Prak_Geom1

Як i для випадку площини, можна довести, що множина всiх афiнних перетворень простору утворю¹ групу, яка назива¹ться групою афiнних перетворень простору. ˆ¨ пiдгрупами ¹ група подiбностей i група рухiв, а також всi ¨х пiдгрупи. Iншими прикладами пiдгруп афiнних перетворень ¹: а) множина всiх афiнних перетворень першого роду; б) множина всiх афiнних перетворень простору, кожне з яких залиша¹ фiксовану точку O

нерухомою; в) множина всiх афiнних перетворень простору, для кожного з яких визначник матрицi (2.81) дорiвню¹ одиницi (група еквiафiнних перетворень простору).

Тепер можна дати загальне означення геометрi¨. Геометрiя це наука, яка вивча¹ такi властивостi фiгур, якi залишаються iнварiантними при всiх перетвореннях деяко¨ групи.

131

2.4Вивчення поверхонь другого порядку за канонiчними рiвняннями

1 Поверхнi другого порядку. Метод перерiзiв

Рiвняння поверхнi в просторi. Алгебра¨чна поверхня та ¨¨ порядок. Поверхня другого порядку та ¨¨ загальне рiвняння. Дослiдження поверхонь методом перерiзiв.

зада¹ у просторi поверхню.

Всi поверхнi дiляться на два великих класи: алгебра¨чнi та неалгебра¨чнi (або трансцендентнi). Поверхня S назива¹ться алгебра¨чною, якщо в деякiй афiннiй системi

координат ¨¨ рiвняння можна записати у виглядi (2.82), в якому F (x; y; z) многочлен вiдносно x; y; z, тобто алгебра¨чна сума скiнченно¨ множини членiв виду

êîåôiöi¹íò a дiйсне число, вiдмiнне вiд нуля, а p; q i r невiд'¹мнi цiлi числа. Число p + q + r назива¹ться степенем члену axpyqzr, äå a =6 0. Степенем многочлена назива¹ться

найвищий iз степеней його членiв. Порядком алгебра¨чно¨ поверхнi називають степiнь ¨¨ рiвняння в якiй-небудь афiннiй системi координат (тобто степiнь многочлена F (x; y; z) â

рiвняннi (2.82) цi¹¨ поверхнi).

В даному роздiлi ми будемо вивчати поверхнi другого порядку.

Означення 2.6. Множина точок простору, координати яких задовольняють рiвняння

a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a23yz + 2a13xz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0; (2.83)

äå a11; a22; : : : ; a44 дiйснi числа, причому хоча би один iз коефiцi¹нтiв a11; a22; a33 íå дорiвню¹ нулю, назива¹ться поверхнею другого порядку.

Рiвняння (2.83) згодом ми будемо називати загальним рiвнянням поверхнi другого порядку.

Основним методом вивчення форми поверхонь буде метод перерiзiв, сутнiсть якого у тому, що поверхню S перетинають площинами, паралельними координатним площинам, i

визначають лiнi¨ перетину поверхнi з даними площинами. За виглядом цих лiнiй роблять висновок про форму дано¨ поверхнi. В основi цього методу лежить така теорема.

132

Доведення. Нехай ° лiнiя перетину поверхнi S i площини z = h, à °0 ¨¨ проекцiя на площину Oxy (див. рисунок).

ма¹ координати (x0; y0). Тодi у системi

~~ ~

координат Oi j k вона ма¹ координати (x0; y0; 0), а оскiльки точка M0 належить °0, то вона ¹ проекцi¹ю дано¨ точки M криво¨ °, причому ця точка ма¹ координати

(2.84), тобто F (x0; y0; h) = 0. Таким чином,

показано, що координати кожно¨ точки M0, що належить лiнi¨ °0, задовольня¹ рiвняння (2.85). Вiзьмемо на площинi Oxy будь-яку точку M¤(x¤; y¤), яка не належить лiнi¨ °0. Проведемо через точку M¤ пряму, паралельну осi Oz i позначимо через M точку перетину

i поверхнi S. Таким чином, координати точки M не задовольняють рiвняння (2.85),

задовольняють його, тобто рiвняння (2.85) ¹ рiвнянням проекцi¨ лiнi¨ перетину поверхнi S з площиною z = h. ¤

Зауваження. Аналогiчнi теореми можна довести для випадку, коли поверхню S перетинатимемо площинами, паралельними координатним площинам Oxz i Oyz.

