К ДМ_16_09

Упражнения и задачи

На вершину горы ведет 9 дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с нее? Дайте ответ на этот же вопрос, если подъем и спуск осуществляются различными путями.

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если каждую из этих цифр можно использовать не более одного раза?

Сколько четырехзначных чисел можно написать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5?

В кондитерском магазине продаются 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 10 пирожных?

Бридж и покер. При игре в бридж каждый из 4-х игроков получает 13 карт из колоды в 52 карты. При игре в покер каждый игрок получает 5 карт. Найти количество способов получения каждым из игроков карт при игре в бридж и при игре в покер.

Экзамены по трём предметам: алгебре, биологии и химии сдавали 41 студент. Следующий список показывает, сколько студентов провалились на каждом предмете, и их различные комбинации:

по алгебре - 12;

по биологии - 5;

по химии - 8;

по алгебре и биологии - 2;

по алгебре и химии - 6;

по биологии и химии - 3;

по алгебре, биологии и химии - 1.

(К примеру, 5 студентов провалились по биологии, среди них 3 провалившихся как по биологии, так и по химии, и только один из этих трёх провалился по всем трём предметам). Сколько студентов сдали все три экзамена?

Сколько существует различных:

а) шестизначных телефонных номеров?

б) шестизначных телефонных номеров не содержащих цифры 0?

в) шестизначных телефонных номеров не содержащих цифр 0 и 9?

г) шестизначных телефонных номеров не содержащих цифр 0,1,8,9?

д) шестизначных телефонных номеров не начинающихся с цифр 0 и 8?

е) шестизначных телефонных номеров не начинающихся с цифр 0,5,8?

Скольким числом способов можно разделить:

а) 6 различных конфет между 4 детьми?

б) 8 различных конфет между 3 детьми?

Скольким числом способов можно разложить:

а) 11 различных предметов по 4 ящикам?

б) п различных предметов по k ящикам?

Скольким числом способов можно выбрать старосту и профорга в группе из 25 студентов?

В некотором сказочном царстве не было двух человек с одинаковым набором зубов. Каково могло быть наибольшее число жителей этого царства, если у человека 32 зуба?

Сколько различных "слов" (последовательностей букв) длины к можно составить из п различных букв?

Сколько существует различных:

а) шестизначных телефонных номеров не содержащих рядом расположенных одинаковых цифр?

б) шестизначных телефонных номеров не содержащих рядом расположенных одинаковых цифр и не содержащих цифры 0?

в) шестизначных телефонных номеров не содержащих рядом расположенных одинаковых цифр и не содержащих цифр 0 и 9?

г) шестизначных телефонных номеров не содержащих рядом расположенных одинаковых цифр и не содержащих цифр 0,8,9?

д) шестизначных телефонных номеров не содержащих рядом расположенных одинаковых цифр и не начинающихся с цифр 0 и 8?

е) шестизначных телефонных номеров не содержащих рядом расположенных одинаковых цифр и не начинающихся с цифр 0,5,8?

Сколько различных "слов" длины к, не содержащих рядом расположенных одинаковых букв, можно составить из п букв?

Если повернуть лист бумаги на 180°, то цифры 6 и 9 переходят друг в друга, цифры 0,1,8 не меняются, остальные цифры теряют смысл.

а) Сколько существует семизначных чисел величина которых не меняется при повороте на 180°?

б) Сколько существует восьмизначных чисел величина которых не меняется при повороте на 180°?

в) Сколько существует девятизначных чисел величина которых не меняется при повороте на 180°?

Сколько существует целых чисел от 0 до 10ⁿ в десятичных разложениях которых нет двух одинаковых соседних цифр?

Пятнадцать занумерованных бильярдных шаров разложены по шести лузам. Скольким способами это можно сделать?

Сколько существует различных m∙n матриц:

а) с элементами 0, 1?

б) с элементами -1,0, 1?

в) с элементами 1, 2,..., k?

