лекцияТЭЦ_2частьИКТ_1
.pdf
|
|
|
|
|
|
21 |
/117 |
Операторный метод анализа переходных процессов. Преобразования Лапласа |
|
||||||
В основе операционного метода расчёта переходных процессов лежит преобразование |
|
||||||
Лапласа, которое позволяет перенести решение из области функций действительного переменного |
|
||||||
t в обрасть комплексного переменного p = σ + jω . |
|
|
|
|
|||
При этом операции дифференцирования и интегрирования функций времени заменяются |
|
||||||
соответствующими операциями умножения и деления функций комплексного переменногона |
|
||||||
оператор p, что существенно упрощает расчёт, так как сводит систему дифференциальных |
|
||||||
уравнений к системе алгебраических. В операторном методе отпадает необходимость определения |
|
||||||
постоянных интегрирования. |
|
|
|
|
|
(t ) |
|
Рассмотрим кусочно-непрерывную однозначную функцию f |
|
||||||
|
|
f(t) |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t ) dt < ∞ . |
|
|
Пусть эта функция удовлетворяет условиям: |
f (t ) = 0 , если t < 0 и ∫ |
|
|||||
Прямым преобразованием |
Лапласа |
F ( p) |
функции |
f (t ) |
является функция комплексной |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
переменной вида: F ( p ) = ∫ f |
(t )e− pt dt . |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл такого типа абсолютно сходится в полуплоскости Re p = σ > σ0 |
|
||||||
|
|
Im |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
σ0 |
Re |
|
|
|
f (t ) удовлетворяет условию ограниченного роста, то есть |
|
f (t ) |
|
< Meσot |
, где M – |
множитель, σ0 – |
|||||
|
|
||||||||||
показатель роста – положительные действительные числа; |
f (t ) – |
оригинал, |
F ( p) – изображение |
||||||||
по Лапласу. Функция имеет ограниченный рост, если показатель роста конечен. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
) i ( |
) |
i |
|
|
Для сокращения записи преобразований используем: |
f |
t |
|
i |
p , |
i |
– знак |
||||
|
= F |
где = |
|||||||||
соответствия между оригиналом f (t ) и его изображением |
F ( p) , |
то |
есть |
парой |
функций |
действительного переменного t и комплексного переменного p, связанных преобразованием Лапласа.
Обратное преобразование Лапласа (Формула Римана-Меллина): f (t ) = 1 2πj
∞
представляет собой решение интегрального уравнения F ( p ) = ∫ f (t )e− pt dt
0
f (t ) . Правая часть в выражении, называется интегралом Бромвича-Вагнера.
За путь интегрирования может быть принята любая бесконечная прямая, параллельная мнимой оси, расположенная на расстоянии σ > σ0 от последней, так чтобы все особые точки
функции F ( p) оставались левее пути интегрирования. Интеграл, понимается в смысле главного значения, то есть как предел интеграла вдоль отрезка (σ − jω, σ + jω) при ω → ∞ .
22 /117
При практическом применении преобразования Лапласа путь интегрирования вдоль прямой, параллельной оси мнимых величин, заменяется замкнутым контуром, что даёт применить теорему о вычетах. Возможность такой замены основывается на лемме Жордана.
Контур интегрирования должен охватывать все полюсы подинтегралыюй функции, то есть точки p1 , p2 ,..., pk плоскости комплексного переменного, в которых подинтегральная функция
|
|
1 |
|
σ+ j∞ |
|
|
||
выражения f (t ) = |
|
∫ F ( p) e pt dp обращается |
в бесконечность. Вычисление интеграла при |
|||||
2πj |
||||||||
|
|
σ− j∞ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
этом сводится к определению |
суммы вычетов |
(обозначаемых буквами res ) подинтегральной |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
функции в полюсе |
|
|
|
F ( p )e pt dp = ∑ resk (F ( p) e pt ) |
||||
|
2πj ∫ |
|||||||
|
|
|
k =1 |
|
МЕЛЛИН Роберт Хильмар (Robert Hjalmar Mellin)
Георг Фридрих Бернхард Риман (Georg-Friedrich- 1854-1933, финский математик
Bernhard Riemann) 1826-1866 немецкий математик.
