3_elektrichesky_tok_bez_oformlenia
.pdfЗакон Джоуля-Ленца. Работа и мощность тока |
21 |
Из уравнения видно, что полезная мощность, развиваемая источником, зависит от величины внешнего сопротивления. Меняя внешнее сопротивление, можно получить во внешней цепи максимальную полезную мощность Pm. Значение сопротивления внешней цепи R Rm, соответствующее максимальной мощности, получим дифференцируя выражение для полезной мощности по R и приравнивая производную нулю:
dP |
|
d |
|
E |
2 |
R |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
r R |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2R |
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
3 |
|
3 |
0. |
||||||||
dR |
|
|
|
|
=E |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
dR |
|
r |
|
|
|
|
|
R r |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
R |
|
|
R r |
|
|
|
r R |
|
|
Учитывая, что R и r всегда положительны, получим: |
|
R Rm r . |
(2) |
Мощность, выделяемая во внешней цепи, достигает наибольшего значения, если сопротивление R внешней цепи равно внутреннему сопротивлению r источника тока.
Рассмотрим, зависимость полезной мощности от силы тока в цепи. Для этого в формулу P I2R подставим сопротивление внешней цепи, выраженное из закона Ома для замкнутой цепи:
PI2R I2 E r I E Ir EI rI2.
I
Отсюда видно, что полезная мощность P меняется с изменением силы тока I по параболическому закону. Полезная мощность обращается в нуль, если I(E Ir) 0 . Это даёт два значения тока:
I1 0, I2 Er.
Первое решение соответствует разомкнутой цепи (R r ), второе — короткому замыканию (R r ).
Исследуя данную функцию на максимум (беря производную и приравнивая нулю), получаем, что максимальное значение полезной мощности достигается при
P E 2rI 0 |
|
Im |
E |
. |
(4) |
|
|||||
|
|
|
2r |
|
Если сравнить полученное выражение с законом Ома для замкнутой цепи, то видно, что это условие аналогично условию для со-
22 Постоянный ток
противлений, т.е. когда сопротивление внешней цепи R равно внутреннему сопротивлению источника r.
Наибольшее возможное значение полезной мощности:
Pm Im (E Imr) 2Er E 2Er r E4r2 .
Зависимость КПД от силы тока выражается следующей формулой:
|
P |
|
UI |
|
U |
|
E Ir |
1 |
r |
I. |
|
EI |
|
E |
|
||||||
|
P0 |
|
E |
|
E |
|
КПД достигает наибольшего значения 1 в случае, когда внешнее сопротивление на много порядков превышает внутреннее, что соответствует практически разомкнутой цепи I E(R r) 0, и затем, уменьшаясь, обращается в нуль при коротком замыкании: U 0.
Рис. 2.
Графики зависимости полезной мощности P P(I) и КПД от силы тока (I) показаны на рис. 2. Видно, что условия получения наибольшей полезной мощности и наибольшего КПД несовместимы. Когда мощность достигает наибольшего значения Pm КПД m 0.5 или 50%. Когда же КПД близок к единице, полезная мощность мала. В силовых электрических установках важнейшим требованием является получение высокого КПД, а для этого мощность потерь (мощность, выделяемая в источнике тока), как разность полной и полезной мощностей должна быть мала по сравнению с полной или полезной мощностью:
Pпот P0 P IE UI rI2 UI RI2,
т.е. внутреннее сопротивление r источника должно быть мало по сравнению с сопротивлением R нагрузки (сети).
Зарядка и разрядка конденсатора |
23 |
В случае короткого замыкания R 0, полезная мощность |
P 0 и |
вся мощность выделяется внутри источника, что может привести к перегреву внутренних частей источника и выходу его из строя. По этой причине короткие замыкания мощных источников недопустимы.
Зарядка и разрядка конденсатора
Рассмотренные законы получены для постоянных токов. Но эти законы применимы и для непостоянных, изменяющихся токов, если только изменение силы тока происходит не слишком быстро.