Íàñëiäîê 2.3. Ëiíiÿ ° перетину поверхнi S з площиною ¾, паралельнiй площинi Oxy, рiвна проекцi¨ °0 цi¹¨ лiнi¨ на площину Oxy.

~

Доведення. Дiйсно, паралельне перенесення на вектор p~ = ¡hk переводить кожну точку M 2 ° у вiдповiдну точку M0 2 °0. Îòæå, iñíó¹ ðóõ, ÿêèé ñóìiù๠ëiíiþ ° ç ëiíi¹þ °0, à öå означа¹, що цi лiнi¨ рiвнi.

2 Поверхнi обертання

Означення поверхнi обертання. Знаходження рiвняння поверхнi обертання навколо координатно¨ осi.

Розглянемо тепер так званi поверхнi обертання, тобто поверхнi, якi отримуються в результатi обертання тих чи iнших лiнiй навколо прямих.

Означення 2.7. Поверхню, яка разом з кожною сво¹ю точкою мiстить все коло, утворене обертанням цi¹¨ точки навколо фiксовано¨ прямо¨ l, назива¹ться поверхнею обертання, а

пряму l, навколо яко¨ здiйсню¹ться обертання, називають вiссю обертання.

Наголосимо, що обертання кожно¨ точки поверхнi навколо осi l вiдбува¹ться у площинi,

перпендикулярнiй осi l. Тодi очевидно, що у перерiзi поверхнi обертання площинами, перпендикулярними до осi обертання, дiста¹мо кола, якi називають паралелями. Кривi, якi

133

¹ лiнiями перетину поверхнi обертання пiвплощинами, що визначаються вiссю обертання l,

називають меридiанами. На цiй пiдставi ста¹ очевидним той факт, що поверхня обертання може бути отримана обертанням плоско¨ криво¨ ° (вона породжу¹ сiм'ю меридiанiв) навколо

прямо¨ l, яка з кривою ° лежить в однiй площинi, причому, як свiдчить наступна теорема, ¨¨ аналiтичне задання (рiвняння) можна знайти за рiвнянням криво¨ °.

Теорема 2.14. Якщо у прямокутнiй декартовiй системi координат Oxyz криву ° ó

¹ рiвнянням поверхнi, утворено¨ обертанням криво¨ ° навколо осi Oz.

Доведення. Нехай S поверхня, утворена обертанням криво¨ x = f(z), навколо осi Oz, i

задовольня¹ рiвняння (2.87), а координати жодно¨ точки, яка не належить поверхнi S,

не задовольня¹ рiвняння (2.87), тобто рiвняння (2.87) ¹ рiвнянням поверхнi, утворено¨ обертанням криво¨ x = f(z) навколо осi Oz.

Зауваження. Аналогiчно можна переконатись в тому, що в прямокутнiй системi координат рiвняння z2 + y2 = g2(x) визнача¹ поверхню обертання, утворену обертанням

навколо осi Ox лiнi¨, задано¨ рiвнянням y = g(x) в площинi Oxy, а рiвняння x2 + z2 = h2(y) визнача¹ поверхню, утворену обертанням навколо осi Oy лiнi¨, задано¨ рiвнянням x = h(y) â

площинi Oxy.

Приклад 1. Написати рiвняння поверхнi, утворено¨ обертанням параболи

z2 ¡ 2px = 0; y = 0;

äå p > 0, навколо осi Oz.

Розв'язання. Рiвняння поверхнi, утворено¨ обертанням криво¨

x= z2 ;

2p

134

що знаходиться в площинi Oxz, згiдно з теоремою 2.14 матиме вигляд

Приклад 2. В площинi Oxz прямокутно¨ системи координат Oxyz äàíî êîëî x2+z2 = r2 ç центром в початку координат радiуса r. Написати рiвняння поверхнi S, утворено¨ обертанням цього кола навколо осi Oz.

Розв'язання. Спочатку запишемо рiвняння виду (2.86) лiнi¨ °, вiд обертання яко¨ навколо осi Oz утворю¹ться поверхня. З рiвняння даного кола знаходимо: x = §pr2 ¡ z2, äå

кожен знак перед коренем визнача¹ певне напiвколо даного кола.

Ясно, що при обертаннi навколо осi Oz кожного з цих напiвкiл отриму¹ться та ж сама

поверхня, що i при обертаннi всього кола, тому за лiнiю ° вiзьмемо, наприклад, напiвколо, яке у площинi Oxz визнача¹ться рiвнянням x = pr2 ¡ z2.

