Контрольная работа по ОТМО

Теоретические сведения

Простейший поток

Если поток требований обладает свойством стационарности, ординарности и отсутствием последействия, то такой поток называется простейшим.

Вероятность поступления k требований за промежуток времени t в пуассоновском потоке определяется из выражения:

Интервал времени Т между двумя соседними событиями простейшего потока имеет показательное распределение:

где - величина обратная среднему значению интервала Т. Математическое ожидание (М), дисперсия (D) и среднеквадратическое отклонение (σ) промежутка Т равны:

Полученное совпадение величин М и характерно для показательного распределения. Это свойство на практике используют как критерий для первоначальной проверки соответствия гипотезы о показательном распределении, полученном по статистическим данным.

Рассмотрим пример. По шоссе мимо наблюдателя движется в одном направлении простейший поток автомобилей. Известно, что вероятность отсутствия машин в течении 5 минут, равно 0,5. Необходимо вычислить вероятность того, что за 10 минут мимо наблюдателя пройдет не более двух машин.

Для того, чтобы решить эту задачу, примем:

Найдем интенсивность потока автомобилей, используя известную нам вероятность отсутствия автомобилей за 5 минут:

Теперь мы можем вычислить необходимую нам вероятность:

Суммирование и разъединение простейших потоков

При объединении нескольких независимых простейших потоков образуется также простейший поток с параметрами, равными сумме параметров исходных потоков. При разъединении на n направлений так, что каждое требование исходного потока с вероятностью р_i поступает на i-oe направление поток i-oго направления будет также простейшим с параметром p_i.

Эти свойства простейшего потока широко используются на практике, так как значительно упрощают расчёты стационарного оборудования и информационных сетей.

Рассмотрим пример. Поток машин, идущих по шоссе в одном направлении, представляет собой простейший поток с интенсивностью 4 машины в минуту. Шоссе имеет развилку в два направления. Вероятность движения машин в первом направлении 0,12, во втором – 0,88. Определить интенсивности в обоих направлениях.

Решение. =4 [1/мин]

P₁(t)=0,12

P₂(t)=0,88

Теорема Литтла

Среднее число требований в системе N и среднее время пребывания в системе Т связаны между собой представленным соотношением:

,

где - средняя скорость поступления требований в систему.

Рассмотрим пример. В три узла сети связи поступают пакеты с интенсивностями =100 пак/сек, =200 пак/сек, =252 пак/сек. Определить среднюю задержку пакета в сети, если общее число пакетов внутри сети 1618.

Т=1618/(100+200+252)=2,93 сек

Задание на контрольную работу

Задача 1. В справочную службу поступает простейший поток телефонных вызовов. Известно, что вероятность отсутствия вызовов в течении t₁ минут, равно 0,5. Необходимо вычислить вероятность того, что за t₂ минут поступит не более n вызовов.

Задача 2. Пакеты, поступающие на маршрутизатор, представляют собой простейший поток с интенсивностью λ пакета в минуту. Маршрутизатор распределяет пакеты по двум направлениям. Вероятность маршрутизации пакетов в первом направлении p₁, во втором – p₂. Определить интенсивности в обоих направлениях.

Задача 3. В узел сети связи поступают пакеты с интенсивностью =100 пак/сек., Определить общее число пакетов внутри узла сети, если средняя задержка пакета равна T секунды.

Все необходимые исходные данные для выполнения контрольной работы по вариантам, где m – последняя цифра номера зачетной книжки, представлены в таблице 1.

Таблица 1

Параметр/m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
t1	2	5	3	1	2	5	6	4	1	10
t2	6	20	6	4	4	15	12	8	2	20
n	2	3	4	5	1	3	4	5	2	1
λ	20	10	15	5	3	35	16	14	8	7
p1	0.55	0.7	0.35	0.25	0.4	0.85	0.63	0.41	0.72	0.9
p2	0.45	0.3	0.65	0.75	0.6	0.15	0.37	0.59	0.28	0.1
T	1	1.5	2	2.5	3	3.5	0.5	0.7	0.6	0.8