Лосик М.В. - Лекции по векторному и тензорному анализу
.pdfЛекции по векторному и тензорному анализу
М.В. Лосик 2007
2
Введение
Курс "Основы векторного и тензорного анализа"предназначен для студентов 2-го курса физических специальностей. Это пособие написано на основе многолетнего опыта чтения данного курса. Его первая часть векторный анализ представляет собой изложение ряда понятий математического анализа с точки зрения пригодной для изучения физических процессов. В его основе лежит понятие независимости основных понятий, таких как скалярное и векторное поле, градиент скалярного поля, дивергенция и ротор векторного поля и т. п., от выбора системы координат. Так как на втором курсе студенты знакомы только с понятием трехмерного евклидова пространства модельного пространства для классической ньютоновой механики, то приходится ограничиться изложением векторного анализа в этом пространстве, считая заданной структуру этого пространства. Это позволяет использовать векторную алгебру, включая скалярное, векторное и смешанное произведения. Вторая часть курса вклю- чает в себя только элементы тензорной алгебры - определение тензоров произвольного типа в действительном линейном пространстве, примеры тензоров, основные операции над тензорами и понятие тензорного поля в трехмерном евклидовом пространстве. Фактическое применение этих понятий предполагается в будущих физических дисциплинах.
Предполагается, что читатель знаком с дифференциальным и интегральным исчислением в многомерном арифметическом пространстве, векторной алгеброй на плоскости и в пространстве и элементами линей-
ной алгебры, в частности, с понятиями n-мерного линейного (векторного) пространства, его базиса, линейного оператора и матрицы линейного оператора. Доказательства проводятся на уровне строгости привычном для физиков, т.е. мы пренебрегаем некоторыми деталями, которые счи- таются обязательными в математике.
В дальнейшем для краткости мы называем пространством трехмерное евклидово пространство, а плоскостью - двумерную плоскость этого
пространства. Множество действительных чисел обозначается через R, à n-мерное арифметическое пространство - через Rn. Чтобы отличить векторы от скаляров, мы будем ставить над ними стрелки, например ~a, или записывать их жирным шрифтом: grad èëè rot.
~
Скалярное произведение векторов ~a è b далее обозначается через
~ |
|
~ |
(~a, b), векторное произведение этих векторов через |
[~a, b] и смешанное |
|
~ |
~ |
|
произведение векторов ~a, b è ~c через (~a , b ,~c). |
|
Глава 1.
Векторные функции скалярных переменных
1.1.Векторная функция скалярной переменной и ее предел
Пусть U - некоторая область в R.
Определение 1. Говорят, что в области U задана векторная функция скалярного переменного t (или просто векторная функция), если для каждого t U задан вектор ~a(t).
Под словом вектор мы понимаем (свободный) вектор плоскости или пространства. В дальнейшем обычно область U - либо открытый (за-
мкнутый) интервал, либо окрестность точки t0 R, либо окрестность
точки |
t0 |
R |
с выброшенной точкой |
t0 |
. Векторные функции будут обо- |
|
|
||||
значаться следующим образом: |
|
~
~a(t), b(t), ~r(t) è ò. ï.
Пусть ~ ~ ~ (~ ~
i, j, k i, j) ортонормированный базис в линейном простран-
стве векторов пространства (плоскости). Тогда векторная функция ~a(t) может быть задана уравнением
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
(1.1) |
~a(t) = ax(t)i + ay(t)j + az(t)k |
~a(t) = ax(t)i + ay(t)j ), |
|
ãäå ax(t), ay(t), az(t) ( ax(t), ay(t) ) координаты вектора ~a(t) относитель-
но базиса ~ ~ ~ ( ~ ~
i, j, k i, j ). Таким образом, векторная функция скалярного переменного ~a(t) однозначно определяется своими координатами.
Определение 2. Пусть векторная функция ~a(t) определена в окрестности точки t0 за исключением быть может точки t0.
