Лекции по системному анализу

к адаптивному поведению (причем в сравнительно узких пределах). Неко- торые типы искусственных систем, такие, как языки и системы социаль- ной организации, также способны к адаптивному поведению. Адаптация искусственных систем не полностью аналогична адаптации естественных систем. Любое кажущееся преднамеренным или разумным поведение тех- нической системы заложено в нее ее создателем. В силу этого адаптивное поведение технической системы не обязательно должно обеспечивать ее выживание; адаптация должна лишь обеспечить определенное функцио- нирование системы. Вместе с тем, искусственные системы обладают неко- торыми свойствами, которые в меньшей степени присущи естественным системам.

С о в м е с т и м о с т ь с и с т е м . Часто возникает необходимость построить систему, которая бы соответствовала данной окружающей сре- де, или, что фактически одно и то же, добавить новые части в уже сущест- вующую систему, или объединить две системы, чтобы они действовали совместно. Нет гарантии, что система, построенная для определенной це- ли, будет функционировать надлежащим образом, если изменится окру- жающая среда. Аналогично две системы, будучи независимыми друг от друга, могут быть вполне удовлетворительными в определенных отноше- ниях, но при совместной работе снизить качество функционирования вследствие несогласованности их характеристик. Системы могут быть со- вместимыми друг с другом в одном отношении и несовместимыми в дру- гом; это зависит от целей создания этих систем, а так же от внешних фак- торов. Таким образом, системы можно сравнивать по степени их совмес- тимости с данной системой.

О п т и м и з а ц и я . Вопрос о совместимости систем естественно приводит к проблеме их оптимизации.

Определение 1.15. Оптимизация системы означает такое приспособление системы к окружающей среде, в результате которого обеспечивается наилучшее функционирование системы в определенном отношении.

21

Оптимальная деятельность системы в одном отношении не обяза- тельно означает ее оптимальную деятельность в другом отношении. Во многих случаях проблема оптимизации решается с учетом экономических факторов. Обычно решение проблемы оптимизации системы включает ис- следование, оптимизацию и модификацию структуры и алгоритмов функ- ционирования системы, а также уточнение целей создания и назначения системы.

Определение 1.16. Оптимизация подсистемы относительно

еецелей или оптимизация системы относительно некоторого подмно-

жества целей называется субоптимизацией.

Отдельная оптимизация всех подсистем системы не гарантирует ее оптимальность в целом ввиду, как правило, недостаточно полного или точного учета возможного взаимодействия ее подсистем.

С и с т е м ы с о б р а т н о й с в я з ь ю .

Определение 1.17. Система, в которой реализована возмож-

ность поступления на входы системы части вещества, энергии или ин-

формации с ее выходов с целью воздействия на функционирование систе-

мы, называется системой с обратной связью.

Природа, направленность и степень совершенства обратной связи в системе оказывают решающее влияние на стабильность системы. Слож- ные системы могут содержать несколько взаимодействующих контуров обратной связи. Если система, выйдя за границы регулирования одного контура обратной связи, переключается на другой контур с другими гра- ницами, то говорят, что такая система обнаруживает ультрастабильность. Структура системы с обратной связью показана на рис. 1.2. На этом ри- сунке используются следующие обозначения: ОУ – объект управления; УУ – устройство управления; ВУ – вычитающее устройство; ИУ – измери- тельное устройство; u – входной сигнал; v – выходной сигнал; w – управ- ляющий сигнал; ε – сигнал ошибки; l – сигнал обратной связи. Объект управления имеет определенную связь, или передаточную функцию, меж- ду своим входом (управляющим сигналом) и выходом (выходным сигна- лом). Измерительное устройство служит для измерения выходного сигна-

22

ла и выработки сигнала обратной связи, который вычитается из общего входного сигнала для получения сигнала ошибки. Управляющее устройст- во преобразует сигнал ошибки в управляющий сигнал с величиной и фор- мой, необходимыми для обеспечения соответствующего воздействия на объект управления.

l

ИУ

Рис. 1.2. Структура системы с обратной связью.

С и с т е м ы с э л е м е н т а м и с л у ч а й н о с т и . Существует достаточно широкий класс систем, при описании и анализе которых необ- ходимо учитывать случайный характер переменных, определяющих свой- ства систем, и процессов, как протекающих в системах во время их функ- ционирования, так и определяющих взаимодействие систем с их окру- жающими средами. К этому классу принадлежат как естественные систе- мы, так и искусственные системы. Случайные переменные могут входить как в микроскопический, так и макроскопический уровни исследования систем.

