KR_tets
.pdfA(Ω ) = |
|
|
|
= 20lg |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
T( jΩ ) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
B(Ω ) = arg{Γ }= arg |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.4) |
|
|
|
|
|
|
T( jΩ ) |
Зададимся частотами Ω( Ω р )для расчёта характеристик. Выберем несколько частот для ПП в пределах Ω = 0 1 (Ω p = 0 ÷ 1) и одну
Ω = Ω3 (Ω р = Ω3 р ) для ПН.
а) Расчёт A(Ω )в ПП
Для фильтров Баттерворта, имеющих монотонно нарастающий характер (рис. 3.1, 3.4) зависимостей A(Ω) и B(Ω), производим выбор пяти частот
произвольно, включая Ω1 = 0 и Ω2 = 1.
Для фильтров же Чебышева с равноволновой характеристикой рабочего ослабления в ПП необходимо выбрать в качестве расчётных частоты
экстремумов A(Ω). Число экстремальных точек A(Ω) |
равно ( n + 1)(n -порядок |
фильтра). Обратим внимание на то, что при n - четном имеем на |
|
Ω = 0 максимум рабочего ослабления A(Ω), равный |
A, а при n - нечетном – |
минимум ослабления A(Ω), равный 0 (рис.3.3а). Значения A(Ω )в точках Ωmax m
должны быть равны |
A, а в точках Ωminυ |
- нулю, то есть: |
||||||||||||
A(Ω ) |
|
Ω = Ωmaxm = A |
и |
A(Ω ) |
|
Ω = Ωminυ |
= 0 . |
(6.5) |
|
|||||
|
|
|
||||||||||||
Для определения Ωmax m и Ωminυ воспользуемся формулами: |
||||||||||||||
|
|
Ωmaxm |
= cos |
( m − 1)π |
, где |
m = 1,2,K,n + 1 |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2υ − 1) |
|
|
|
|
, |
||||
|
|
Ωminυ = sin |
, где υ = 1,2,K,n |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
n |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.6) |
из которых выбираются только положительные значения, или табл. 6.1, где приведены значения этих частот для ФНЧ до седьмого порядка.
б) Расчет A(Ω ) в ПН
Так как в ПН зависимости A(Ω ) как фильтров Баттерворта, так и фильтров Чебышева имеют монотонно нарастающий характер (см. рис. 3.1 и 3.3а), достаточно убедится в выполнении условия (6.2) лишь на граничной частоте
ПН. Поэтому в качестве расчётной выбираем в ПН одну частоту Ω = Ω3 . Примечание. Следует отметить, что на этапе аппроксимации уже
выполняется расчет значений аппроксимированной (3.8) функции A(Ω ) на частотах: Ω1 = 0 , Ω2 = 1 и Ω3 . Эти значения можно использовать в данном
разделе курсовой работы.
в) Расчёт B(Ω )производится по (6.4) на тех же частотах, что и расчёт A(Ω ).
Таблица 6.1 Значения частот минимумов и максимумов для фильтра Чебышева.
n |
Ωminυ |
Ωmax m |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
2 |
0,707 |
0; 1 |
|
|
|
3 |
0; 0,866 |
0,5; 1 |
|
|
|
4 |
0,383; 0,924 |
0; 0,707; 1 |
|
|
|
5 |
0; 0,588; 0,951 |
0,309; 0,809; 1 |
|
|
|
6 |
0,259; 0,707; |
0; 0,5; 0,866; 1 |
|
0,966 |
|
7 |
0; 0,434; 0,782; |
0,022; 0,623; |
|
0,975 |
0,901;1 |
6.1.2 Преобразование частотных характеристик фильтра
Для преобразования нормированных A(Ω )и B(Ω ) в соответствующие
частотные характеристики A( f )и B( f ) ФНЧ, ФВЧ и ПФ необходимо рассчитать значения денормированных и преобразованных (в случае ФВЧ и ПФ) частот, соответствующих нормированным частотам Ω ФНЧ.
Для ФНЧ осуществляем лишь денормирование частот характеристик
согласно (2.2): f = Ω f2
Для ФВЧ и ПФ используем преобразование частоты и её денормирование по (2.3), (2.4) ÷ (2.7). Тогда для ФВЧ:
Ω = |
1 |
|
f = |
f2 |
= f |
|
Ω |
|
|
|
2 |
|
|||||
|
Ω p ; |
|
Ω p |
, |
(6.7) |
|||
|
|
|
в результате чего частотам f будут соответствовать рассчитанные ранее
значения A(Ω p )и [− B(Ω p )]. Для ПФ:
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ω = |
|
|
( |
Ω pa + a2Ω р2 + 4 ),Ω > 1, |
||||||
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
f |
2 |
− f ′ |
|
|||
Ω ′ = |
|
|
|
, f = Ω f0 , a = |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Ω |
|
|
|
|
f0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
(6.8) |
где Ω’ - нормированные частоты, соответствующие частотам, f’
расположенным слева от f0 (рис. 2.3а) и геометрически симметричным частотам f. В результате данного преобразования каждой паре частот f и f’, связанных
соотношением f f ′ = f02 , будут соответствовать рассчитанные ранее значения
A(Ω p )и значения [± B(Ω p )].