МариЭнмо нКами ль(Камилл) |
Томас Джон Иансон Бромвич |
Ви кторВлади мировичВа гнер |
Жорда н(Marie Ennemond |
(Thomas John I'Anson |
1908-1981, советский математик |
Camille Jordan, 1838-1922, |
Bromwich) 1875-1929, |
|
французский математик |
английский математик |
|
Свойства преобразования Лапласа:
|
i |
n |
1. Линейность. Если |
∑ k |
|
i |
a f |
|
f (t ) = F ( p) , то |
||
|
|
k =1 |
n
(t ) =ii ∑ ak F ( p ) .
k =1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
df (t ) |
i |
|
|
|||
2. Дифференцирование оригинала. Если |
|
f (t ) |
= F ( p) , то |
|
|
|
|
= pF ( p ) − f (0 |
− |
) . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
i F ( p) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) i |
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
( |
|
|
) |
i |
|
|
|
|
||||
3. Интегрирование оригинала. Если f |
|
t |
|
= F |
|
p |
|
|
|
, |
|
то |
|
|
f |
|
t |
|
dt = |
. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
1 |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. Сжатие. Если f (t ) =i |
F ( p) , то |
f (at ) |
=i |
|
F |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5. Запаздывание. Если |
|
f (t ) |
i |
|
( p) , то |
f (t ± t |
|
) |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
± pt0 |
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
= F |
0 |
|
= F ( p)e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
( |
|
) i |
i |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( ) |
|
|
|
|
|
) i |
|
|
|
|
( |
|
|
|
t |
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6. Смещение. Если f t |
i |
|
p |
, |
то F |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
e |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= F |
|
|
p ± λ = f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p) |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
(τ) |
|
|
|
(t − τ) d τ . |
|
|
||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
f |
|
|
f |
|
|
|
||||||||||||||
7. Свёртка. Если f (t ) = F ( p) , то F ( p) F |
= |
∫ |
1 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
23 /117
Предельные соотношения:
lim pF ( p) = lim f (t ) , |
|
p→∞ |
t→0 |
lim pF ( p) = lim f (t ). |
|
p→0 |
t →∞ |
Оригиналы, изображения единичной функции Хевисайда, δ-функции Дирака и
экспоненциального импульса
Функция Хевисайда:
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1(t−t0) |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
0 |
t |
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
− pt |
|
|
|
|
− pt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
F ( p ) = ∫1(t )e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dt = - |
|
e |
|
|
|
|
|
= |
|
|
, то есть |
1(t ) =i |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
|
− pt0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно свойству запаздывания 1(t - t |
0 |
) = |
|
e |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
t < 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
t < t0 |
|
|||||||||||||||
δ-функция Дирака d(t ) = |
¥, |
|
|
|
t = 0 , |
|
|
|
|
|
|
d(t - t0 ) = |
¥, |
|
|
|
|
|
t = t0 . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
t > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
t > t0 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
δ(t) |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
δ(t−t0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Связь с функцией Хевисайда: d(t ) = lim |
1(t ) -1(t - t) |
= |
d1(t ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ→0 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
δ-функция Дирака – |
единичная импульсная функция: ∫ d(t ) dt = 1. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Фильтрующие свойства δ-функции: ∫ d |
(t ) f (t ) dt = f (0) , ∫ d(t - t0 ) f (t ) dt = f (t0 ) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞
Изображение δ-функции: F ( p ) = ∫ d(t )e− pt dt = e0 = 1, то есть d(t ) =i 1.