Вектор ~a называется пределом векторной функции ~a(t) в точке t0, åñëè limt→t0 |~a(t) − ~a| существует и равен 0. Обозначение предела ~a(t) обычное: ~a = limt→t0 ~a(t).
3
4
Заметим, что |~a(t) − ~a| является скалярной функцией переменной
t, для которой предел имеет обычный смысл. Следовательно, |
~a = |
limt→t0 ~a(t) тогда и только тогда, когда |
|
ε > 0 ) ( δ > 0 ) ( t 6= t0 è |t − t0| < δ) )( |~a(t) − ~a| < ε ). |
(1.2) |
Теорема 1. Пусть ~a(t)( ax(t), ay(t), az(t) ) векторная функция, определенная в окрестности точки t0 за исключением быть может точки t0, è ~a( ax, ay, az ) вектор, заданные своими координатами относительно
базиса ~ ~ ~
i, j, k limt→t0 ~a(t) существует и равен ~a тогда и только тогда, когда существуют пределы limt→t0 ax(t), limt→t0 ay(t) è limt→t0 az(t), которые равны соответственно ax, ay è az.
Доказательство. Расмотрим очевидное равенство
q
|~a(t) − ~a| = (ax(t) − ax)2 + (ay(t) − ay)2 + (az(t) − az)2. (1.3)
Следовательно, мы имеем
|ax(t) − ax|, |ay(t) − ay|, |az(t) − az| ≤ |~a(t) − ~a|.
Тогда, если предел limt→t0 ~a(t) существует и равен ~a, òî èç (1.2) è (1.3)
следует |
limt→t0 ax |
(t) = ax |
, |
limt→t0 ay(t) = ay |
è |
limt→t0 |
az(t) = az. |
|
||||||
Обратно, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
то ввиду(1.3) из |
|
limt→t0 |
ax(t) = ax |
, |
limt→t0 |
ay(t) = ay |
è |
limt→t0 |
az(t) = az |
, |
||||
|
|
определения 2 следует |
|
|
|
|
|
|
limt→t0 ~a(t) = ~a.
Мы оставляем читателю сформулировать и доказать соответствую-
щую теорему для векторной функции ~a(t) со значениями в множестве векторов плоскости. Впрочем ее доказательство вытекает из доказатель-
ства теоремы 1, если положить az(t) = az = 0. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся формулировками и доказательствами теорем только для
случая, когда векторная функция ~a(t) принимает значения в множестве векторов пространства.
Лемма 1. Если limt→t0 ~a(t) = ~a, òî limt→t0 |~a(t)| = |~a|.
Доказательство. Доказательство следует из неравенства
||~a(t)| − |~a|| ≤ |~a(t) − ~a|,
вытекающего из определения разности векторов и свойства сторон треугольника, и определения 1.
Теперь мы получим формальные свойства предела векторной функ-
~
ции. Прежде всего заметим, что если ~a(t), b(t), ~c(t) векторные функции
5
è k(t) скалярная функция, определенные в одной области U, òî åñòå-
|
~ |
~ |
ственным образом можно рассматривать ~a(t) + b(t), k(t)~a(t) è [~a(t), b(t)] |
||
~ |
~ |
|
как векторные функции, а (~a(t), b(t) ) è (~a(t) , b(t) ,~c(t) ) как скалярные |
||
|
~ |
|
функции, определенные в области U. Напомним, что (~a, b ) обозначает |
||
~ |
~ |
|
скалярное, [~a, b] векторное, а (~a , b ,~c) смешанное произведение. |
|
~
Теорема 2. Пусть ~a(t), b(t), ~c(t) векторные функции и k(t) скалярная функция, определенные в окрестности точки t0 за исключением быть может точки t0, имеющие пределы в этой точке. Тогда функции
|
~ |
~ |
