Лосик М.В. - Лекции по векторному и тензорному анализу

11

точке существует касательная плоскость к поверхности ~r = ~r(u, v),

причем векторы ~ru(u0, v0) è ~rv(u0, v0) образуют базис на этой плоскости.

Доказательство. Рассмотрим кривую на поверхности, заданную в криволинейных координатах уравнениями u = u(t), v = v(t) и проходящую

через точку ~r(u0, v0). Другими словами, данная кривая является годографом векторной функции ~r(t) = ~r(u(t), v(t)) è ~r(t0) = ~r(u0, v0) äëÿ некоторого t = t0. Тогда, согласно теореме 6, вектор

направлен по касательной к нашей кривой в точке ~r(u0, v0). Рассмотрим плоскость, проходящую через точку ~r(u0, v0) и параллельную двум

неколлинеарным векторам ~ru(u0, v0) è ~rv(u0, v0). Согласно формуле 1.11, касательная к нашей кривой лежит в этой плоскости. Так как мы брали произвольную кривую, лежащую на поверхности и проходящую через

точку ~r(u0, v0), то данная плоскость является касательной к поверхности в точке ~r(u0, v0).

Пусть поверхность ~r = ~r(u, v) удовлетворяет указанным выше условиям. Согласно теореме 8, она имеет касательную плоскость в любой своей точке. Ортогональный к касательной плоскости к поверхности в

точке M

сти в данной0 единичныйточке. Есливектор называется вектором нормали поверхно-

является одним из двух векторов нормали к поверхности в точке ~r(u, v), причем этот вектор нормали непрерывно зависит от криволинейных ко-

ординат u v, т.е. образует непрерывное поле векторов нормали на поверхности.

Говорят, что поверхность ориентирована, если на ней задано непрерывное поле векторов нормали, а выбор такого поля называется ориентацией поверхности. Таким образом, если поверхность задана урав-

нением ~r = ~r(u, v), то на ней имеются две ориентации: одна задана уравнением(1.12), а другая отличается от нее знаком.

Поверхность в пространстве называется замкнутой, если она является границей некоторой ограниченной области пространства. Замкнутая поверхность имеет каноническую ориентацию, образованную нормалями, направленными наружу, т.е. в часть пространства внешнюю относительно нашей области.

13

Согласно теореме о неявных функциях из математического анализа, разрешая уравнения

x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w)

относительно u, v, w (что можно сделать согласно определению 7) мы

получаем функции u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z), которые столько же раз непрерывно дифференцируемы сколько и функции

x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w).

Это означает, что заменяя в любой функции переменных x, y, z ýòè ïå-

ременные их выражениями через u, v, w, мы получаем функцию столько же раз непрерывно дифференцируемую, сколько и исходная функция.

Определение 8. Криволинейная система координат ~r = ~r(u, v, w) называется ортогональной, если в любой точке области векторы

~ru, ~rv, ~rw попарно ортогональны. Для ортогональной криволинейной системы координат функции Hu = |~ru|, Hv = |~rv|, Hw = |~rw| называются коэффициентами Ламе.

который по построению является ортонормированным. В дальнейшем зачастую бывает существенным, когда этот базис является положительным. Вообще говоря, этот базис зависит от точки области, т.е. он обра-

зует поле базиса в области U.

Криволинейные системы координат на плоскости определяются аналогично, и мы оставляем формулировку определений читателю.

Примеры криволинейных систем координат Декартова система координат

Декартова система координат с началом в точке O определяется урав-

14

Цилиндрическая система координат

Напомним, что цилиндрические координаты в пространстве обозначаются через ρ, ϕ, z,

Для цилиндрической системы координат область U совпадает со всем

пространством, из которого выброшена ось Oz, а область определяется условиями (1.13).