1.5. Системы, определяемые состоянием

О п р е д е л е н и е с и с т е м ы , о п р е д е л я е м о й с о с т о я - н и е м . Предположим, что система полностью определяется n перемен- ными x1 , x2 ,..., xn . Тогда состояние системы можно описать множеством n чисел. Множество всех точек n–мерного пространства, включающее воз- можные состояния системы, называется множеством состояний системы. Чтобы описать поведение системы рассматриваемого типа, достаточно определить возможные траектории в множестве состояний для данной

23

системы, или, другими словами, последовательность состояний, через ко- торые проходит система в процессе эволюции. Если для простоты предпо- ложить, что систему определяют две переменные, то множеством состоя- ний будет обычная евклидова плоскость, а возможными траекториями – кривые на плоскости.

Определение 1.18. Если система обладает свойством, что при данном начальном состоянии однозначно определяется траектория ее эволюции, то такая система называется системой, определяемой со-

стоянием.

Подобные системы обладают следующим важным математическим свойством, которое укажем, не приводя доказательства.

Для того чтобы система являлась системой, определяемой состояни- ем, необходимо и достаточно, чтобы ее переменные удовлетворяли сле- дующей системе уравнений:

dx1 = f1 (x1 ,..., xn ), dt

dxn = f n (x1 ,..., xn ), dt

где f1,..., fn суть однозначные функции.

Согласно сформулированному утверждению, система уравнений (1.2), приведенная в разделе 2, является системой, определяемой состоя- нием. Когда константы системы становятся функциями времени, как это имеет место в случае прогрессирующей изоляции или систематизации, система перестает быть определяемой состоянием.

С в о й с т в а с и с т е м , о п р е д е л я е м ы х с о с т о я н и е м . Используем систему уравнений (1.4) для того, чтобы проиллюстрировать некоторые понятия, введенные ранее. В случае, когда все функции f1,..., fn равны нулю, система является статической. Это означает, что ее перемен- ные не изменяются во времени. Если же не все эти функции равны нулю, то система является динамической; в этом случае по крайней мере одна из переменных системы изменяется во времени.

24

Степень целостности системы определяется видом функций f1,..., fn. Если каждая из этих функций существенно зависит от каждой перемен- ной, то система имеет высокую степень целостности; изменение одной из переменных в этом случае вызывает значительные изменения всех осталь- ных переменных. В противном случае, если каждая из рассматриваемых функций зависит только от одной из переменных, то система не имеет свя- зей между переменными. В частности, если система (1.4) вырождается в систему

dx1 = f1(x1 ), dt

dxn = f n (xn ), dt

то это означает, что части системы функционируют независимо друг от друга и изменение любой переменной зависит только от этой переменной.

Примером целостной системы, в которой каждая переменная влияет на другую переменную совершенно симметричным образом, является сис- тема уравнений

Примером централизованной системы является система уравнений

В этом примере часть системы, представленная переменной x1 , является ведущей частью системы и играет основную роль при определении изме- нений в системе в целом.

Одной из простейших форм, которые может принимать система

25

Это уравнение может описывать, например, эволюцию системы, в которой скорость изменения числа элементов пропорциональна уже имеющемуся числу элементов в системе; например, при неограниченном росте населе- ния, когда а положительно. Как хорошо известно, решением этого уравне-

ния является экспонента x = x0eat .

1.6. Классификация систем

При рассмотрении систем, можно использовать различные способы их классификации: по происхождению, по описанию входных и выходных

переменных; по описанию оператора системы; по типу управления.

На рис. 1.3 приведена схема двухуровневой классификации систем по происхождению. Если полнота классификации первого уровня логиче- ски ясна, то второй уровень является явно не полным. Классификация ес- тественных систем ясна из рисунка, ее неполнота очевидна. Неполнота разбиения искусственных систем связана, например, с еще незавершен- ным развитием систем искусственного интеллекта. В качестве примеров подклассов смешанных систем можно привести эргономические системы (комплексы машина–человек-оператор), биотехнические (система, в кото- рые входят живые организмы и технические устройства) и организацион- ные системы (состоящие из коллективов людей, которые оснащены необ- ходимыми техническими средствами).