i
0 |
|
|
|
|
Согласно свойству запаздывания d(t - t |
|
i |
− pt0 |
. |
0 |
) = e |
|
||
|
i |
|
|
Экспоненциальный импульс
0, |
|
t < 0, |
|
f (t ) = |
−αt |
, |
t ³ 0, |
e |
|
∞
F ( p ) = ∫ e
0
f(t) 1
0
t
−αt |
|
− pt |
|
1 |
|
−αt |
i |
|
1 |
|
|
e |
|
dt = |
|
, то есть e |
|
=i |
|
. |
|
|
|
p + a |
|
p + a |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
αt |
i |
1 |
|
Доказать самостоятельно! e |
|
=i |
|
|||||||
|
p - a |
24 /117
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема разложения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Представим |
|
изображение |
|
|
F ( p) |
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
виде |
|
|
|
дробно-рациональной |
функции: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
F1 |
( p) |
|
a pn + + a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
F ( p ) = F |
( p ) |
= b pm + + b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
Ak |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Разложим |
F ( p) |
|
на |
|
простые |
|
дроби: |
|
|
F ( p ) = ∑ |
|
|
|
|
, |
|
где |
|
|
|
pk – |
простые корни |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 p - pk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
характеристического уравнения: |
|
F |
( p) = b pm +…+ b = 0 , |
A – |
коэффициенты разложения. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Домножим и лекую и правую часть на p - pk |
( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim ∑( p - pk ) |
|
|
= lim ∑ Ak , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F2 |
( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p→ pk k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p→ pk k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Используем правило Лопиталя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
m |
( p - p ) F ( p) |
|
|
|
|
|
|
m (( p - p ) F ( p))¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
( p - p )¢ F ( p ) + ( p - p )(F ( p))¢ |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim ∑ |
|
|
|
|
k |
|
1 |
|
|
|
= lim ∑ |
|
|
|
|
|
k |
|
1 |
|
|
|
|
|
= lim ∑ |
|
|
|
|
|
|
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
1 |
||||||||||||||||||||||||||
p→ pk k =1 |
|
(F2 ( p))¢ |
|
|
|
p→ pk k =1 |
|
|
(F2 ( p))¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
p→ pk k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(F2 ( p ))¢ |
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
F1 ( p) + ( p - pk )(F1 ( p ))¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= lim ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim ∑ Ak |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
(F2 |
( p))¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
p→ pk k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
→ pk k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
dF2 ( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
отсюда определяем: |
F1 ( pk |
) |
|
|
|
= Ak , |
где (F2 ( pk ))¢ |
= |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(F2 ( pk ))¢ |
|
|
|
|
|
dp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p= pk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F ( p ) = |
F1 |
( p) |
|
|
|
|
m |
|
F1 ( pk ) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Подставим значения Ak |
|
в F ( p) , получим: |
= |
|
∑ |
|
× |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(F2 ( pk ))¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F2 |
|
( p) |
k =1 |
|
|
|
p - pk |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
t |
i |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С учётом свойства линейности и |
e |
k |
|
=i |
|
|
|
, получим выражение для оригинала: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
p - pk |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
f (t ) |
|
m |
|
F1 ( pk ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
= ∑ |
|
|
|
e pk t |
|
– формула определения оригинала по его изображению. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(F2 ( pk ))¢ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Если корни pk |
и pk +1 – |
|
комплексно-сопряжённые, то оригинал определяется по формуле: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 ( pk ) |
|
|
|
|
|
|
F1 ( pk +1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 ( pk ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t ) = |
e pk t + |
e pk+1t = 2 Re |
|
|
e pk t . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(F2 ( pk )) |
|
|
|
|
|
|
(F2 ( pk +1 )) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(F2 ( pk )) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Пример: задано изображение в виде: F ( p ) = |
|
|
|
|
|
p + 2 |
= |
|
F1 |
( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
p ( p2 + 5 p + 4) |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
F2 |
( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Определим корни уравнения F2 ( p) = 0 : |
p1 = 0 , |
|
|
p2 = -1 , p3 |
= -4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Определим |
|
|
производную |
|
|
|
|
(F2 ( p))¢ = 3 p2 +10 p + 4 , |
где |
|
|
|
(F2 ( p1 ))¢ = 4 , |
(F2 ( p2 ))¢ = -3 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(F2 ( p3 ))¢ = 12 . Оригинал определяем по теореме разложения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f (t ) |
= |
|
|
F1 ( p1 ) |
|
|
e p1t + |
|
|
F1 ( p2 ) |
|
e p2t + |
|
|
F1 ( p3 ) |
e p3t = |
1 |
- |
1 |
e−t - |
1 |
e−4t |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(F2 ( p1 ))¢ |
(F2 ( p2 ))¢ |
