Лекция № 8

Наибольшее и наименьшее значения функции

в замкнутой области.

Определение. Точка называется точкой максимума функции , а значение – максимумом (максимальным значением), если существует окрестность точки , для всех точек которой, отличных от точки , выполняется неравенство . (1)

Определение. Точка называется точкой минимума функции , а значение – минимумом (минимальным значением), если существует окрестность точки , для всех точек которой, отличных от точки , выполняется неравенство . (2)

Точки максимума и минимума функции называются экстремальными точками, или экстремумами, а значения функции в этих точках экстремальными значениями.

Из неравенств (1) и (2) следует, что в точке экстремума полное приращение функции сохраняет определенный знак в некоторой окрестности этой точки, причем , если – точка максимума, и , если – точка минимума.

Отметим, что понятия экстремумов  локальные понятия. Если, например, – точка максимума, то является наибольшим значением в некоторой окрестности точки , но может не быть таковым во всей области , т. е. вне указанной окрестности могут существовать точки, в которых значения функции будут больше, чем значение в точке . В связи с этим точки экстремумов часто называют точками локального экстремума.

Если неравенство (1) (или (2)) справедливо для всех точек области , то говорят, что в точке , функция достигает наибольшего (или наименьшего) значения в области . Точки локального экстремума не следует смешивать с точками, в которых функция достигает наибольшего и наименьшего значения.

Необходимые и достаточные условия

существования экстремумов

Как и в случае функции одной переменной, возникает задача о нахождении необходимых и достаточных условий существования экстремумов. Сформулируем их для функций двух независимых переменных.

Пусть – точка локального экстремума для функции . Зафиксируем значение одной переменной . Тогда функция является функцией одной переменной , а – ее точка экстремума. По необходимому признаку для функции одной переменной производная в этой точке равна нулю или не существует, т. е. или не существует. Для функции это условие, очевидно, означает, что в точке экстремума частная производная по равна нулю или не существует. Аналогичные рассуждения можно провести для другой переменной. Таким образом, получаем следующие необходимые условия существования экстремума.

Теорема 1 (необходимые условия существования экстремума)

Если функция в точке имеет экстремум, то в этой точке обе частные производные равны нулю (, ) или, по крайней мере, одна из них не существует.

Теорема 1 имеет простой геометрический смысл. Касательная плоскость к поверхности в точке экстремума параллельна плоскости (, ) или не существует.

Необходимые условия существования экстремума остаются справедливыми и для функций большего числа переменных.

Точки, в которых все частные производные первого порядка функции равны нулю или хотя бы одна из них не существует, называются критическими точками.

Если в критической точке функция дифференцируема, то все частные производные первого порядка в ней обращаются в нуль. Такую точку часто называют стационарной.

Другая форма необходимых условий локального экстремума. Если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке локальный экстремум, то .

Для отыскания стационарных точек функции находят частные производные первого порядка и решают систему уравнений

(1)

Пример 1. Найти стационарные точки функции .

Решение. Находим частные производные первого порядка и составляем систему уравнений (1):

или

Решив эту систему, получим две стационарные точки и .

Согласно теореме 1 любая точка экстремума является критической точкой функции, но не всякая критическая точка является точкой экстремума, т. е. необходимые условия (теорема 1) не являются достаточными условиями существования экстремума.

Действительно, для функции точка является критической, так как в ней частные производные и обращаются в нуль. Однако в этой точке функция не имеет экстремума, поскольку в точке функция равна нулю, а в любой окрестности данной точки она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, не существует окрестности точки , где приращение функции сохраняет знак.

Ответ на вопрос, является ли стационарная точка точкой экстремума, дают достаточные условия существования экстремума, которые будут сформулированы ниже в виде теоремы.

Теорема 2 (достаточные условия существования экстремума).

Пусть функция , где , дважды непрерывно дифференцируема в окрестности стационарной точки . Тогда точка :

1. является точкой строгого минимума функции, если . Причем равенство имеет место только при условии .

2. является точкой строгого максимума функции, если .

3. не является точкой экстремума функции, если принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Эти условия не являются необходимыми. Например, функция имеет в точке строгий минимум, хотя при любых и .

Определение. Функция вида , где – постоянные вещественные числа, называется квадратичной формой от переменных , а числа – её коэффициентами.

Замечание. Если аргументы являются независимыми переменными, то второй дифференциал дважды непрерывно дифференцируемой в данной точке функции представляют собой симметричную квадратичную форму от переменных . Коэффициенты этой формы равны соответствующим частным производным второго порядка, взятым в точке .

Достаточные условия 1), 2), 3) означают соответственно, что квадратичная форма положительно определенная, отрицательно определенная и неопределенная.

Будем рассматривать матрицу квадратичной формы (матрицу Гессе)

(1)

Критерий Сильвестра.

1. Квадратичная форма положительно определена, если все главные миноры матрицы (1) являются положительными. В этом случае в точке – минимум.

2. Квадратичная форма отрицательно определена, если все главные миноры нечетного порядка являются отрицательными, а четного порядка – положительными. В этом случае в точке – максимум.

В частном случае функции двух переменных достаточные условия существования строгого экстремума можно сформулировать следующим образом.

Теорема 2* (достаточные условия существования экстремума функции двух переменных)

Пусть функция в стационарной точке имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Если , , и , то возможны три случая:

1) при – точка экстремума, причем, в точке максимум, когда , и минимум, когда ;

2) при не является точкой экстремума;

3) при о характере стационарной точки никакого заключения сделать нельзя, нужны дополнительные исследования.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Найдем стационарные точки функции. Для этого вычислим первые частные производные:

Приравнивая их к нулю, получим систему

Решениями системы являются две стационарные точки: и . Для выяснения их характера согласно теореме 2* найдем и , вычислив предварительно значения частных производных второго порядка.

Для точки имеем , , и . На основании теоремы 2* делаем вывод, что в точке функция экстремума не имеет. Для точки соответственно получаем

, , , .

Следовательно – точка экстремума, а поскольку , то – точка максимума и максимальное значение функции .

Пример 3. Найти локальные экстремумы функции

.

Решение. , .

Получили две стационарные точки и .

Вычислим вторые частные производные: , , , , , .

Рассмотрим матрицу Гессе в стационарных точках.

В точке , . Необходимо дополнительное исследование.

В точке , . В этой точке функция достигает минимума .

Рассмотрим приращение функции в точке :

.

1) Пусть , , тогда .

2) Пусть , , тогда .

Экстремума в точке нет.

7