Сколько трёхзначных натуральных чисел можно составить из цифр:

а) 0,1,2,3,4,5,6?

б) 0,2,4,6,8?

в) 1,3,5,7,9?

Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр:

а) 0,1,2,3,4,5,6?

б) 0,2,4,6,8?

в) 1,3,5,7,9?

Сколько существует различных:

а) трёхзначных чисел, имеющих все чётные цифры?

б) n- значных чисел, имеющих все чётные цифры?

в) n- значных чисел, имеющих все нечётные цифры?

в) n- значных чисел, имеющих как чётные так и нечётные числа?

Сколько существует различных:

а) пятизначных чисел, которые читаются одинаково справа налево и слева направо?

б) n- значных чисел, которые читаются одинаково справа налево и слева направо?

Сколько существует различных:

а) шестизначных чисел, которые делятся на 5?

б) n- значных чисел, которые делятся на 5?

В розыгрыше первенства по футболу принимают участие 18 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотая, серебряная, бронзовая медали, если любая команда может получить только одну медаль?

Буквы азбуки Морзе состоят из символов - точка и тире. Сколько можно составить букв при условии, что каждая буква состоит не более чем из 5 символов?

Имеется четверо мужчин и шесть женщин. Каждый мужчина женится на одной из женщин. Сколькими способами это можно сделать?

Сколько существует различных:

а) шестизначных телефонных номеров все цифры которых различны?

б) шестизначных телефонных номеров не содержащих цифры 0 и все цифры которых различны?

в) шестизначных телефонных номеров не содержащих цифр 0 и 9 и все цифры которых различны?

г) шестизначных телефонных номеров не содержащих цифр 0,1,8,9 и все цифры которых различны?

д) шестизначных телефонных номеров не начинающихся с цифр 0 и 8 и все цифры которых различны?

е) шестизначных телефонных номеров не начинающихся с цифр 0,5,8 и все цифры которых различны?

Сколькими способами можно составить трёхцветный флаг из трёх параллельных горизонтальных полос, если имеются ткани 7 различных цветов?

В забеге участвуют 7 спортсменов и разыгрывается 3 медали. Сколькими различными способами может закончиться забег?

В профком выбирается 9 человек. Из них надо выбрать председателя, заместителя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

Сколькими способами можно опустить 5 различных писем в 11 различных почтовых ящиков, если в каждый ящик опускается не более одного письма?

Найти число способов раскладки п различных шаров по п различным урнам.

Сколькими способами 5 человек могут сесть на 5 стульев?

Сколькими способами могут расположиться в турнирной таблице 17 команд, если известно, что никакие команды не набрали одинакового числа очков?

Сколькими способами можно расположить 8 ладей на шахматной доске 8x8 так, чтобы они не могли бить друг друга?

Сколькими способами можно посадить п гостей за круглым столом, если способы посадки, отличающиеся сдвигом по кругу, считать одинаковыми?

Сколько существует перестановок п элементного множества, в которых данные т элементов:

а) расположены рядом в некотором порядке?

б) не расположены рядом в некотором порядке?

в) расположены рядом в любом порядке?

г) не расположены рядом в любом порядке?

Сколькими способами можно посадить за круглым столом п мужчин и п женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом, если способы посадки, отличающиеся сдвигом по кругу, не считаются одинаковыми?

Сколькими способами 7 книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Сколькими способами можно разложить 8 различных писем в 8 различных конвертов, если в каждый конверт кладётся только одно письмо?

Сколькими способами можно выбрать 3- х делегатов на конференцию из группы в 25 человек?

а) Сколькими способами в карточке "Спортлото" 6 из 49 можно зачеркнуть 6 номеров?

б) в скольких случаях будут правильно угаданы 3 номера?

в) в скольких случаях будут правильно угаданы 4 номера?

г) в скольких случаях будут правильно угаданы 5 номеров?

д) в скольких случаях будут правильно угаданы 6 номеров?