(F2 ( p3 ))¢ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
25 /117
Расчёт переходных процессов операторным методом
Операторные схемы замещения элементов электрических схем
|
|
|
|
|
Элемент схемы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Операторное сопротивление Z ( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pL |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pC |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Операторная проводимость Y ( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pC |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R= G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Операторные схемы замещения по заданной схеме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Исходная схема |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Операторные схемы замещения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
i(t) |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I(p) |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I(p) R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
u(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I ( p ) = |
U ( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
u (t ) = Ri (t ) |
|
|
U ( p) = RI ( p ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U(p) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
i(t) L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I(p) L |
|
|
|
|
|
Li(0+) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
u(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i(0+) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
di (t ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
u (t ) = L |
|
|
U ( p) = pLI ( p) − Li (0+ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
I ( p) = |
U ( p) |
+ |
i (0+ ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pL |
p |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
i(t) |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
I(p) |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
u(0+) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
t |
|
|
|
|
|
U(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cu(0+) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
u (t ) = u (0+ ) + |
|
|
|
|
|
i (t0 ) dt0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
u |
(0+ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
∫0 |
|
U ( p) = I ( p) |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
I ( p) = pCU ( p) − Cu (0 |
+ |
) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
pC |
|
|
p |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
i(t) |
|
|
e(t) |
|
|
|
|
|
|
|
I(p) E(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
u(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
u (t ) = e (t ) |
|
|
|
U ( p) = E ( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
i(t) |
|
|
j(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I(p) J(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
u(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
i (t ) = j (t ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I ( p) = J ( p ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример. Составить операторную схему замещения цепи после коммутации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
di |
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В случае нулевых начальных условий: Ri (t ) + L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
t ) |
+ |
1 |
t i (t0 ) dt0 = e (t ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 /117
Применим преобразование Лапласа, получим: RI ( p) + LpI ( p) + |
1 |
I ( p) = E ( p ) . |
|
|
|
|
|||||||
Cp |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
E ( p) |
|
|
E ( p) |
|
||
Закон Ома в операторной форме при нулевых начальных условиях: |
I ( p) = |
|
= |
, |
|||||||||
R + pL + |
|
1 |
Z ( p ) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где Z ( p) – операторное сопротивление. |
|
|
|
|
|
pC |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y ( p) = |
|
= |
|
|
– операторная проводимость. |
|
|
|
|
||||
Z ( p ) |
R + pL + |
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pC
I и II законы Кирхгофа в операторной форме соответственно:
n |
n |
∑ Zk ( p ) Ik ( p) = ∑ Ek ( p ) . |
|
k =1 |
k =1 |
m
∑ Ik ( p ) = 0 ,
k =1
В случае ненулевых начальных условиях, то есть i (0) ¹ 0 , uC (0) ¹ 0 :
Ri (t ) + L |
di (t ) |
+ |
1 |
t |
i (t0 ) dt0 = e (t ) , Ri (t ) + L |
di (t ) |
+ |
1 |
t |
i (t0 ) dt0 + uC (0) = e (t ) . |
|||||||||||
dt |
C −∞∫ |
|
C |
∫0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
uC (0) |
|
|||||||
Применяя преобразование Лапласа, получим: RI ( p) + LpI ( p ) - LiL (0) + |
1 |
I ( p ) + |
= E ( p) . |
||||||||||||||||||
Cp |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
uC (0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|||
|
|
|
|
|
|
E ( p) + LiL (0) - |
|
Eэк ( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Изображение для тока: I ( p) = |
|
|
p |
= |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
R + pL + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z ( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pC
Соответствующая операторная схема замещения цепи после коммутации:
R I(p)
|
|
|
|
pL |
E(p) |
|
uC(0) |
|
LiL(0) |
|
||||
|
|
|||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
1 pС
Операторные передаточные функции
Операторная передаточная функция (ОПФ) определяется как отношение изображения выходной реакции цепи к изображению входного воздействия.