~ |
~ |
|
|
|
~a(t) + b(t), k(t)~a(t), [~a(t), b(t)], (~a(t) b(t)) и (~a(t) , b(t) ,~c(t)) имеют предел |
|||||||
в точке t0 и имеют место следующие равенства : |
|
|
|
||||
1) |
|
~ |
|
~ |
|
|
|
limt→t0 (~a(t) + b(t) ) = limt→t0 |
~a(t) + limt→t0 b(t); |
|
|
|
|||
2) |
limt→t0 ( k(t)~a(t) ) = limt→t0 k(t) limt→t0 ~a(t); |
|
|
|
|||
3) |
|
~ |
|
~ |
|
|
|
limt→t0 (~a(t), b(t) ) = ( limt→t0 |
~a(t), limt→t0 b(t) ); |
|
|
|
|||
4) |
~ |
|
~ |
|
|
|
|
limt→t0 [~a(t), b(t) ] = [ limt→t0 ~a(t), limt→t0 b(t) ]; |
|
|
|
||||
5) |
~ |
|
~ |
|
~c(t)). |
|
|
limt→t0 (~a(t), b(t),~c(t)) = (limt→t0 ~a(t), limt→t0 b(t)) limt→t0 |
|
||||||
Доказательство. |
Рассмотрим некоторый положительный ортонормиро- |
||||||
ванный базис ~ ~ |
~ и зададим векторные функции |
~a(t) |
è ~ |
ñâîè- |
|||
|
i, j, k |
|
|
b(t) |
|
ми координатами относительно этого базиса : ~a(t)( ax(t), ay(t), az(t) ) è
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b(t)( bx(t), by(t), cz(t) ). Тогда доказательства нашей теоремы для случаев |
|||||||||||
1), 2), 3) и 4) следуют из теоремы 1 и следующих известных выражений |
|||||||||||
~ |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
~ |
|
|
функций ~a(t) + b(t), k(t)~a(t), (~a(t), b(t) ) è [~a(t), b(t)] в координатах: |
|||||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.4) |
(~a(t) + b(t))( ax(t) + bx(t), ay(t) + by(t), az(t) + bz(t) ), |
|||||||||||
(k(t)~a(t))( k(t) ax(t), k(t) ay(t), k(t)az(t) ), |
|
(1.5) |
|||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.6) |
|
(~a(t), b(t) ) = ax(t)bx(t) + ay(t)by(t) + az(t)bz(t), |
|||||||||||
[~a(t), ~b(t)] by(t) bz(t) , bz(t) bx(t) |
, bx(t) by(t) |
|
|
||||||||
|
ay(t) az(t) |
|
|
az(t) ax(t) |
|
|
ax(t) ay(t) |
|
(1.7) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство 5) следует из свойств |
3), 4) |
и определения смешанного |
|||||||||
~ |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
произведения: (~a , b ,~c) = ([~a, b], ~c). |
|
|
|
|
|
|
1.2.Непрерывность и дифференцируемость векторной функции скалярного переменного
Пусть векторная функция ~a(t) определена в окрестности точки t0.
6
Определение 3. Векторная функция ~a(t) называется непрерывной в точке t0, åñëè limt→t0 ~a(t) существует и равен ~a(t0).
Разность |
~ |
+ |
t) − ~a(t0) |
, |
ãäå |
t = t − t0 |
|
|
приращением |
(t0) = ~a(t0 |
|
|
, называется |
||||
|
векторной функции |
|
|
|
|
|||
íèþ, |
|
|
|
~a(t) â |
точке t0. Согласно определе- |
~a(t) является непрерывной в точке t0 тогда и только тогда, когда
limt→t0 ~a(t0) = 0.
Пусть векторная функция ~a(t) задана в координатах:
~a(t)( ax(t), ay(t), az(t) ).
Тогда из теоремы 1 следует, что ~a(t) является непрерывной в точке t тогда и только тогда, когда координаты 0
ax(t), ay(t), az(t) непрерывны в
точке t
Наиболее0. важную в дальнейшем роль будет играть понятие дифференцируемости векторной функции скалярного переменного.
