Prak_Geom1

Означення 1.11. Афiнними координатами точки M вiдносно репера (O;~e1;~e2) (â àôiííié

¡¡!

системi координат O~e1~e2) 9 називають координати x; y радiус-вектора OM вiдносно базису

(~e1;~e2).

Число x називають абсцисою, а y ординатою точки M i при цьому записують M(x; y). Ç

означення виплива¹, що кожнiй точцi M площини вiдповiда¹ пара чисел (x; y) множини R, à

в силу ¹диностi подання (1.18) рiзним точкам площини вiдповiдають рiзнi елементи множини R£R. Навпаки, для кожного елемента (x; y) ç R£R можна вказати вектор x~e1 + y~e2, à îòæå,

iсну¹ точка M, äëÿ ÿêî¨ ïàðà (x; y) ¹ ¨¨ координатами. Це означа¹, що мiж точками площини i

елементами множини R£R афiнна система координат O~e1~e2 встановлю¹ вза¹мно однозначну âiäïîâiäíiñòü.

Означення 1.12. Афiнну систему координат (O;~e1;~e2) називають декартовою системою координат, якщо j~e1j = j~e2j = 1 (вектори базису ¹ одиничнi вектори), а декартову систему координат називають прямокутною декартовою системою координат, якщо вектори ~e1 i ~e2 ортогональнi.10

Нехай в афiннiй системi координат O~e1~e2 точки A(x1; y1) i B(x2; y2) заданi координатами,

¡¡!

координат, то ми можемо знати вiдстань AB мiж цими точками, оскiльки AB = j AB j.

Таким чином, ми отриму¹мо наступну формулу:

p

AB = (x2 ¡ x1)2 + (y2 ¡ y1)2:

Дану формулу застосовують для знаходження рiвняння кола. Вiдомо, що коло !(C0; R) ç

центром в точцi C0(x0; y0) i ðàäióñîì, ðiâíèì R, ¹ геометричне мiсце точок рiвновiддалених

Рiвняння (1.19) називають канонiчним рiвнянням кола.

Нехай M1, M2, M ¹ три точки однi¹¨ прямо¨, а ¸ деяке дiйсне число.

Означення 1.13. Будемо казати, що точка M дiлить направлений вiдрiзок M1M2 ó вiдношеннi ¸, якщо викону¹ться рiвнiсть

21

Зауважимо, що з (1.20) виплива¹, що ¸ =6 ¡1. Справдi, якщо припустити, що ¸ = ¡1, òî

В першому випадку кажуть, що точка M äiëèòü âiäðiçîê M1M2 внутрiшнiм чином, а в другому зовнiшнiм. При внутрiшньому подiлi точка M знаходиться мiж кiнцями вiдрiзка,

а при зовнiшньому за його межами.

Розглянемо афiнну систему координат O~e1~e2 i нехай в цiй системi координат данi точки мають такi координати: M1(x1; y1), M2(x2; y2), M(x; y). Ìà¹ìî

Приклад. В точках A(x1; y1), B(x2; y2) зосередженi маси m1, m2. Знайти координати центра ваги системи двох матерiальних точок A i B.

Розв'язання. Нехай M(x; y) ¹ центр ваги матерiальних двох точок A i B. Тодi, очевидно, M ¹ внутрiшньою точкою вiдрiзка AB, а тому дiлить його у вiдношеннi ¸ > 0. З курсу фiзики вiдомо, що m1 ¢ AM = m2 ¢ BM. Враховуючи тепер формулу (1.23), ми отриму¹мо

¸ = j¸j = AM = m2 : BM m1

Отже, згiдно (2.3) отриму¹мо

11 Доведiть самостiйно, що координати центра ваги M(x; y) трьох матерiальних точок A(x1; y1), B(x2; y2),

22

формулами:

2 Орi¹нтацiя площини

Матриця переходу вiд одного базиса до iншого. Властивостi визнач- никiв матриць переходу. Вiдношення однаково¨ орi¹нтовностi базисiв. Орi¹нтацiя векторного простору та площини. Кут мiж векторами на орi¹нтованiй площинi.

називати матрицею переходу вiд базису A до базису B. Визначник цi¹¨ матрицi12 ми будемо

23

Розкриваючи тепер дужки i групуючи члени при ~a1;~a2, ми будемо мати:

~c1 = (d11c11 + d21c12)~a1 + (d11c21 + d21c22)~a2; ~c2 = (d12c11 + d22c12)~a1 + (d12c21 + d22c22)~a2:

3±: Для довiльних двох базисiв A, B викону¹ться рiвнiсть (AjB)(BjA) = 1.