После преобразования и денормирования частот: Ω → f (Ωр → f) получаем искомые частотные характеристики A(f) и B(f) фильтра. По результатам расчёта строим зависимости рабочего ослабления и рабочей фазы. Убеждаемся в выполнении технических требований и делаем соответствующие выводы.
Пример 6.1. Выполнить аналитический расчёт частотных характеристик A(f) и B(f) ФВЧ по аппроксимированной в примере 3.2 функции
|
|
1 |
|
T( p ) = |
|
0,479 |
|
( p |
2 +0,716 p+1,3421)( p2 +1,8746 p+1,34 )( p+1,1586 ) |
||
|
с f2 = 20 кГц, f1 =10 кГц, A = 1,1 дБ, Amin = 20 дБ.
1.Выберем расчётные частоты Ωр:
вПП – 5 частот (так как фильтр Баттерворта), включая Ωр1 = 0 и Ωр2 = 1:
Ωр — 0; 0,25; 0,5; 0,75; 1.
и в ПН — Ωр = Ωр3 = 2.
1
Найдём функцию T , с помощью которой согласно (6.3), (6.4) определим искомые A(Ωр) и B(Ωр).
1 = 0,479{[(1,3421 − Ω р2 )+ j0,716Ω р ]× T
× [(1,3424 − Ω р2 )+ j1,8746Ω р ](1,1586 + jΩ р )}
Проведём подробный расчёт на двух частотах Ωр=0 и Ωр=1:
|
|
1 |
|
= 0,479 1,3421 1,3424 1,1586 = 0,999 e j00 |
|||||||
|
|
|
|||||||||
Ω p = 0 , T |
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A = 20lg |
1 |
|
= 20lg0,999 0 |
|
откуда по (6.4) |
T |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
B = arg |
|
|
= 0 |
||||||||
|
|||||||||||
и |
T |
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
= 0,479[(0,3421+ j0,716 )(0.3424 + j1,8746 )× |
|||||||||
Ω p = 1 T |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
×(1,1586 + j )]= 1,10855 e j1850 , откуда A = 20lg1,10855 = 0,896 ≈ 0,9дБ
B= 1850 .
2.Аналогично производим расчёты на остальных частотах. Результаты расчёта занесём в табл.6.2 учитывая, что знак рабочей фазы для ФВЧ будет отрицательным.
Таблица 6.2 Расчётные значения рабочего ослабления и рабочей фазы на заданных частотах.
Ωр |
0 |
0,25 |
0,5 |
0,75 |
1,0 |
2,0 |
Ω |
∞ |
4 |
2 |
1,333 |
1 |
0,5 |
f (кГц) |
∞ |
80 |
40 |
27 |
20 |
10 |
|
0 |
0,00032 |
0,00057 |
0,0556 |
0,896 |
26,9 |
А (дБ) |
|
|
|
|
|
|
В |
0 |
-40,3 |
-82 |
-128,4 |
-185 |
-336,9 |
(град) |
|
|
|
|
|
|
3. Выполним преобразование и денормирование частоты для ФВЧ по (6.7), заполняя соответствующие графы табл. 6.2 (Ω и f). Например,
1
Ω p = 0,25 Ω = Ω p = 4
f= f2 4 = 80 кГц.
4.Построим графики A(f)и B(f) (рис. 6.1) по результатам расчёта. Проверка технических требований по табл. 6.2 и рис. 6.1 подтверждает
соответствие аппроксимированной в примере 3.2 T( p ) техническому заданию.
Рис. 6.1 Графики зависимости рабочего ослабления и рабочей фазы фильтра верхних частот.
Пример 6.2 Рассчитать A(f) и B(f) ПФ по функции T( p ) ФНЧ-прототипа, полученной в примере 3.3:
|
|
1 |
4,296 |
|
||
|
|
|
||||
T( p ) = |
|
|
|
|
||
|
2 |
|
2 |
|
||
|
||||||
( p |
+ 0,2694 p+ 0,9772 )( p |
+ 0,6504 p+ 0,2703 ) |
||||
с f0 =10 кГц, f’2= 6,93 кГц, f2=14,43 кГц, f3=20 кГц, |
||||||
f’3=5 кГц, A=1,1 дБ, Amin=28 дБ, |
a = 0,75. |
|
|
1. Выберем в качестве расчётных частот в ПП - частоты экстремумов Ωp max mи Ωp min ν по табл. 6.1 (так как фильтр Чебышева): Ωp = 0; 0,383; 0,707; 0,924; 1,0 и в ПН - Ωp= =Ωp3 =2.