Если выбрана декартова система координат, то ее координаты выражаются через координаты соответствующей цилиндрической системы координат с помощью известных формул:

Следовательно, цилиндрическая система координат задается уравнением Отсюда мы получаем

Вычисляя скалярные произведения базисных векторов ~r , ~r , ~r проверить, что цилиндрическая система координат являетсяρ ортогональϕ z легко-

ной, а, вычисляя коэффициенты Ламе, мы получаем

Hρ = 1, Hϕ = ρ, Hz = 1.

Если базис исходной декартовой системы координат является положительным, то смешанное произведение (~rρ ~rϕ ~rz) = ρ > 0 и, следовательно,

базис ~rρ ~rϕ ~rz также является положительным.

Сферическая система координат

Напомним, что сферические координаты в пространстве обозначаются

через r, θ, ϕ, z,

условиями (1.14). Если выбрана декартова система координат, то ее координаты выражаются через координаты соответствующей сферической системы координат с помощью известных формул:

x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ.

15

Следовательно, сферическая система координат задается уравнением

Если базис исходной декартовой системы координат является положительным, то смешанное произведение (~rr~rθ~rϕ) = r2 sin θ > 0 и, следова-

тельно, базис ~rr, ~rθ, ~rϕ также является положительным.

19

2.2.Производная скалярного поля по направлению и геометрические свойства градиента

Пусть скалярное поле ϕ задано в окрестности точки M0 è ~τ некото-

s (длину дуги) так, чтобы вектор ~τ был направлен в положительном направлении. Мы можем записать уравнение этой кривой в

âèäå M = M(s) èëè ~r = ~r(s). В последнем случае, согласно теореме 7,

ϕ в точке M0 в направлении вектора ~τ

следующим образом.

Определение 12. Производной скалярного поля ϕ в точке M0 в направ- лении вектора ~τ называется число

Определенная таким образом производная ∂ϕ (M0) не всегда суще- ствует, а если и существует, то, вообще говоря, зависит∂~τ от выбора кривой

M = M(s).

Теорема 9. Если скалярное поле ϕ дифференцируемо в точке M0, òî в этой точке существует производная по любому направлению ~τ, для которой имеет место формула

∂ϕ

∂~τ (M0) = (grad ϕ(M0), ~τ).

Доказательство. Проведем вычисления согласно определениям 12 и 10.

где ± является знаком s. Применяя к последнему выражению формальные свойства предела векторной функции скалярного переменного и лемму 1, мы получаем

∂ϕ

∂~τ (M0) = (grad ϕ(M0), ~τ),

20

Теорема 9 ïоказывает, что для дифференцируемого скалярного поля производная ∂ϕ (M0) зависит только от точки M0 и вектора ~τ.

Докажем следующую∂~τ теорему о геометрических свойствах градиента.

Теорема 10. Пусть скалярное поле ϕ дифференцируемо в области D,

1)Скалярное поле ϕ точке M0 направлено в сторону его наибольшего возрастания в этой точке.

2)Скалярное поле ϕ в точке M0 направлено по нормали к поверхности или линии уровня, проходящей через эту точку.

Доказательство. 1). Заметим, что, согласно определению 12, ∂ϕ∂~τ (M0) равна скорости изменения скалярного поля ϕ в точке M0 вдоль кривой

M = M(s), причем, согласно теореме 9, эта скорость определяется только направлением вектора ~τ. Таким образом, нам нужно доказать, что эта

скорость будет наибольшей в направлении grad ϕ(M0). Действительно, согласно теореме 9, так как |~τ| = 1 мы имеем

z = f(x, y). Выберем за криволинейные координаты на поверхности x и y. Тогда поверхность определяется уравнением ~r = ~r(x, y, f(x, y)). Предположим для просто-

ты, что функция f(x, y) непрерывно дифференцируема. Тогда она удовлетворяет условиям теоремы 8 и имеет касательную плоскость в точке

M0.Возьмем некоторый единичный вектор

~τ касательной плоскости к поверхности в точке M0 и проведем через точку M0 кривую M = M(s),