2.2 Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами
(выполняется по указанию преподавателя)
Кинематическое исследование механизмов методом построения планов скоростей и ускорений позволяет определить с достаточной точностью величину и характер изменения кинематических параметров механизма. Однако построение планов скоростей и ускорений для нескольких положений механизма за весь цикл значительно увеличивает объем проводимой работы, особенно для сложных механизмов. Кроме того, при этом методе значительно усложняется процесс оптимизации кинематических параметров, из-за необходимости многократных построений планов скоростей и ускорений. При использовании вычислительной техники для кинематического исследование механизмов необходимо иметь аналитические зависимости искомых параметров, позволяющие определять их за весь цикл в соответствии с изменениям обобщенных координат.
Одним из методов аналитического исследования кинематики механизмов является метод замкнутых векторных контуров, предложенный В.А. Зиновьевым [ ].
При кинематическом
исследовании механизмов этим методом
каждое звено механизма представляется
в виде вектора определенного направления.
Рассмотрим этот метод на примере
кривошипно-ползунного механизма (рис.5),
в котором кривошип ОА
является
вектором 
,
а шатун АВ
вектором
.
Рис.5 Расчетная схема кривошипно-ползунного механизма
Положение точки
B
в системе координат xoy
обозначено
вектором 
Условие
замкнутости векторов при принятом
направлении векторов
и 
:
(3)
Углы 
и 
соответственно определяют положение
векторов 
и
в выбранной системе координат.
Спроектируем эти векторы на оси координат:
(4)
(5)
Одной из основных
задач в данном случае является нахождение
функции изменения кинематических
параметров механизма при изменении
обобщенной координаты
.
Как следует из уравнения (5):
(6)
Обозначим 
- параметр механизма, который в
кривошипно-ползунных механизмов
транспортных машин изменяется в пределах
и определяет их габариты. С учетом 
формула (6) примет вид:
(7)
Продифференцируем
уравнение (5) по времени при условии
.
(8)
Из уравнения (8) определим угловую скорость шатуна:
(9)
Для определения
углового ускорения шатуна 
продифференцируем уравнение (8):
Откуда следует:
(10)
Направление угловых
скоростей и ускорений определяется по
соответствии их знака принятому
положительному направлению отсчета
углов 
и
.
В соответствии с (7) формулу (4) представим в виде:
Чтобы избавиться от радикала разложим его в бесконечный ряд Маклорена:
Этот ряд быстро
сходится и для практических расчетов
при 
достаточно использовать два первых
члена. Величина третьего члена 
при 
и 
составляет
или 0,05% от единицы.
Таким образом, положение точки B можно приближенно, но с достаточной степенью точности определить по формуле:
(11)
Продифференцировав дважды уравнение (11) получим также приближенные формулы для определения скорости точки B:
(12)
и соответственно ускорения:
(13)
Точное значения
ускорения 
представляется в виде бесконечного
тригонометрического ряда:
,
коэффициенты,
которого
определяются в зависимости от величины
.
В частности, при 
коэффициент 
=
0,254, т.е. незначительно отличается от
.
Для других значений параметра 
коэффициенты 
также незначительно отличаются от его
величины, что подтверждает возможность
использования формул (12) и (13) при различных
.
Определим
экстремальные значения ускорения точки
B.
Для этого продифференцируем уравнение
(13) по независимому переменному 
и приравняем его к нулю.
(14)
Уравнение (14) дает
возможность определить угол 
,
при котором 
имеет экстремальные значения. Учитывая,
что 
не равно нулю, и заменив 
его значениями после преобразования
получим:
(15)
откуда
(16)
Из уравнения (15)
получим значения угла 
и 
.
При этих значениях угла 
имеют место два вида уравнений,
определяющих экстремальные значения
ускорения 
:
при
:
при :
Уравнение (16) добавляет еще два дополнительных экстремальных значения в соответствии с формулой:
Так как 
,
то это уравнение справедливо, если 
.
При этом значении 
получается два угла 
(во
второй третьей четвертях), при которых
ускорение 
имеет экстремальные значения. Характер
изменения ускорения 
в зависимости от угла 
для разных значений параметра 
показан на (рис.6).
При кинематическом исследовании сложного механизма (рис.1), состоящего в общем из двух кривошипно-ползунных механизмов с одним кривошипом, необходимо составить расчетную схему, которая будет зависеть от расположения выбранной системы координат.
Рис.6 Кривые ускорения точки В центрального кривошипно-ползунного механизма