1= 4,296{[(0,9772 − Ω p2 ) +
2.Определим функцию T
+j0,2694Ω p ] [(0,2703 − Ω p2 )+ j0,6504Ω p ]},
по которой рассчитаем A(Ωp) и B(Ωp) (6.4). Расчётные значения сведём в табл. 6.3, учитывая, что рабочая фаза ПФ имеет знак ± в зависимости от расположения частот относительно центральной f0.
3. Выполним преобразование и денормирование частоты для ПФ по (6.8). Например:
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
Ω |
p |
= 0,383 Ω′ = |
(0,383 0,75 + |
0,752 0,3832 + 4 ) = 0,8667 |
|||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f ′ = f0Ω ′ = 10 0,8667 = 8,667 кГц. Здесь а=0,75. |
|
||||||||||
Ω = |
1 |
|
= 1,1538 = 1,154 f = f Ω = 10 кГц 1,154 = 11,54 кГц |
|
|||||||
|
Ω |
′ |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заполним соответствующие графы (Ω, Ω’, f, f’) табл. 6.3.
4. По результатам расчёта построим графики рис.6.2 и 6.3. По ним убеждаемся в выполнении технических требований к ПФ, что свидетельствует о правильности выполнения этапа аппроксимации в примере 3.3.
Таблица 6.3 Расчётные значения рабочего ослабления и рабочей фазы на заданных частотах.
Ωp |
0 |
0,383 |
0,707 |
0,924 |
1 |
2 |
Ω’ |
1 |
0,8667 |
0,769 |
0,714 |
0,693 |
0,5 |
Ω |
1 |
1,154 |
1,3 |
1,4 |
1,443 |
2 |
f’(кГц) |
10 |
8,667 |
7,69 |
7,14 |
6,93 |
5 |
f (кГц) |
10 |
11,54 |
13 |
14 |
14,43 |
20 |
A(дБ) |
1,1 |
0 |
1,098 |
0 |
1,1 |
34,3 |
B(град) |
0 |
M 70,5 |
M 138,5 |
M 197,8 |
M 233,12 |
M 330,6 |
Рис. 6.2 Графики зависимости рабочего ослабления и рабочей фазы полосового фильтра.
Рис. 6.3 Графики зависимости рабочего ослабления полосового фильтра в полосе пропускания.
В ОглавлениеОшибка! Закладка не определена. Оглавление
В
Оглавление
6.2.Расчёт характеристик фильтра на ЭВМ
6.2.1.Расчёт частотных характеристик фильтра на ЭВМ
Как было отмечено выше, наиболее полной проверкой правильности расчета спроектированного фильтра является расчет частотных зависимостей А(f) и В(f) по передаточной функции Т(jω), выраженной через элементы фильтра. Фильтр представляет собой реактивный четырехполюсник лестничной структуры. С учетом источника сигнала с внутренним сопротивлением R1 и сопротивления нагрузки R2 полная схема имеет вид, представленный на рис.6.3.
Рис. 6.3 Представление фильтра в виде четырёхполюсника с лестничной структурой.
Рабочая передаточная функция такой схемы может быть определена следующим образом:
|
|
Τ (jω )= |
1 |
|
2 |
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
( jω ) |
R2 , |
(6.9) |
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 + Z1 ( jω) |
1 |
0 |
0 |
|
| |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
−1 |
Y2 ( jω) |
1 |
0 |
|
| |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
−1 |
Z3 ( jω) |
1 |
|
| |
0 |
0 |
|
|
|
( jω) = |
0 |
0 |
−1 |
Y4 ( jω) | |
0 |
0 |
|
|
|||
|
− |
− |
− |
− |
− |
|
− |
− |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
| Zn( jω) 1 |
|
|
|||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
| |
|
−1 |
G2 |
|
|
Так как двухполюсник в продольных и поперечных ветвях лестничной схемы являются реактивными, то после раскрытия по строке или столбцу континуант (jω) будет иметь вещественную и мнимую часть:
В результате выражение (6.9) примет вид:
(jω) =a+jb
|
T( jω ) = |
2 R1G2 |
|
|
|||||
|
|
a + jb |
(6.10) |
||||||
|
|
|
|
||||||
Рабочее ослабление фильтра с учетом выражения (6.10) может быть |
|||||||||
рассчитано так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(ω ) = 20lg |
1 |
= 20lg |
|
a2 + b2 |
|
||||
T( jω ) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 R1G2 |
(6.11) |
|||||
|
|
|
|
Так как в ряде случаев при проектировании фильтров предъявляются требования к фазовым характеристикам, то может возникнуть необходимость проверочного расчета частотной зависимости рабочей фазы В(f) в соответствии с выражением:
B(ω ) = arg |
1 |
|
= arctg |
b |
|
|
T( jω ) |
a |
(6.12) |
||||
|
|
|||||
Нахождение |
континуанта |
(jω) и расчет вручную в соответствии с |
выражениями (6.11) и (6.12) частотных характеристик A(f) и B(f) являются достаточно громоздкими и длительными по выполнению. Поэтому расчеты рекомендуется выполнять на ЭВМ в программе MathCAD По следующему алгоритму:
1.Ввести величины элементов и обозначить j = −1 .