|
|
|
I1(p) |
|
I2(p) |
|||
U1(p) |
|
|
|
Четырёх- |
|
|
|
U2(p) |
|
|
|
полюсник |
|
|
|
||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
KU ( p) = |
U2 |
( p) |
, KI ( p) = |
I2 |
( p ) |
, KZ ( p) = |
U2 |
( p) |
, KY ( p) = |
I2 |
( p ) |
. |
U1 |
( p) |
I1 |
( p ) |
I1 |
( p ) |
|
|
|||||
|
|
|
U1 |
( p) |
27 /117
Представим ОПФ в виде:
K ( p) = |
|
a |
n |
pn + a |
n−1 |
pn−1 +…+ a p + a |
= |
W ( p ) |
, либо K ( p) = H |
( p - p01 )( p - p02 )…( p - p0n ) |
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
pm−1 +…+ b p + b |
|
V ( p ) |
( p - p )( p - p |
|
)…( p - p |
|
) |
|||||||||||
|
|
|
b pm + b |
|
|
|
|
|
|
2 |
m |
|
||||||||||||
|
|
|
m |
|
|
m−1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
где p |
, p |
, …, |
p |
|
– |
нули, p , p , …, p |
|
|
– полюса ОПФ; |
H = |
an |
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
01 |
02 |
|
|
|
|
0n |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
bm |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства ОПФ
1.ОПФ является дробно-рациональной функцией с вещественными коэффициентами
2.Полюсы ОПФ располагаются в левой полуплоскости комплексной переменной p.
3.Степень полинома числителя ОПФ не превышает степень полинома знаменателя.
Пример |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1(t) |
|
|
C |
|
|
u |
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
U2(p) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
U2 |
( p) |
2 |
U1 ( p) |
|
|
|
U1(p) |
|
|
|
|
|
pС |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
KU ( p) = |
|
|
× |
1 |
× |
|
1 |
|
|
= |
|
|
1 |
. |
|||||||||||||
|
|
|
( p) |
|
|
|
|
|
( p) |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
U1 |
|
|
R |
+ |
1 |
|
|
pC U1 |
|
|
1+ pRC |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
pC |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Самостоятельно определить! KI ( p ), |
KZ ( p), |
KY ( p ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для определения KI ( p) и KY ( p ) необходимо замкнуть накоротко выходные зажимы.
Лекция 3
Временной метод анализа переходных процессов. Переходная и импульсная характеристика электрической цепи
Переходной характеристикой h (t ) называется реакция линейной электрической цепи на
входное воздействие в виде функции Хевисайда.
|
|
|
|
1(t) |
|
|
ЛЭЦ |
|
|
|
|
h(t) |
U1(p) |
|
|
ЛЭЦ |
U2(p) |
|||||||||||
|
U2 |
( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
KU ( p) = |
, откуда U |
|
2 ( p) = KU |
( p)U1 ( p) = KU ( p) |
1 |
, откуда |
|
|||||||||||||||||||||
U1 |
( p) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
i KU ( p ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
h |
(t ) = |
|
|
|
|
– переходная характеристика по напряжению. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
u |
i |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
( p) |
|
|
KZ ( p) |
|
|
|
KY ( p) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i KI |
|
i |
|
|
i |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
h |
(t ) = |
|
|
|
|
, |
h |
(t ) = |
|
, |
|
h |
(t ) = |
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
i |
p |
z |
i |
p |
|
y |
i |
p |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Импульсной характеристикой |
|
|
g (t ) |
называется реакция линейной электрической цепи на |
||||||||||||||||||||||||
входное воздействие в виде δ -функции Дирака. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
