Системы счисления и коды, применяемые в вычислительной технике

Системой счисления (с.с.) называется способ представления чисел посредством цифровых знаков.

В качестве цифровых знаков используются арабские и римские цифры.

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

Примером непозиционных с.с. может служить римская или латинская с.с. Она включает в себя следующие цифровые обозначения: 1 – I; 2-II; 3-III; 4-IV; 5-V; 10-X;…; 50-L; 100-C; 500 - D; 1000-M и т.д.

Пример 3. Записать числа 114; 155; 1999 римскими цифрами:

114 — CXIV; 155 — CLV; 1999 — MCMXCIX.

В виду сложности не нашла своего применения в математике.

В позиционной с.с. с основанием p числа представляются в виде последовательности цифровых знаков:

N=(a_na_n-1a_n-2… a₂a₁ a₀, a_-1 a_-2 a_-3)_p

Основание системы счисления – это количество цифр используемых для формирования данной системы счисления.

В зависимости от основания системы счисления различают:

• десятичную с.с. (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9);

• двоичную с.с. (0, 1);

• восьмеричную (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7);

• шестнадцатеричную (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F) .

В этих системах значение цифры определяется местом (позицией), где она стоит в числе

Пример 4. 6321(10) = 6 3 2 1 = 6*10³+3*10²+2*10+1

каждую позицию цифры в числе принято оценивать «весом» показателем степени системы счисления. В первой справа пози­ции размещаются единицы (для целого числа), в соседней с ней второй позиции – десятки, в третьей – сотни, в четвертой - тысячи и т.д. Дробная часть десятичного числа находится справа от десятичной точки, используемой для отделения целой части числа от дробной. Каждая позиция справа от десятичной точки имеет свой вес (10^-1, 10^-2 и т.д).

В любой позиционной с.с. число может быть записано через полином (многочлен):

а_т-1Р ^т-1+а_т-гР ^m-1+...+а₁Р ^-1+а₀Р ⁰+а_-1Р ^-1+а_-2Р ^-2+...+a_-sP ^-s, (1)

где нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд):

• положительные значения индексов —для целой части числа(тразрядов);

• отрицательные значения —для дробной(sразрядов).

Пример 5. 237,71(10) = 2*10²+3*10¹+7*10⁰+7*10^-1+1*10^-2

Двоичная система счисления имеет основание Р = 2 и использует для представле­ния информации всего две цифры: 0 и 1.

Существуют правила перевода чисел из одной сис­темы счисления в другую, основанные, в том числе и на соотноше­нии (1).

Пример 6. 101110,101₍₂₎ =

1•2⁵+0•2⁴+1•2³+1•2²+1•2¹+0•2⁰+1•2^-1+0•2^-2+1•2^-3= 46,625_(10),

т.е. двоичное число 101110,101 равно десятичному числу 46,625. При записи числа в десятичной системе счисления каждая позиция занята десятичной цифрой. Аналогично при записи двоичного числа каждая позиция занята двоичной циф­рой, называемой битом. Часто используется термин –наименьший значащий бит (крайний справа) и наибольший значащий бит (крайний слева).

Преобразование двоичных чисел в десятичные.

При работе ЭВМ часто бывает необходимо заменить двоичные числа их десятичными эквивалентами.

Процедура преобразования двоичного числа в десятичное проста: необходимо сложить десятичные веса всех разрядов двоичного числа, в которых содержаться единицы.

Пример 7. Преобразование вещественного двоичного числа: 101.011 в десятичное:

1. 0 1. 0 1 1 = 1*2² +0* 2¹+1* 2⁰+0* 2^-1+ 1*2^-2+1*2^-3 =5.375(10)