процессов в неустойчивой (рис. 1,а) и устойчивой (рис.1,б) системах. Если система неустойчива, то достаточно любого толчка, чтобы в ней начался расходящийся процесс ухода из исходного установившегося состояния. Этот процесс может быть апериоди­ческим (кривая 1 на рис. 1,а) или колебательным (кривая 2 на рис. 1,а).

Рисунок 1. - К понятию устойчивости системы

Апериодический расходящийся процесс может, например, возникнуть в САУ, если в ее управляющем устройстве ошибочно переключить полярность воздействия на объект, в результате чего управляющее устройство будет осуществлять не отрицательную, а положительную обратную связь вокруг объекта. При этом управ­ляющее устройство будет не устранять отклонение Х, а действо­вать в обратном направлении, вызывая лавинообразное его изме­нение.

Колебательный расходящийся процесс, может наступить, при неограниченном увеличе­нии коэффициента передачи системы, вследствие чего, управля­ющее устройство станет излишне энергично воздействовать на объ­ект, стремясь ликвидировать первоначально возникшие отклонения Х. В этом случае при каждом очередном возврате Х к нулю под дей­ствием управляющего устройства кривая Х будет пересекать ось абсцисс все с большей скоростью и процесс в целом будет расхо­дящимся.

В случае устойчивой системы (рис. 1,б) переходный процесс, вызванный каким-либо воздействием, со временем затухает апе­риодически (кривая 1) или колебательно (кривая 2), и система вновь возвращается в установившееся состояние.

Таким образом, устойчивую систему можно определить как систему, переходные процессы в которой являются затухаю­щими.

Приведенное понятие устойчивости определяет устойчивость установившегося режима системы. Однако система может работать в условиях непрерывно изменяющихся воздействии, когда установившийся режим вообще отсутствует. С учетом этого дадим следующее, более общее определение устойчивости: система устойчива, если ее выходная величина остается ограниченной в условиях действия на систему ограниченных по величине возмущений.

Рассмотрим, от чего зависит устойчивость системы, чем она определяется. Обратимся для этого к уравнению динамики системы

,

где

Освободившись от дробей в числителе и знаменателе переда­точной функции, можно представить ее так: и соответственно перейти к обычной форме записи в виде диффе­ренциального уравнения

(1)

Решение этого линейного неоднородного уравнения в общем виде состоит из двух составляющих: x(t)= x_уст(t) + x_п(t). (2)

Здесь x_уст(t) - частное решение неоднородного уравнения (1) с правой частью, описывающее вынужденный режим системы, устанавливающийся по окончании переходного процесса;

x_п(t) - общее решение однород­ного уравнения D(p)x=0, описывающее переходный процесс в системе, вызванный данным возмущением.

Система будет устойчива, если переходные процессы x_п(t), вызванные возмущениями, будут зату­хающими, то есть если с течением времени x_п(t) будет стремиться к нулю.

Решение x_п(t) однородного дифференциального уравнения имеет вид:

(3)

Здесь С_i - постоянные интегрирования, определяющиеся началь­ными условиями и возмущением, _i - корни характеристического уравнения

D() = 0, (4)

где полином D(), называемый характеристическим, есть левая часть уравнения (1) динамики системы после замены оператора дифференцирования p на комплексную переменную .

Полином D() является знаменателем передаточной функции W_з(p) системы после освобождения в нем от дроби и замены р на , т. е.

D()=R()+Q(), (5)

где R() и Q() - числитель и знаменатель передаточной функ­ции W(р) разомкнутой системы при замене р на .

Таким образом, переходный процесс x_п(t) представляет собой сумму составляющих, число которых определяется числом кор­ней  характеристического уравнения (4), то есть порядком урав­нения системы.

В общем случае корни  являются комплексными. При этом они образуют пары сопряженных корней:

,

где , может быть положительной или отрицательной величиной. Каждая такая пара корней дает в выражении (3) составляющую переходного процесса, равную

где C_i и _i определяются через С_i, и C_i+1.

Эта составляющая представляет собой синусоиду с амплитудой, изменяющейся во времени по экспоненте. При этом, если _i < 0, эта составляющая будет затухать. Наоборот, при _I > 0 получатся расходящиеся колебания. Если _I = 0, что соответствует паре мнимых корней, будут незатухающие синусоидальные колебания.

Условием затухания данной составляющей переходного про­цесса является отрицательность дейст­вительной части _i соответствующей пары сопряженных корней характери­стического уравнения.

В частном случае, когда _I = 0, име­ем действительный корень _I = _i. Со­ответствующая ему составляющая переходного процесса C_i e^it пред­ставляет собой экспоненту, которая будет затухать или увеличи­ваться в зависимости от знака _i.

Таким образом, в общем случае переходный процесс в системе состоит из колебательных и апериодических составляющих. Каждая коле­бательная составляющая обязана своим появлением паре комп­лексных сопряжении корней, а каждая апериодическая - дейст­вительному корню. Отсюда следует, что общим условием затухания всех составляющих, а значит, и всего переходного процесса в целом является отрицательность действительных частей всех корней характеристического уравнения системы, то есть всех полюсов (корней знаменателя) передаточной функции системы.

Если хотя бы один корень имеет положительную действитель­ную часть, он даст расходящуюся составляющую переходного процесса и система будет неустойчивой. Наличие пары сопряжен­ных чисто мнимых корней _i,i+1=±j_i даст незатухающую гармоническую составляющую переходного процесса. При этом в системе установятся незатухающие колебания с частотой, равной _i. Этот случай является граничным между устойчивостью и неустойчивостью - система при этом находится на границе устойчивости. Такая система, очевидно, также неработо­способна, как и неустойчивая.

Если изобразить корни характеристического уравнения системы точками на комплексной плоскости (рис. 2), то найденное выше общее условие устойчивости линейной системы можно сформули­ровать еще так: условием устойчивости системы является располо­жение всех корней характеристического уравнения, т. е. полюсов передаточной функции системы, в левой комплексной полуплоскости или, все они должны быть левыми.

Наличие корня на мнимой оси означает, что система находится на границе устойчивости.

Рисунок 2. – Расположение корней характеристического уравнения САУ