2.Записать (j▪2•π•f) в соответствии со своей схемой и Т(j▪2•π•f) по выражению (6.9)
3.Записать формулы для А(f) и В(f) через Т(j▪2•π•f).
4.Построить графики А(f) и В(f), используя графическую палетку.
5.Вычислить рабочие ослабление и фазу на нужных частотах (0.. ,f2 f3)
6.Сделать выводы о выполнении требований к фильтру.
6.2.2 Расчет временных характеристик на ЭВМ
Для расчета временных характеристик, например переходной характеристики h(t), необходимо получить операторное выражение этой характеристики H(p)=Tu(p)/p, где Тu(р) — операторный коэффициент передачи по напряжению разработанного фильтра. Для этого нужно записать ∆(р) для своей схемы, используя операторные сопротивления и проводимости продольных и поперечных ветвей фильтра.
Тогда Тu(р)=1/ (р).
Переходная характеристика может быть найдена как оригинал операторного выражения h(t) + 1/(/ (р)•р).
Для расчета на ЭВМ в программе MathCAD рекомендуется следующий порядок:
1. |
Ввести величины элементов и записать (р). |
2. |
Записать формулу для H(p) через (р). |
3.Найти h(t), используя методы символического вычисления и обратного преобразования Лапласа.
4.Построить график h(t), используя графический интерфейс.
6.2.3. Пример расчета
Ниже приведен пример расчета характеристик ФНЧ Чебышева 4 порядка с
A=0,2 дБ, f2=1000Гц, f3=2400Гц,
Amin = 30 дБ с использованием MathCAD 2001.
Сначала записывают исходные данные путем присвоения.
R1=291, R2=450, L1=0.0605, C2=7,002*10-7, L3=0,0918, C4=4,612*10=7, j = − 1 Далее записывают присвоением матрицу схемы фильтра, причем для ускорения расчетов матрица (континуант) сразу записана в операторном виде.
R1+ pL1 |
1 |
0 |
|
0 |
|
|
Tu( p ) = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
−1 |
pC2 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( p ) |
|
|
Здесь знак |
||||
( p) = |
0 |
−1 |
pL3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
0 |
−1 |
рС4 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
используется для вычисления определителя по матрице, потом записывают присвоением формулу рабочего ослабления.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A( f ) = 20log |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
Tu(j2π f ) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
R2 |
|
|
Здесь знак |
|
используется для вычисления |
|
|
|
|
модуля функции. Графики зависимости рабочего ослабления для полос непропускания и пропускания приведены на рис.6.4 и 6. 5.
Рис.6.4 Графики зависимости рабочего ослабления синтезируемого фильтра.
Рис.6.5 Графики зависимости рабочего ослабления синтезируемого фильтра в |
||||||||||||||
полосе пропускания. Далее вычисляют, используя знак равенства, ослабление |
||||||||||||||
на конкретных контрольных частотах: |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A(0) = 0.205 |
A(1000) = 0.195 |
A(2400) = 33.598 |
|||||
Как видно из графиков и данных вычислений ослабления требования к |
||||||||||||||
фильтру выполняются достаточно хорошо. |
|
|
||||||||||||
Mathcad иногда сразу не считает ослабление, тогда надо вводить промежуточные |
||||||||||||||
обозначения. |
i := |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
D(f) := |
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π f i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
D1(f) := |
D(f) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D(0) = 1.647 |
|
|
|
|
|
D1(f) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
D1(0) = 1.647 |
|
|
|
A(f) := 20log |
R1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
Расчет фазовой характеристики |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
( |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B(f) := arg |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
T |
2π f i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
B(f) := arg(D(f)) |
||
B(0) = 0 |
|
|
B(1000) = −3.121 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B(f) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 0 |
300 |
600 |
900 |
1200 |
1500 |
1800 |
2100 |
2400 |
2700 |
3000 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
График рабочей фазы в радианах . |
|
|
|