Определение 4. Пусть векторная функция ~a(t) определена в окрест- ности точки t0. Если существует предел
lim |
~a(t) − ~a(t0) |
= |
lim |
~a(t0) |
|
|
|||
t→t0 |
t − t0 |
t→0 |
t |
он называется производной векторной функции ~a(t) в точке t0 и обозна- чается ~a0(t0) èëè d~dta (t0). Функция ~a(t), имеющая производную в точке t0, называется дифференцируемой в этой точке.
Пусть, как и выше, векторная функция ~a(t) задана в координатах. Тогда выражение, стоящее под знаком предела в определении производной, имеет следующие координаты
|
x t 0 |
, |
a |
y t 0 |
, |
a |
z t 0 |
, . |
||||
|
a |
(t |
) |
|
(t |
) |
|
(t ) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, согласно теореме 1, мы получаем следующую теорему.
Теорема 3. Векторная функция ~a(t) дифференцируема в точке t0 тогда
и только тогда, когда ее координаты ax(t), ay(t), az(t) дифференцируемы в этой точке. В этом случае производная ~a0(t0) имеет координаты a0x(t0), a0y(t0), a0z(t0).
Теперь мы получим формальные свойства производной векторной функции.
~
Теорема 4. Пусть ~a(t), b(t), ~c(t) векторные функции и k(t) скаляр-
~
ная функция, дифференцируемые в точке t0. Тогда функции ~a(t) + b(t),
~ |
~ |
~ |
k(t)~a(t), [~a(t), b(t)], |
(~a(t), b(t) ) è |
(~a(t) , b(t) ,~c(t)) дифференцируемы в |
точке t0 и имеют место следующие равенства :
7
|
|
|
||||
1) |
|
|
d |
|
(~a(t) + ~b(t)) (t0) = ~a0(t0) + ~b0(t0); |
|
|
|
|
dt |
|
||
2) |
|
d |
(k(t)~a(t)) (t0) = k0(t0)~a(t0) + k(t0)~a0(t0); |
|||
dt |
3) |
d |
|
(~a(t),~b(t)) (t0) = (~a0(t0),~b(t0)) + (~a(t0),~b0(t0)); |
|
dt |
||||
|
|
4) |
d |
|
[~a(t),~b(t)] (t0) = [~a0(t0),~b(t0)] + [~a(t0),~b0(t0)]; |
|
dt |
||||
|
|
5) |
d |
|
(~a(t),~b(t),~c(t)) (t0) = (~a0(t0),~b(t0),~c(t0)) + (~a(t0),~b0(t0),~c(t0)) + |
|
dt |
||||
|
|
~ 0 (~a(t0), b(t0),~c (t0)).
Доказательство. Доказательство 1), 2), 3) и 4) проводятся прямой проверкой согласно теореме 3 и формулам (1.4), (1.5), (1.6) и (1.7). Доказательство 5) следует из (1.6) и (1.7) и определения смешанного произведения.
Наконец, докажем теорему о сложной функции.
Теорема 5. Пусть u(t) скалярная функция, дифференцируемая в точ- ке t0, и ~a(u) векторная функция, дифференцируемая в точке u0 = u(t0). Тогда сложная функция ~a(u(t)) дифференцируема в точке t0 è имеет место следующая формула:
dtd (~a(u(t)) (t0) = ~a0(u0)u0(t0).
Доказательство. Запишем сложную функцию ~a(u(t)) в координатах:
~a(u(t))(ax(u(t)), ay(u(t)), az(u(t))), ãäå ax(u), ay(u) è az(u) координа-
ты векторной функции ~a(u). Тогда доказательство теоремы следует из теоремы 3 и известной теоремы о производной сложной функции из математического анализа.
1.3.Геометрические свойства производной векторной функции
Пусть O некоторая точка пространства и ~r(t) векторная функция. Множество концов векторов ~r(t), отложенных от точки O, называется годографом векторной функции ~r(t). В дальнейшем для краткости, говоря точка ~r(t), мы будем иметь в виду точку с радиусом-вектором ~r(t). Обычно годограф ~r(t) это кривая в пространстве, а ~r = ~r(t) вектор-
ное параметрическое уравнение этой кривой. Поэтому переменную t ча- сто называют параметром на этой кривой. Хотя годограф не определяет
8
однозначно векторную функцию ~r(t), некоторые свойства этой функции могут быть интерпретированы как геометрические свойства годографа. Заметим, что при замене начальной точки O на точку 00, весь годограф сдвигается на вектор −−OO→0, что не изменяет его геометрических свойств.