Доведення. Дана рiвнiсть виплива¹ з перших двох властивостей 1± i 2± визначникiв матрицi переходу.

Нехай B ¹ множина всiх базисiв векторного простору L. Введемо на B бiнарне вiдношення ¢ однаково¨ орi¹нтацi¨ базисiв за допомогою наступного означення.

Означення 1.14. Будемо казати, що базиси A; B 2 B однаково орi¹нтованi (це познача¹ться як A¢B), ÿêùî AjB > 0.

Теорема 1.12. Вiдношення ¢ ¹ вiдношенням еквiвалентностi на множинi всiх базисiв B.

Доведення. Для довiльного базиса A 2 B за властивiстю 1± ìà¹ìî AjA = 1 > 0, òîìó A¢A. Îòæå, ¢ ¹ рефлексивне вiдношення.

Нехай для базисiв A; B 2 B ìà¹ìî A¢B, тобто AjB > 0, тому за властивiстю 3± íó¹òüñÿ íåðiâíiñòü BjA = > 0. Îòæå, B¢A. Таким чином, вiдношення ¢ симетричне.

Доведемо нарештi транзитивнiсть вiдношення ¢. Нехай базиси A; B; C 2 B задовольняють умови A¢B i B¢C, тобто AjB > 0 i BjC > 0. Згiдно властивостi 2± ìà¹ìî AjC = (AjB)(BjC) > 0, òîìó A¢C. Отже, транзитивнiсть доведена.

Нехай B=¢ ¹ фактор-множина13 множини всiх базисiв B по вiдношенню ¢. Доведемо,

що вона мiстить всього два елементи. Розглянемо¯ базиси¯ A = (~a1;~a2) i B = (~a2;~a1). Îñêiëüêè

~a2 = 0~a1 + 1~a2 i ~a1 = 1~a1 + 0~a2, òî AjB = ¯¯¯ 01 10 ¯¯¯ = ¡1 < 0. Îòæå, (A; B) 62¢, тобто

базиси A; B не мають однаково¨ орi¹нтацi¨. Позначимо через KA i KB класи еквiвалентностi вiдношення ¢, якi мiстять вiдповiдно базиси A i B. ßñíî, ùî KA 6= KB, iнакше базиси A i B

мали б однакову орi¹нтацiю. Розглянемо довiльний базис C = (~c1;~c2) 2 B. Згiдно властивостi 2± ìà¹ìî AjC = (AjB)(BjC) = (¡1)(BjC), тому визначники AjC i BjC мають рiзнi знаки.

Îòæå, àáî A¢C, àáî B¢C. Îòæå, àáî C 2 KA, àáî C 2 KB. Останн¹ означа¹, що B=¢ мiстить всього два елементи.

Означення 1.15. Кожний елемент фактор-множини B=¢ назива¹ться îði¹íòàöi¹þ векторного простору L.

13 тобто множина всiх класiв еквiвалентностi вiдношення ¢.

24

Один з елементiв множини B=¢ називають додатною орi¹нтацi¹ю, а iнший вiд'¹мною. В геометрi¨ на площинi розрiзняють два типи базисiв правий i лiвий. Якщо A = (~a1;~a2) 2 B

якщо поворот навколо точки O вiд вектора ~a1 до вектора ~a2 викону¹ться проти руху

годинниково¨ стрiлки, iнакше даний базис називають лiвим (дивись рисунок нижче на стор. 25). На практицi домовились за додатну орi¹нтацiю завжди вибирати правий базис. Площина назива¹ться орi¹нтованою, якщо орi¹нтована0 0 множина0 0 всiх векторiв цi¹¨ площини.

Два афiнних репери R = (O;~e1;~e2) i R = (O ;~e 1;~e 2) кажуть, що вони однаково орi¹нтованi (протилежно орi¹нтованi), якщо базиси (~e1;~e2) i (~e 01;~e 02) однаково орi¹нтованi

(протилежно орi¹нтованi). Зокрема, репер R = (O;~e1;~e2) називають додатно орi¹нтованим, якщо базис (~e1;~e2) належить додатнiй орi¹нтацi¨.

Для кращого вiзуального сприйняття афiнний репер R = (O;~e1;~e2) будемо називати правим,

êóòiâ:

25