У одного человека 11 различных марок для обмена, а у другого 15, причём одинаковых марок у них нет. Сколькими способами они могут организовать обмен 3 марок?

В турнире принимали участие п шахматистов и каждые два шахматиста встретились 1 раз. Сколько партий было сыграно в турнире?

Сколько существует кортежей из 0 и 1 длины п содержащих к единиц?

На плоскости даны п точек никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько различных прямых можно провести через эти точки?

Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. В скольких случаях среди этих карт окажется:

а) ни одного туза?

б) ровно один туз?

в) ровно два туза?

г) ровно три туза?

д) хотя бы один туз?

е) не менее двух тузов?

Сколькими способами можно выбрать 6 карт из колоды содержащей 52 карты так, чтобы:

а) все карты были одной масти?

б) три карты одной масти и по одной других мастей?

в) две пары одинаковой масти и по одной двух других мастей?

г) по крайней мере две карты одной масти?

Сколькими способами читатель может выбрать две книги из пяти различных книг?

Сколькими способами из 10 человек, играющих в городки, можно составить команду из 4 человек?

В розыгрыше первенства по волейболу принимают участие команды 6 факультетов, при этом любые две команды играют между собой только один матч. Сколько всего запланировано календарных игр?

У Нины есть 8 различных книг по математике, а у Славы - 10 различных книг по физике. Сколькими способами они могут обменять друг с другом по 6 книг?

Из 2- х математиков и 10- экономистов надо составить комиссию в составе 7- ми человек. Сколькими способами может быть составлена комиссия, если в неё должен входить хотя бы один математик?

Сколько различных «слов» можно получить переставляя буквы в cловах:

а) математика? ;

б) парабола? ;

в) комбинаторика? ;

г) класс? ;

д) пионер? ;

е) институт?

Сколькими способами можно разместить 30 различных предметов по 6 ящикам чтобы в каждом ящике оказалось по 5 предметов?

Найти число 5 буквенных «слов», образованных буквами «а, б, в» и в которых буква «а» появляется самое большее 2 раза, буква «б» - 1 раз, буква «в» - 3 раза.

Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр числа 75266522?

Сколькими способами можно расположить в один ряд 3 зелёные и 4 красные лампочки?

Сколькими способами группу в 10 человек можно разбить на 3 подгруппы, по 2,3,5 человека в подгруппе, для работы в библиотеке, спортзале и столовой, соответственно?

Сколькими способами можно распределить 7 молодых специалистов по трём школам, которым, соответственно, нужны 1,2,4 учителя?

Десять человек разбиты на 5 групп, по два человека в каждой. Сколькими способами это можно сделать?

Сколькими способами можно составить набор:

из 8 пирожных, если имеется 4 сорта пирожных ( число пирожных каждого сорта достаточно велико)?

из 7 пирожных, если имеется 5 сортов пирожных ( число пирожных каждого сорта достаточно велико)?

Сколько можно составить различных костей домино, если использовать для их образования все цифры? только три цифры?

Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из следующих значений 4,5,6,7? 7,8,9,10?

Сколько фруктовых наборов можно составить:

из 7 яблок, 4 лимонов, 9 апельсинов (мы считаем, что фрукты одного вида неразличимы)?

из 5 яблок, 6 лимонов, 7 апельсинов и 3 слив (мы считаем, что фрукты одного вида неразличимы)?

Сколько слагаемых содержит полиномиальное разложение:

а) (а + b + с)³?

б) (а + b + с)⁴?

в) (а + b + с + d) ³?

г) (а + b + с + d)⁴?

Найти наибольший коэффициент в полиномиальном разложении:

а) (а + b + с)¹¹;

б) (а + b + с + d)¹²;

в) (а + 6 + с + d)¹⁵.

Трое ребят собрали 40 яблок. Сколькими способами они могут их разделить?

Найти число различных последовательностей букв, которое можно получить, переставляя буквы слова "математика".

4