При изменении параметра t точка годографа перемещается по нему, направление перемещения по годографу, происходящее при возрастании параметра, называется положительным, а противоположное направление отрицательным.
Теорема 6. Пусть функция ~r(t) дифференцируема в точке t0. Åñëè âåê- òîð ~r0(t0) отличен от нуля, то он направлен по касательной к годографу
в точке ~r(t0) в положительном направлении.
Доказательство. Очевидно, что вектор ~r(t0) = ~r(t) − ~r(t0) направлен
по секущей к годографу в точке ~r(t0). Следовательно, вектор |
~r(t0) |
|
|
t также |
|||
направлен по этой секущей. Легко проверить, что как при |
|||
|
t > 0, òàê |
è ïðè t < 0, вектор
Тогда, согласно определениюt направленкасательнойв положительномкак предельногонаправленииположения.
секущей и определения 4, вектор ~r0(t0) направлен по касательной к годографу в точке ~r(t0) в положительном направлении.
Рассмотрим годограф векторной функции ~r(t), заданной на некотором интервале, и предположим, что длина дуги годографа между любыми двумя точками годографа определена. Выберем на годографе некото-
рую начальную точку M0 и введем на годографе специальный параметр s, который называется длиной дуги. Если точка M получается из точки
M0 перемещением в положительном направлении, то поставим в соответ-
^
ствие точке M число s равное длине дуги M0M; если точка M получается
из точки M0 перемещением в отрицательном направлении, то поставим в
^
соответствие точке M число s равное длине дуги M0M со знаком минус. Очевидно, что таким образом устанавливается взаимно-однозначное соответствие между точками годографа и некоторым интервалом измене-
ния переменной s. Поэтому композиция отображений t → ~r(t) è ~r(t) → s
определяет функцию s = s(t). Найдем эту функцию. |
|
Напомним известный результат из математического анализа. Пусть |
|
x = x(t), y = y(t), z = z(t) (a ≤ t ≤ b) |
(1.8) |
уравнения кривой в пространстве в декартовой системе координат. Предположим, что функции x(t), y(t), z(t) непрерывно дифференцируе-
мы на промежутке [a, b]. Тогда длина дуги этой кривой задается следующей формулой
Z b
p
l = x0(t)2 + y0(t)2 + z0(t)2 dt. (1.9)
a
9
Очевидно, что годограф векторной функции ~r(t), определенной на про-
межутке [a, b], в декартовой системе координат, началом которой слу- |
|
жит точка O, определяется уравнениями (1.8). Применяя известную из |
|
аналитической геометрии формулу для абсолютной величины вектора и |
|
учитывая, что, согласно теореме 3, координатами вектора ~r0 |
(t) служат |
x0(t), y0(t) è z0(t), можно переписать формулу (1.9) в виде: l = |
b r0(t) dt. |
Отсюда сразу следует, что искомая функция s = s(t) задаетсяRформулой| | |
|
|
a |
s = Zt0t |r0(t)| dt, |
(1.10) |
ãäå t определяется условием, что ~r(t ) радиус-вектор начальной точ-
0 10)
êè M0. Действительно, формула (1. определяет s как длину дуги от точки M0 до точки ~r(t) со знаком +, если t > t0, и со знаком -, åñëè
t < t0.
Теорема 7. Если параметр s на годографе векторной функции ~r(s) является длиной дуги, то вектор ~r0(s) в точке ~r(s) является единичным вектором, направленным по касательной в точке ~r(s) в положительном направлении.