За доведеною теоремою 2.14 рiвняння поверхнi S ì๠âèä:

3 Цилiндричнi та конiчнi поверхнi другого порядку

Означення цилiндрично¨ та конiчно¨ поверхнi Цилiндричнi та конiчнi поверхнi другого порядку, ¨х канонiчнi рiвняння. Цилiндричнi та конiчнi перерiзи.

Якщо у просторi обрано систему координат, то поверхня зада¹ться рiвнянням

F (x; y; z) = 0; (2.88)

тобто поверхнею ¹ множина всiх тих точок простору, координати яких задовольняють рiвняння (2.88). Очевидно, що найпростiшою поверхнею ¹ площина, рiвняння яко¨ ¹ лiнiйне рiвняння

Ax + By + Cz + D = 0;

äå A2 + B2 + C2 6= 0, а от наступною за нею в порядку простоти ¹ цилiндрична поверхня.

Означення 2.8. Поверхня, яка ма¹ ту властивiсть, що разом з кожною сво¹ю точкою вона мiстить всю пряму, яка проходить через цю точку паралельно даному ненулевому вектору p~, назива¹ться цилiндричною поверхнею, або цилiндром.

Прямi, якi паралельнi вектору p~ i лежать на цилiндричнiй поверхнi, називаються

твiрними цi¹¨ поверхнi. Очевидно, що цилiндричну поверхню можна утворити так. Якщо ° деяка лiнiя, а p~ ненулевий вектор, то поверхня, утворена прямими, якi проходять

через всi точки лiнi¨ ° i паралельнi вектору p~, буде цилiндричною. У цьому разi лiнiю °

називають напрямною цi¹¨ поверхнi.

З допомогою прямих можна утворити ще одну поверхню.

Означення 2.9. Конiчною поверхнею або конусом з вершиною у точцi M0 називають поверхню, яка ма¹ властивiсть, що разом з кожною сво¹ю точкою M, ùî íå çáiãà¹òüñÿ ç

точкою M0, ця поверхня мiстить i пряму M0M.

135

Точку M0 називають вершиною, а прямi, якi проходять через цю точку i лежать на поверхнi, ¨¨ твiрними. Очевидно, що конiчну поверхню можна утворити так. Якщо M0 точка простору, а ° деяка лiнiя, що не проходить через точку M0, то поверхня, утворена усiма прямими, кожна з яких проходить через M0 i деяку точку лiнi¨ °, áóäå êîíi÷íîþ.

твiрнi цилiндрично¨ поверхнi паралельнi осi Oz, вершина конiчно¨ поверхнi точка M0 íå належить площинi z = h.

¹ рiвнянням цилiндрично¨ поверхнi S, напрямною яко¨ ¹ лiнiя °, а твiрними прямi, паралельнi осi Oz.

Доведення. Нехай M0(x0; y0; z0) довiльна фiксована точка простору, i нехай M0 належить площинi z = h. Òîäi, ÿêùî M0 належить поверхнi S, то вона належить лiнi¨ °, а отже, координати (x0; y0; h) точки M0 задовольняють рiвняння (2.90). Якщо ж M0 не належить поверхнi S, то вона не належить лiнi¨ °, а отже, координати (x0; y0; h) точки M0 íå задовольняють рiвняння (2.90). Нехай точка M0 не належить площинi z = h. Тодi пряма,

паралельна осi Oz, перетина¹ площину z = h ó òî÷öi M1(x0; y0; h), яка на площинi z = h

~~

у системi координат Oi i ма¹ координати (x0; y0). Якщо точка M0 належить поверхнi S, то пряма M0M1 ¹ твiрною, тому точка M1 належить лiнi¨ °. Тодi координати (x0; y0; h) точки M1 задовольняють рiвняння (2.89), тобто f(x0; y0) = 0. А це, у свою чергу, означа¹, що

координати (x0; y0; z0) точки M0 задовольняють рiвняння (2.90).

Нехай точка M0 не належить поверхнi S. Òîäi M1 не належить лiнi¨ °, i ¨¨ координати (x0; y0; h) не задовольняють (2.89), тобто f(x0; y0) 6= 0. А це означа¹, що координати (x0; y0; z0) точки M0 не задовольняють рiвняння (2.90). Таким чином, показано, що координати кожно¨ точки, яка належить поверхнi S, задовольня¹ рiвняння (2.90), а координати жодно¨ точки,

яка не належить поверхнi S, не задовольняють рiвняння (2.90), тобто рiвняння (2.90) ¹ рiвнянням цилiндрично¨ поверхнi, напрямною яко¨ ¹ лiнiя °, а твiрними прямi, паралельнi осi Oz.

y2 = 2px параболiчний цилiндр;

136

x2 ¡ a2 = 0 цилiндр, який розпався на пару паралельних площин;

x2 = 0 цилiндр, який явля¹ собою пару площин, що збiгаються (площина Oyz).

