термех
.pdf
Рис. 24
Приложим к точке силу тяжести mg , нормальную реакцию плоскости N и силу трения
Fтр . Составляем уравнения движения точки
mx mg sin
Fтр
|
my |
|
N mg cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку движение точки происходит только вдоль оси Х, |
то y |
0 и из второго |
|||||||||||||
уравнения следует, что N |
|
mg cos . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Сила трения не обеспечивает точке состояние покоя (точка движется), сила трения имеет |
|||||||||||||||
предельное значение |
Fтр |
|
fN |
|
fmg cos |
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Итак, уравнение движения точки имеет вид |
|
|
|
||||||||||||
|
m x |
mg sin |
fmg cos |
mg(sin |
|
f cos ) |
|
|
||||||||
|
Правая часть уравнения движения является |
постоянной величиной, учитывая, что |
||||||||||||||
F0 |
mg(sin |
f cos |
) и x0 |
0 , после интегрирования получим |
|
|
||||||||||
|
x |
g(sin |
f cos |
) |
t |
2 |
V t |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАЧА 16 |
|
|
|||
|
Материальная |
точка |
|
массой |
m движется |
прямолинейно |
под |
действием силы |
||||||||
F |
F0 cos |
t ( F0 |
и |
- постоянные величины). Пренебрегая весом, определить скорость и |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
положение точки в момент времени |
|
, |
если она в начальный момент находилась в |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
начале координат и ее скорость была равна V0 .
Решение Точка движется прямолинейно, поэтому достаточно одной оси координат. Направим ось
Х вдоль траектории точки. Изобразим точку в промежуточном положении на ее траектории. Приложим к точке силу F (вес точки и реакции связей отсутствуют).
31
C1
C2
Рис. 25
Составим уравнение движения точки
mx F0 cos t
Скорость точки :
|
V |
x |
|
1 |
|
F |
cos tdt |
|
|
F0 |
|
|
sin |
|
t |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
m |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя начальные условия |
|
|
t |
0; V |
|
|
V0 |
с учетом того, что |
sin0 |
0 , получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
V0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Закон движения точки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
V ( t )dt |
|
|
|
F0 |
|
sin |
|
|
t |
V |
dt |
|
|
|
F0 |
|
|
cos t V t |
C |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
m |
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя начальные условия |
|
|
t |
0; |
|
x |
|
|
0 с учетом того, что |
cos 0 |
1, получим |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
F0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Находим для момента времени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
V |
|
F0 |
|
sin |
|
|
|
|
|
V |
|
|
F0 |
|
|
sin |
|
|
V |
|
|
|
F0 |
|
V |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
m |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
m |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
m |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
|
F0 |
cos |
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
F0 |
|
V |
|
|
|
|
|
|
F0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
- |
|
|
m 2 |
|
2 |
0 2 |
|
|
|
m 2 |
|
|
|
0 2 |
|
|
|
|
m 2 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
ЗАДАЧА 17
Груз массы m подвешен на нити длиной l . В начальный момент времени груз отклонили в сторону (нить натянута) и сообщили ему горизонтальную скорость, перпендикулярную нити. Найти величину скорости груза и натяжение нити, если нить составляет с вертикалью постоянный угол .
Решение
Будем считать груз материальной точкой. Приложим к грузу силу тяжести mg и натяжение нити N .
32
Рис. 26
Как следует из условия задачи, при движении груза нить описывает коническую поверхность, траекторией груза является окружность с центром в точке В и радиусом
АВ= l sin |
. |
Если |
известна траектория, воспользуемся естественной системой координат |
|
(τ, η, β) и уравнениями движения в естественной форме |
||||
mV |
0 |
|
||
m |
|
|
V 2 |
N sin |
|
l sin |
|||
0 |
|
|
N cos |
mg |
Из первой формулы следует, что скорость движения груза будет постоянной по величине, т.е. будет сохранять начальное значение. Из третьей формулы можем выразить натяжение нити
N mg cos
Подставив полученное выражение силы натяжения во вторую формулу, получим
m |
V 2 |
|
mg |
sin |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
l sin |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
lg sin2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Откуда скорость |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАЧА 18 |
|
|
|
|
|
|
При движении поезда |
массы m по участку пути |
однородного |
|
профиля сила |
|||||||||||
сопротивления движению изменяется по закону |
R R0 aV |
, где |
R0 |
и |
a |
- постоянные |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
величины; V - переменная скорость поезда. Сила тяги локомотива изменяется по закону
33
Т F0 bV , где F0 и b - постоянные величины ( F0 R0 ). Определить закон изменения скорости и закон движения поезда.
Решение Примем поезд за материальную точку. Направим координату Х по направлению
движения Начало координат совпадает с начальным положением поезда.
Рис. 27
Изобразим точку в промежуточный момент времени на ее траектории. К точке приложены сила тяжести mg , движущая сила Т , сила сопротивления R и нормальная реакция
плоскости N .
Дифференциальное уравнение движения точки имеет вид
dV
m dt (F0 bV ) (R0 aV ) .
Перегруппировав слагаемые, получим
|
m |
dV |
|
|
(b |
|
|
a)V |
|
F0 |
|
R0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
m |
|
|
|
|
m |
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
решение этого уравнения имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
V |
|
C e qt |
p |
, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
q |
|
a |
b |
, p |
|
|
F0 |
R0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Постоянная интегрирования С1 |
определяется из начальных условий: при t 0 ; V 0, |
||||||||||||||||||||||
C1 |
F0 |
R0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
b |
a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
F0 |
R0 |
1 e ( |
a b |
)t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
(1 e qt ) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|||||||||||
|
Закон изменения скорости |
q |
b |
a |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
34
Установившееся значение скорости (значение скорости через достаточно большой
|
V lim V |
p |
|
F0 |
R0 |
|
|
q |
|
b |
a |
|
|
промежуток времени) |
t |
|
. |
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Подставляя зависимости V=dx/dt , получим дифференциальное уравнение
dx |
|
p |
(1 e qt )dt. |
|
q |
||||
|
. |
|||
|
|
|
||
После |
интегрирования которого, с учетом начального условия ( t 0 ; x x0 0 ), |
|||
находим закон движения точки:
35