Доказательство. Ввиду теоремы 6 достаточно доказать, что вектор ~r0(s) является единичным. Пусть параметр s отсчитывается от началь-
ной точки ~r(s0). Тогда формула (1.10) превращается в тождество
Z s
s ≡ |r0(s)| ds.
s0
Дифференцируя это тождество по s, мы получаем |~r0(s)| = 1.
1.4. Векторные функции многих переменных
В этом разделе мы кратко рассмотрим векторные функции многих скалярных переменных.
Пусть U некоторая область в пространстве Rn.
Определение 5. Говорят, что в области U задана векторная функ-
ция переменных t1, . . . , tn, если каждой упорядоченной системе чисел (t1, . . . , tn) U, поставлен в соответствие вектор пространства (или плоскости) ~r(t1, . . . , tn).
Пусть векторная функция ~r(t1, . . . , tn) определена в окрестности точ-
êè t0 = (t01, . . . , t0n).
10
Определение 6. Пусть i = 1, . . . , n. Частной производной векторной функции ~r(t1, . . . , tn) по переменной ti в точке t0 называется производ-
íàÿ |
dt~r(t10 |
, . . . , ti0−1, t, ti0+1, . . . , tn0 ) |
(ti0), |
||
|
∂ti (t0) = |
||||
|
∂~r |
|
d |
|
|
если она существует. |
|
|
|
|
∂~r (t0) является производной
∂ti
векторной функции ~a(t) = ~r(t0, . . . , t0− , t, t0 , . . . , t0 ) и, следовательно, обладает всеми свойствами этой1 производнойi 1 i+1. В частности,n пусть век-
торная функция ~r(t1, . . . , tn) задана в координатах следующим образом:
~r(t1, . . . , tn)(x(t1, . . . , tn), y(t1, . . . , tn), z(t1, . . . , tn)). Тогда частная произ-
водная ∂~r (t0) имеет своими координатами ∂x (t0), ∂y (t0) è ∂z (t0).
В дальнейшем∂ti мы будем использовать понятия∂ti ∂tнепрерывноi ∂ti диффе-
ренцируемой некоторое число раз или даже аналитической функции ~a(t). Это означает, что ее координаты являются такими функциями. Ввести эти понятия независимо от системы координат не представляет труда.
1.5.Векторные параметрические уравнения поверхности в пространстве
Рассмотрим векторную функцию ~r(u, v) двух переменных u и v, заданную в некоторой области U пространства R2. Пусть O некоторая точка пространства. Обычно множество концов векторов ~r(u, v) для всех значе- ний u и v образует некоторую поверхность в пространстве, а уравнение
~r = ~r(u, v) называется векторным параметрическим уравнением
этой поверхности. Переменные u è v называются криволинейными коор- |
||||||||
динатами на поверхности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Однако, для того чтобы заданная таким образом поверхность облада- |
||||||||
ла некоторыми естественными свойствами поверхностей, потребуем вы- |
||||||||
полнения некоторых дополнительных условий. В частности, мы буäåì |
||||||||
считать, что в области U |
определены частные производные ~ru = |
∂~r |
è |
|||||
∂~r |
|
|
|
|
|
∂u |
||
|
|
è |
~rv неколлине- |
|||||
арны во всех точках |
|
|
||||||
|
|
|
||||||
~rv = ∂v , которые непрерывны в этой области, причем ~ru |
|
|||||||
U. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим поверхность, заданную уравнением |
~r = ~r(u, v) |
и пусть |
M0 |
|||||
с радиусом-вектором |
|
|
|
|||||
~r(u0, v0) некоторая точка поверхности. Плоскость, |
||||||||
проходящая через точку |
еслиназываетсяона содержиткасательнойкасательныеплоскостьюв точке |
ê |
поверхности в этой точке, M0
всем кривым, лежащим на поверхности и проходящим через точкуM0 êî
M0.
Теорема 8. Если частные производные ~ru = ∂u∂~r è ~rv = ∂v∂~r непрерывны в окрестности точки ~r(u0, v0) и неколлинеарны в этой точке, то в данной