С И С Т Е М Ы

Рис. 1.3. Классификация систем по их происхождению.

26

Трехуровневая схема классификации систем по типу входных, вы- ходных и внутренних переменных приведена на рис. 1.4. Существует принципиальное различие между переменными, описываемыми качест- венно и количественно, что и является основой первого уровня классифи- кации. Для полноты введен третий класс, к нему отнесены системы, у ко- торых часть переменных носит качественный характер, а остальные явля- ются количественными. На следующем уровне классификации систем с качественными переменными различаются случаи, когда описание ведется средствами естественного языка, и случаи, допускающие более глубокую формализацию. Второй уровень классификации систем с количественны- ми переменными вызван различиями в методах дискретной и непрерыв- ной математики, что и отражено в названиях вводимых подклассов; пре- дусмотрен и случай, когда система имеет как непрерывные, так и дискрет- ные переменные. Для систем со смешанным количественно-качественным описанием переменных второй уровень является объединением подклас- сов первых двух классов и на рисунке не приводится. Третий уровень классификации одинаков для всех подклассов второго уровня и изображен только для одного из них.

С И С Т Е М Ы

27

Следующая классификация (рис. 1.5) – по типу оператора системы, т.е. классификация типов связей между входными и выходными перемен- ными.

Инерционные (с памятью)

Безынерционные (без памяти)

Замкнутые (с обратной связью)

Разомкнутые (без обратной связи)

Линейные

Нелинейные

Квазилинейные

Рис. 1.5. Фрагмент классификации систем по типу их операторов.

На первом уровне расположены классы систем, отличающиеся сте- пенью наличия сведений об операторе системы. Ветвь «черного ящика» на этом уровне кончается: оператор считается вообще неизвестным. Чем больше сведений об операторе мы имеем, тем больше различий можно рассмотреть и тем более развитой окажется классификация. Например, информация об операторе может носить настолько общий характер, что описание системы нельзя получить в параметризованной функциональной форме. Непараметризованный класс операторов системы и соответствует подобным ситуациям с очень ограниченной информацией об операторе.

Наши знания об операторе могут иметь уровень, который позволяет составить параметрическое описание этого оператора, т.е. записать зави- симость выхода системы y(t) от входа системы x(t) в явной форме с точно- стью до конечного числа параметров θ = (θ1 ,...,θk ): y(t ) = S(x( ),θ ), где S

28

обозначает оператор системы. Такие системы относятся к третьему классу при классификации этого вида.

Наконец, если эти параметры заданы точно, то всякая неопределен- ность исчезает и мы имеем системы с полностью определенным операто- ром, т.е. «белый ящик».

Дальнейшие уровни классификации на рис. 1.5 приведены только для систем третьего и четвертого классов («черный ящик» не подлежит дальнейшей классификации, а классификация непараметризованных опе- раторов связана с типом имеющейся информации). Второй, третий и чет- вертый уровни ясны из самого рисунка. Конечно, классификация может быть продолжена (например, линейные операторы принято делить на дифференциальные, интегральные и т.п.).

Рассматривая выход y(t) системы (это может быть вектор) как ее ре- акцию на управляемые u(t) и неуправляемые w(t) входы x(t ) = {u(t ),w(t )}, модель «черного ящика» можно представить как совокупность двух про-

цессов: X = {x(t ),t T} и Y = {y(t ),t T}.

Если считать y(t) результатом некоторого преобразования Φ процесса x(t), т.е. y(t ) = Φ(x(t )), то модель «черного ящика» предполагает, что это пре-

образование неизвестно. В том же случае, когда мы имеем дело с «белым ящиком», соответствие между входом и выходом можно описать тем или иным способом. Какой именно способ – зависит от того, что нам известно, и в какой форме можно использовать эти знания.

Схема следующего способа классификации систем – по типу управ- ления – приведена на рис. 1.6. Первый уровень классификации определя- ется тем, входит ли управляющий блок в систему или является внешним по отношению к ней; выделен также класс систем, управление которыми разделено и частично осуществляется извне, а частично – внутри самой системы. Независимо от того, включен ли в систему или вынесен из нее управляющий блок, можно выделить четыре основных типа управления, что и отражено на втором уровне классификации. Эти типы различаются в зависимости от степени наличия сведений о траектории системы в про- странстве состояний, приводящей систему к цели, и возможности управ- ляющего блока обеспечить развитие системы по этой траектории.

29