Задача 13
OO 2
___ ┌ 2 ┐n
\ │n - 4n + 7 │ n
> │────────────│ ∙(x + 9)
/___│ 2 │
n=1 │2n + 3n + 4│
└ ┘
Найдем R - радиус сходимости данного степенного ряда
┌ 2 ┐-1/n
│┌ 2 ┐n │
││n - 4n + 7 │ │
R = lim ││────────────│ │ =
n─>OO ││ 2 │ │
││2n + 3n + 4│ │
└└ ┘ ┘
┌ ┐n
│ -1 -2│
│2 + 3∙n + 4∙n │
= lim │─────────────────│ =OO
n─>OO │ -1 -2│
│1 - 4∙n + 7∙n │
└ ┘
Степенной ряд сходится абсолютно в (-OO ; +OO)
Задача 14
Проинтегрируем уравнение с разделяющимися переменными
┌ dy ┌ dx
│ ─────── = │ ────── + C ;
┘ 6y + 16 ┘ 6x + 2
(1/6)Ln│6y + 16│ = (1/6)Ln│6x + 2│ + C
6y + 16 = C (6x + 2)
1
y(0)=8
48 + 16 = 2∙C ; C = 32
1 1
6y(x) + 16 = 32(6x + 2);
6y(x) + 16 = 192x + 64
6y(x) = 192x + 48
y(x) = 32x + 8
Задача 15
Найдём y (x)-общее решение соответствующего однородного уравнения
0
y'' + 12y' + 11y = 0
Для этого составим характеристическое уравнение
2
k + 12k + 11 = 0,
его корни:
k1 = -11, k2 = -1
Отсюда
-11x -x
y(x) = C e + C e
0 1 2
Частное решение y (x) исходного неоднородного уравнения
1
будем искать в виде
y(x) = Ax + B
1
Подставляя y (x) в исходное уравнение, получаем
1
12A + 11(Ax+B) = 11Ax + 12A + 11B = 242x + 77
┌
│ 11A = 242
<
│ 12A + 11B = 77
└
┌
│ A = 22
<
│ B = -17
└
Запишем ответ в виде
-11x -x
y(x)=C e + C e + 22x - 17
1 2
Задача 16
Найдём y (x)-общее решение соответствующего однородного уравнения
0
y'' + 6y' - 55y = 0
Для этого составим характеристическое уравнение
2
k + 6k - 55 = 0,
его корни:
k1 = -11 , k2 = 5
Отсюда
-11x 5x
y (x)=C e + C e
0 1 2
Частное решение y (x) исходного неоднородного уравнения
1
будем искать в виде y (x)= A exp(4x)
1
Тогда
(y (x))'=A 4exp(4x)
1
(y (x))''=A 16exp(4x)
2
Подставляя y (x) в исходное уравнение, после сокращения
1
на exp(4x) получаем
A16 + 24A - 55A = -75, A = 5
Запишем ответ в виде
-11x 5x 4x
y(x)=C e + C e + 5 e
1 2
Задача 17
Коэффициент a разложения функции f(x) по степеням (x-4)
1
(n)
имеет вид f (a)
───────
n!
В нашем случае
2
a = 24∙4 + 16∙4 + 4 = 452
1