δ(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
ЛЭЦ |
|
|
|
|
g(t) |
U1(p) |
|
|
ЛЭЦ |
U2(p) |
||||||||||||
|
( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
KU ( p) = |
U2 |
, откуда U |
|
2 ( p) = KU ( p)U1 ( p) = KU ( p )×1 , откуда |
|
|||||||||||||||||||||||
U1 |
( p) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 /117
g |
|
i |
|
( p) – импульсная характеристика по напряжению. |
u |
(t ) = K |
U |
||
|
i |
|
gi (t ) =ii KI ( p) , gz (t ) =ii KZ ( p ) , gy (t ) =ii KY ( p)
|
|
|
d1(t ) |
|
|
|
dh (t ) |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d1(t ) |
|
|
|
|
|
|
|
dh (t ) |
|
|
|
dh (t ) |
||||||||||||||||||||||
Поскольку δ (t ) = |
|
|
|
|
, то g (t ) = |
|
|
|
= |
|
|
(h (t )1(t )) = |
|
|
|
|
|
|
|
h (t ) +1(t ) |
|
|
|
|
|
= δ (t ) h (t ) + |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||
dt |
|
|
dt |
dt |
|
|
dt |
|
dt |
|
dt |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Учитывая фильтрующее свойство δ -функции δ (t ) h (t ) = δ (t ) h (0) , получим: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
g (t ) = δ (t ) h (0) + |
dh (t ) |
|
– связь между импульсной и переходной характеристикой. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dt |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1(t) |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U1(p) |
1 |
|
|
|
|
|
U2(p) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pС |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
KU ( p ) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Поскольку K |
|
( p) = |
|
|
|
|
|
, то h |
|
(t ) = |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p(1+ pRC) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
+ pRC |
|
|
u |
|
i |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Определим оригинал по теореме разложения: |
F ( p ) = |
F1 |
( p) |
= |
|
|
1 |
|
|
– изображение. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
F |
( p ) |
|
|
p(1+ pRC) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Корни полинома знаменателя: |
p = 0 , p = − |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
RC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Определим производную: (F2 ( p))′ = 2 pRC +1 , причём (F2 ( p1 ))′ = 1, (F2 ( p2 ))′ = −1 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Переходная характеристика по напряжению: h (t ) = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
− |
t |
|
|
− |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
e0t + |
|
|
|
|
|
e |
RC |
= 1− e τC , где τ = RC . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(−1) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t ) = h (0)δ (t ) + |
dhu (t ) |
= |
1 |
e− |
|
t |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Импульсная характеристика по напряжению: |
g |
u |
τC |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
τC |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл Дюамеля
Жан Мари Констан Дюамель
Другое имя:
Жан Мари Констант Дюгамель
(Jean Marie Constant Duhamel), 1797-1872,
французский математик.
Интеграл Дюамеля может быть получен, если аппроксимировать приложенное воздействие f1 (t ) с помощью единичных функций, сдвинутых относительно друг друга на время Δτ .
29 /117
|
f1(t) |
fk |
|
|
|
|
|
|
f2 |
|
|
|
f1 |
|
|
f1(0) |
|
|
|
0 |
Δτ 2Δτ |
kΔτ |
t |
Реакция цепи на каждое ступенчатое воздействие определится как
f2 (0) = f1 (0) h (t ) ,
f2 (Δτ) = f1h (t − Δτ),
f2 (kΔτ) = fk h (t − kΔτ).