Нехай ма¹мо лiнiю °, задану системою рiвнянь (2.89), i нехай точка M0(x0; y0; z0) не належить цiй площинi.

¹ рiвнянням конiчно¨ поверхнi S, напрямною яко¨ ¹ лiнiя °, а точка M0 ¨¨ вершиною. Доведення. Нехай M¤(x¤; y¤; h) довiльна, але фiксована точка лiнi¨ °. Тодi рiвняння

Пiдставивши ¨х у рiвняння f(x; y) = 0, дiстанемо (2.91).

Якщо точка M(x; y; z) належить поверхнi S (M 6= M0), то вона лежить на прямiй, що проходить через точку M0 i деяку точку M¤ íà ëiíi¨ °, координати яко¨ визначаються за

формулами (2.92). А отже, вони задовольняють рiвняння (2.91). Якщо ж точка M(x; y; z) íå

належить поверхнi S, то прямiй, що проходить через точки M0 i M, не належить жодно¨ точки лiнi¨ °, тобто нiяка пара (x¤; y¤), визначена за формулами (2.90), не задовольня¹ рiвняння

f(x; y) = 0. А це означа¹, що координати точки M не задовольняють рiвняння (2.91). Теорема доведена.

Приклад 1. Скласти рiвняння поверхнi S, утворено¨ прямими, якi проходять через точку

M0(0; 0; h) i дотикаються кулi радiуса r з центром у початку координат (h > r).

Розв'язання. Згiдно з умовою такi прямi утворюють конiчну поверхню, вершиною яко¨ ¹ точка M0(0; 0; h), а напрямною коло, задане системою рiвнянь

Тому за теоремою 2.16 рiвняння цi¹¨ поверхнi запису¹ться у виглядi

138

Будемо вважати, що вершиною конiчно¨ поверхнi ¹ початок координат, а напрямною

лiнi¹ю ¹ крива (

a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a10x + 2a20y + a00 = 0;

z = h:

Отож ма¹мо ознаку, за якою зможемо розрiзняти конiчнi поверхнi другого порядку, а саме: його лiва частина ¹ однорiдним многочленом другого степеня вiдносно x; y; z.

Зокрема, якщо напрямна ° конiчно¨ поверхнi S задана однi¹ю з систем рiвнянь:

i вершина збiга¹ться з початком координат, то рiвняння конiчно¨ поверхнi S ма¹ вiдповiдно вигляд:

а') Елiптичний конус. б') Гiперболiчний конус.

Проведемо дослiдження лiнiй перетину цилiндричних поверхонь з рiзними площинами. Нехай ма¹мо елiптичний цилiндр, заданий рiвнянням

x2 + y2 = 1; a2 b2

i площину ¼, задану рiвнянням

Ax + By + Cz + D = 0:

139

Якщо площина ¼ паралельна осi Oz, то вона перетина¹ площину Oxy ïî ïðÿìié Ax + By + D = 0. А пряма може або перетинати елiпс у двох точках, або дотикаються

його, або не перетинатися з ним. У зв'язку з цим площина ¼, паралельна осi Oz, ìîæå

перетинати елiптичний цилiндр або по двох твiрних (лiнiя перетину двi паралельнi прямi), або дотикатись цилiндра вздовж твiрно¨ (лiнiя перетину одна пряма).

Якщо ж площина ¼ не паралельна осi Oz (C =6 0), то, обравши у нiй систему координат

тобто ¹ лiнi¹ю другого порядку. А оскiльки ця лiнiя обмежена, то вона ¹ елiпсом. Таким чином, будь-який перерiз елiптичного цилiндра площиною, не паралельною твiрним, ¹ елiпс. В такий же саме спосiб можна переконатись, що лiнi¹ю перетину гiперболiчного (параболiчного) цилiндра з площиною ¹ або двi паралельнi пря-

мi, або одна пряма, якщо площина паралельна осi Oz, або гiпербола (парабола), якщо площина не паралельна осi Oz.

Проведемо дослiдження лiнiй перетину конiчних поверхонь з рiзними площинами, причому вiзьмемо елiптичний конус, заданий рiвнянням

x2 + y2 ¡ z2 = 0; a2 b2 c2

140