Если изменения тока настолько медленны, что за время установления электростатического равновесия изменения токов и ЭДС малы, то мгновенные значения токов и ЭДС будут подчиняться всем законам постоянного тока. Такие токи называют медленно изме-
няющимися или квазистационарными.
Рассмотрим процессы разрядки и зарядки конденсатора.
Разрядка конденсатора
Рассмотрим цепь содержащую конденсатор и сопротивление. После замыкания ключа, с пластины с положительным зарядом q будет истекать ток
i dtq dtdq ,
где q — заряд, проходящий через поперечное сечение проводника за время dt, dq — изменение заряда данной обкладки за то же время (отрицательное, т.к. заряд обкладки уменьшается). Падение потенциала на сопротивлении будет равно Ri. С другой стороны, оно должно быть равно падению потенциала на обкладках конденсатора qC :
q |
Ri R |
dq |
|
dq |
|
dt |
. |
C |
dt |
q |
|
||||
|
|
|
RC |
Проинтегрируем левую и правую части от начального момента времени t0 0 до произвольного:
ln q q0 |
t |
|
q q0 exp t , |
|
RC |
||||
|
|
|
где 1(RC).
24 Постоянный ток
Таким образом заряд и напряжение на конденсаторе (uC qC) экспоненциально уменьшаются, так же как и сила тока:
i q q0 exp t RCq0 exp t UR0 exp t I0 exp t .
Зарядка конденсатора
Рассмотрим цепь содержащую конденсатор, сопротивление и источник тока (ЭДС). После замыкания ключа, конденсатор начнёт заряжаться. При этом, на пластину с положительным зарядом q будет втекать ток
i dtq dqdt .
Теперь dq имеет положительный знак, т.к. заряд обкладки увеличивается. Падение потенциала на сопротивлении равно Ri, а на обкладках конденсатора qC. Сумма данных падений потенциала компенсируется в цепи действием ЭДС:
Ri Cq E.
Внутреннее сопротивление источника тока либо отсутствует (источник постоянного напряжения на клеммах), либо входит в сопротивление R. Разделим переменные в полученном выражении:
R |
dq |
|
q CE |
|
dq |
|
dt |
. |
dt |
C |
|
|
|||||
|
|
|
q CE |
CR |
Перейдём к новой переменной uR E qC; duR dqC :
duR dt dt. uR CR
Проинтегрируем левую и правую части от начального момента времени t0 0 до произвольного:
|
uR UR0 exp t ; |
E uC E UC0 exp t ; |
|||||||
uC E E UC0 exp t ; |
q CE CE q0 exp t . |
||||||||
Для тока |
|
|
|
|
|
|
|||
i q |
CE q0 |
exp t |
E q0 |
C |
exp t |
UR0 |
exp t |
u |
|
|
|
|
R |
R |
|||||
|
CR |
R |
|
|
|
Зарядка и разрядка конденсатора |
25 |
Содержание |
|
Лекция 1. Постоянный ток............................................................................................... |
2 |
Электрический ток............................................................................................................... |
2 |
Сторонние силы. ЭДС......................................................................................................... |
4 |
Закон Ома.................................................................................................................................... |
6 |
Электрическое сопротивление проводников.................................................. |
7 |
Последовательное и параллельное соединение проводников.................. |
9 |
Закон Ома в дифференциальной форме........................................................ |
10 |
Законы Ома для неоднородного участка цепи.......................................... |
11 |
Лекция 2. Постоянный электрический ток (продолжение)Ошибка! Заклад |
|
Разветвлённые цепи. Правила Кирхгофа...................................................... |
15 |
Простейшая микроскопическая теория тока.............................................. |
17 |
Закон Джоуля-Ленца. Работа и мощность тока....................................... |
19 |
Квазистационарные токи. Зарядка и разрядка конденсатора..... |
23 |
Содержание.................................................................................................................................. |
25 |