n
Результирующая реакция согласно принципу наложения: f2 (t ) = f2 (0) + ∑ f2 (kΔτ) , то есть
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
f2 (t ) = f1 (0) h (t ) + ∑ fk h (t − kΔτ) , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
где n – |
число аппроксимирующих участков, на которые разбит интервал 0…t . Домножив и |
|||||||||||||
разделив на Δτ перейдём пределу, где Δτ → 0 : |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
(t ) |
= f1 |
(0) h (t ) + lim |
n |
fk |
h (t − kΔτ) Δτ . |
|||||
|
|
|
f2 |
∑ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Δτ→0 |
k =1 |
Δτ |
|
|
|
В этом случае kΔτ → τ , а lim |
fk |
= f |
′ ( τ) , сумма заменяется интегралом и в итоге получаем |
|||||||||||
|
|
|
Δτ→0 |
Δτ |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2 (t ) = f1 (0) h (t ) + ∫ f1′(τ) h (t − τ) d τ – |
I форма интеграла Дюамеля. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вторая форма интеграла Дюамеля получается с помощью теоремы свёртки |
||||||||||||||
Если |
f (t ) = F ( p) , то |
t |
(t − τ) f |
|
(τ) d τ = F |
|
|
t |
f (τ) f |
|
(t − τ) d τ . |
|||
f |
|
( p ) F ( p) = |
|
|||||||||||
|
i |
∫ |
|
|
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
i |
1 |
|
2 |
|
|
i 1 |
2 |
|
i ∫ |
1 |
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2 (t ) = f1 (0) h (t ) + ∫ f1′(t − τ) h (τ) d τ |
– |
II форма интеграла Дюамеля. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя по частям, для произвольных переходных характеристик h (t ) получим: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2 (t ) = f1 (t ) h (0) + ∫ f1 |
(τ) h′ (t − τ) d τ |
– |
III форма интеграла Дюамеля. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2 (t ) = f1 (t ) h (0) + ∫ f1 |
(t − τ) h′ (τ) d τ |
– |
IV форма интеграла Дюамеля. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Практический выбор формы интеграла Дюамеля определяется из соображений простоты вычисления подынтегральных выражений.
Рассмотрим применение интеграла Дюамеля для расчёта переходных процессов при произвольных воздействиях.
30 /117
f1(t)
F1 f1(0) f11(t)
0 |
t1 |
t2 |
t |
|
|
F2 |
|
Выделяем следующие интервалы
1. t < 0 , f2 (t ) = 0 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. 0 ≤ t ≤ t1 , f2 (t ) = f1 (0) h (t ) + ∫ f11 '(τ) h (t − τ) d τ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
2 |
( |
) |
|
1 ( |
|
) |
|
( |
) |
|
|
t1 |
11 ( |
) |
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
1 |
|
|
( |
|
|
1 ) |
|
|
t |
|
22 |
( |
) |
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
< t < t |
|
|
|
|
|
+ |
∫ |
|
|
− τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
∫ |
|
|
|
− τ |
|
|
τ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. t |
|
|
f |
t |
|
= f |
|
0 |
|
h |
|
t |
|
|
|
f |
|
' τ |
|
h |
|
t |
|
d τ + F h |
|
t − t |
|
|
f |
|
|
' τ |
|
h |
|
t |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
t2 < t < ∞ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
( |
) |
1 ( |
|
) |
|
( |
) |
|
t1 |
11 |
( |
|
) |
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
1 |
|
( |
|
|
|
1 ) |
|
t2 |
|
22 |
( |
) |
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
2 |
|
( |
|
|
|
|
2 ) |
|
t |
|
33 |
( |
) |
|
( |
|
) |
|
||||||||
|
|
|
+ |
∫ |
τ |
|
|
|
− τ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
∫ |
|
|
|
− τ |
|
|
|
|
|
− t |
+ |
∫ |
|
|
t − τ |
d τ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f |
t |
|
= f |
|
0 |
|
h |
t |
|
|
f |
' |
|
h |
|
|
t |
|
d τ + F h |
|
t − t |
|
f |
|
|
|
' τ |
|
h |
|
t |
|
d τ − F h |
|
t |
|
|
|
f |
|
'τ |
|
h |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрирующие и дифференцирующие цепи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЛЭЦ |
|
|
|
|
f2(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f1(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2 (t ) = df1 (t ) – дифференцирующая цепь; dt
f1 (t ) dt – интегрирующая цепь;
Дифференцирующие цепи
i(t) R |
|
|
u1(t) |
L |
u2(t) |
di (t ) – выходное напряжение dt
Запишем уравнение Кирхгофа в операторной форме:
U1 ( p) = I ( p ) R + I ( p) pL = UR ( p ) + UL ( p) , потребуем
чтобы UR ( p ) UL ( p) , то есть R pL , тогда U1 ( p ) ≈ I ( p) R , откуда I ( p) ≈ U1 ( p) .
R
U2 ( p) = I ( p) pL = U1 ( p) pL = τL pU1 ( p ) . R
На основании теоремы о дифференцировании оригинала получаем: u2 (t ) = τL du1 (t ) . dt